最值问题（运动路径与函数）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-14 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、运动路径最值问题

1. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 $\frac{32}{π}$ 米的半圆，其边缘 $A B = C D = 16$ 米，点E在 $C D$ 上， $C E = 4$ 米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）

A、18米 B、20米 C、22米 D、24米

查看试题解析
2. 如图，圆柱形容器的底面周长是 $24 cm$ ，高是 $15 cm$ ，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处 $1 cm$ 的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（） $cm$ ．

A、18 B、20 C、22 D、24

查看试题解析
3. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )

A、(3 $\sqrt{2}$ +8)cm B、10cm C、14cm D、无法确定

查看试题解析
4. 如图，长方体的长为 $20 cm$ ，宽为 $15 cm$ ，高为 $10 cm$ ，点 $B$ 离点 $C$ 为 $6 cm$ ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点 $B$ 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）

A、 $5 \sqrt{29}$ $cm$ B、 $25 cm$ C、 $2 \sqrt{194}$ $cm$ D、 $4 \sqrt{41}$ $cm$

查看试题解析
5. 如图，已知圆柱底面的周长为 $4 dm$ ，圆柱的高为 $2 dm$ ，在圆柱的侧面上，过点 $A$ 和点 $C$ 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）

A、 $4 \sqrt{2} dm$ B、 $2 \sqrt{2} dm$ C、 $2 \sqrt{5} dm$ D、 $4 \sqrt{5} dm$

查看试题解析
6. 如图，桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高6厘米，底面周长为 16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁与A相对的点 P 处有一只小虫，小虫离杯底的距离为1.5厘米，则小虫爬到蜜糖 A 处的最短路程是( )

A、 $\sqrt{73}$ 厘米 B、10厘米 C、8 $\sqrt{2}$ 厘米 D、8厘米

查看试题解析

二、函数中最值问题

7. 抛物线 $y = a {(x - 1)}^{2} - 3 (a \neq 0),$ 当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（）

A、1 B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ 或 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$ 或 $- \frac{7}{4}$

查看试题解析
8. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4$ 与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为 $- \frac{4}{3}$ ， C为抛物线对称轴上一动点，连接 $A C$ ， $P C$ ，当 $P C + A C$ 取得最小值时， $\tan ∠ B A C$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

查看试题解析
9. 如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y＝﹣ $\frac{3}{x} (x < 0)$ 上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（　　）

A、y＝x B、y＝x+1 C、y＝x+2 D、y＝x+3

查看试题解析
10. 某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图.王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离 x米和飞行高度y米的数据，记录数据如下表：
照相机频闪时间t/s
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
……
水平距离 x/米
0
5
10
15
20
25
30
……
飞行高度 y/米
0
4.5
8
10.5
12
12.5
12
……

(1)、根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式；

(2)、根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式 x=10t.根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好.求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；

(3)、乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y(米)与水平距离x(米)满足函数关系 $y = - \frac{1}{100} x^{2} + \frac{3}{5} x,$ 当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大?最大高度差是多少?

查看试题解析
11. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x - 3$ 的对称轴是直线.x=-1.

(1)、求b的值.

(2)、若点M (x，y)是抛物线上的动点.
① 当 $- 2 \leq x \leq 3$ 时，求 y的取值范围.
② 当 $p \leq y \leq p + 3$ 时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围.

查看试题解析
12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 经过点A（1，0），B（-1，8）.

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若点C（-3，y₁），D（m，y）在该抛物线上，且y₁>y₂ ，求m的取值范围；

(3)、将此抛物线向左平移n（n>0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e₁ ， e₂ ，且（ $e_{1} - e_{2} = 6,$ 求n的值.

