湖南省衡阳市2026年中考二模考试数学试题

试卷更新日期：2026-05-14 类型：中考模拟

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一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分)

1. 下列四个数中，是无理数的是( )

A、- 1 B、 $\frac{1}{3}$ C、0 D、 $\sqrt{2}$

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2. 体育是提高人民健康水平的重要途径，是满足人民群众对美好生活的向往、促进人全面发展的重要手段.下列体育图标是轴对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )

A、1， 2， 3 B、2， 3， 4 C、3， 3， 6 D、4， 5， 10

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4. 下列计算正确的是( )

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ C、 ${(- 2 a)}^{2} = 4 a^{2}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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5. 计算 $\sqrt{12} - \sqrt{3}$ 的结果是( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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6. 在元旦文艺汇演节目评选中，7位评委对某班节目打出的有效分数为：89， 90， 90， 90， 91， 93， 94，这组数据的平均数与众数的差为( )

A、1 B、2 C、4 D、5

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7. 若关于x的不等式x+m≥-1的解集如图所示，则m等于( )

A、- 2 B、2 C、- 3 D、3

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8. 如图，在△ABC中， ∠A=46°， ∠ABC=59°，尺规作图操作如下： (1)以点 A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交边 AB，AC 于点 D，E；(2)以点 B 为圆心、AD长为半径画弧，分别交边 BA，BC于点 F，G；(3)再以点 F为圆心、DE长为半径画弧，与弧 FG交于点 H；(4)画射线BH交边AC于点I.则∠CBI的度数为( )

A、12° B、13° C、14° D、15°

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9. 如图，点 A， B， C， D 在⊙O上，连接 OA， OB.若∠D=105°，则∠AOB的度数为( )

A、75° B、115° C、150° D、175°

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10. 一次函数y= kx (k<0)与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m < 0, x < 0)$ 的图象交于点 P，点 P 的纵坐标为 $4 \sqrt{2} .$ .过反比例函数图象上的点 M(与点 P不重合)作y轴垂线，垂足为点N，交y=kx的图象于点Q，其中O为坐标原点.若 $Q N = \frac{1}{2} O N = 2,$ 则下列选项正确的是( )

A、k=-3 B、m的值为-8 C、当 $x < - 2 \sqrt{2}$ 时，反比例函数的值大于一次函数的值 D、点M的坐标为(-4， 4)

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二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11. 因式分解：2x²-8=

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12. 某足球联赛共进行了 98场比赛，现场观众人数累计约 230 万人.将数据2 300 000用科学记数法可表示为.

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13. 中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术.若从中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为.

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14. 若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为°.

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15. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD于点E， F， AE=6， ∠AEB=60°，则EF的值为.

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16. 定义：MN为某个三角形的边，若 MN 与其边上的高相等，则称该三角形为边 MN 的“伴随三角形”.△ABC为边 AB 的“伴随三角形”，AB=4.
①若∠B=90°，则∠A=°；
②若AC=5，过点 C 作直线 AB 的高，垂足为点 D，则 BD 的长为.

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三、解答题(本大题共 8个小题,第17题 6分,第18、19、20题每小题8分,第21、22题每小题9分,第23、24题每小题12分,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2 c o s 6 0^{\circ} - {(3 - π)}^{0} + ∣ - 3 ∣ .$

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18. 先化简，再求值： ${(x + 3)}^{2} - 3 x (x + 2),$ 其中 $x = \sqrt{2} .$

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19. 某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级： A(0≤x<2)， B(2≤x<4)， C(4≤x<6)， D(x≥6)，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图的信息，解决下列问题：

(1)、本次共调查了名学生；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为°；

(4)、若全校共有 3 000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于 4小时的学生有多少人?

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20. 某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵 25元，用 600元购买甲商品的数量恰好与用 500元购买乙商品的数量相同.

(1)、求甲、乙两种商品的单价各是多少元?

(2)、该商店计划购进这两种商品共20件，甲商品的售价为240元/件，乙商品的售价为 200 元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于1620元，则至少购进多少件甲种商品?

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21. 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， E为AB上一点，以AE为直径作⊙O交 BC于点 D，交AC于点F，且D为 $\hat{E F}$ 的中点，连接AD.

(1)、求证： BC是⊙O的切线；

(2)、若 $A B = 18, B E = \frac{4}{5} A E,$ 求⊙O的半径及AC的长.

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22. 如图 1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验.同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型.已知直尺斜靠在桌边，悬绳 ABC(A，B，C在同一直线上)的上端 A 点与桌边接触点 D的连线 AD，垂直于直尺下边BE，其中AD=3cm，BE=20cm， $∠ B C E = 6 0^{\circ}, ∠ B E C = 4 5^{\circ} .$ 请根据以上信息，求AC 的长.(结果保留一位小数 .参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{3} \approx 1.73, \sqrt{6} \approx 2.45,$ $s i n 7 5^{\circ} \approx 0.97, c o s 7 5^{\circ} \approx 0.26, t a n 7 5^{\circ} \approx 3.73)$

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23. 已知二次函数. $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点A(-1， 0)， B(3， 0)，与 y轴交于点 C，连接 BC， $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 是此二次函数图象上的两个动点，且 $x_{1} < x_{2},$ 连接MC，NB.

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图 1，连接 MB， NC. 若 $x_{2} = - 2 x_{1}, x_{2} < 3,$ 且 $S_{△ M B C} = 3 S_{△ N B C},$ 求此时x₁的值；

(3)、如图 2，延长 MC，NB 交于点 E. 若. $x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} < 0,$ 求证：点E在定直线上.

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24. 已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为直角三角形， $∠ A C B = ∠ A D E = 9 0^{\circ},$ $∠ B A C = ∠ E A D = 3 0^{\circ} .$ 连接BE，F为 BE的中点，过点 E作 BC的平行线交射线 CF于点 G.

(1)、当C，A，E三点在同一直线上时，如图1.
①求证： CF=GF；
②连接 CD， DG，求证： $∠ D C G = 3 0^{\circ} .$

(2)、将图 1中的 $△ A D E$ 绕点 A 旋转到图 2 所在位置时，连接 DF，DG，判断 $△ D F G$ 的形状并说明理由.

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