查看试题解析
13. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 的图象经过点（4，0）和（1，3），点P（x₁ ， y），Q（x₂ ， y₁）是该二次函数图象上的两个动点，满足 $0 < x_{1} < 2 < x_{2} < 4,$ 且 $\frac{y_{1}}{x_{1}} + \frac{y_{2}}{x_{2}} = 4 。$

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、求x₁+x₂的值；

(3)、已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M，一条平行于x轴的直线过点A（0，t）交函数图象于B，C两点，且BC=3PM，求BC的最大值及此时对应的t值。

查看试题解析
14. 设二次函数 $y = - x^{2} + 2 a x - 3 a + 1 .$

(1)、若该函数的对称轴为直线x =2.求该函数的顶点坐标；

(2)、判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(3)、已知点P(8，1-3a)， M(m，y₁)和N(n，y₂)在函数图象上，当2≤n≤5时，都有 $y_{2} > y_{1},$ 求m 的取值范围.

查看试题解析
15. 已知二次函数 $y = {(x - m)}^{2} - 2 (x - m)$ ， m为实数．

(1)、若 $m = 1$ ，求该函数图象的对称轴．

(2)、当 $m + 2 \leq x \leq 3$ 时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．

(3)、若点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 4 m - 6$ ，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 大小．

查看试题解析
16. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于A、B两点．

(1)、抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 (a \neq 0)$ 经过的定点的坐标为

(2)、当点A（3，0）在这个函数图象时，
①求抛物线的函数关系式；
②抛物线上有一点P，连结AP、BP，若△ABP的面积为1时，求点P的坐标；
③当m≤x≤m+2时，函数的最小值是4，求m的值．

查看试题解析
17. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ （c为常数）。

(1)、求该二次函数图象的对称轴。

(2)、过点（0，4）且与x轴平行的直线交二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 的图象于点A，B，AB>2。
①求c的取值范围；
②若AB=4，且当t≤x≤t+2时，二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 的最小值为2，求t的值。

查看试题解析
18. 某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个?

查看试题解析
19. 材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元.
材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件.
材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数.商店按规定适当涨价销售.

(1)、任务一：建立函数模型
设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元），分别写出y与x，W与x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(2)、任务二：设计销售方案
若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？

(3)、销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？

查看试题解析
20. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．

(1)、任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；

(2)、任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．

查看试题解析
21. 某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于 70元，经过市场调研发现，日销量y(千克)与售价x(元)满足如图所示的一次函数关系.

(1)、根据上述信息，直接写出y与x之间的函数关系式(不需要写出x的范围)；

(2)、超市要想获得每天1600元的销售利润，售价应定为多少元?

(3)、当销售单价为多少元时，每天获利最大?最大利润是多少元?

查看试题解析
22. 已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + t^{2} - 10 t$ （t为常数）.

(1)、求该抛物线的对称轴.

(2)、若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + t^{2} - 10 t (m \leq x \leq n)$ 夹在两条均与x轴平行的直线l₁ ， l₂之间.若直线l₁ ， l₂之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.

查看试题解析
23. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x轴交于 $A (- 1, 0) ， B (3, 0)$ 两点，与y轴交于点C，作直线 $B C ， M (m, y_{1}) ， N (m + 2, y_{2})$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 图象上两点．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、试判断是否存在实数 $m$ 使得 $y_{1} + 2 y_{2} = 10$ ．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

(3)、已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作 $P H ⊥ x$ 轴于点H，与线段 $B C$ 交于点 $D ，$ 求 $P D + \frac{\sqrt{2}}{2} D C$ 的最大值．

查看试题解析
24. 如图1，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (2 \sqrt{3}, 1)$ ，射线 $A B$ 与反比例函数的图象交于另一点 $B (1, a)$ ，射线 $A C$ 与y轴交于点C， $∠ B A C = 75 °$ ， $A D ⊥ y$ 轴于点D．

(1)、填空：
①k的值为__________．
② $\tan ∠ D A C =$ _________；直线 $A C$ 的函数解析式为__________．

(2)、如图2，M是线段 $A C$ 上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线 $l ⊥ x$ 轴，与 $A C$ 交于点N，连接 $C M$ ．求 $△ C M N$ 面积的最大值．

查看试题解析

照相机频闪时间t/s	0.5	1	1.5	2	2.5	3	……
水平距离 x/米	5	10	15	20	25	30	……
飞行高度 y/米	4.5	8	10.5	12	12.5	12	……