最值问题（绝对值与线段最值）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-14 类型：三轮冲刺

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一、绝对值相关最值问题

1. 数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上 A、B 两点分别表示 -3 和 5，则 A、B 两点之间的距离为 $| 5 - (- 3) | - | 5 + 3 | = 8$ . 在求 $| x + 2 | + | x - 3 |$ 的最小值时，先把式子化为 $| x - (- 2) | + | x - 3 |$ ，然后借助于数轴分析即可得到最小值为 5. 按照这样的方法，式子 $| x - 2 | - | x + 1 |$ 的最大值为．

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2. 我们知道，|3-1|可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|a+5|也可理解为a与-5两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请完成：
⑴若|x-2|=3，则x=；
⑵|x+1|+|x+a|+|x-2|的最小值是5，则a=.

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3. 已知a，b，c为3个自然数，满足a+2b+3c=2021，其中a≤b≤c，则|a-b|+|b-c|+|c-a|的最大值是.

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4. 若 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ 互不相等的正偶数，满足 $(2020 - a_{1}) (2020 - a_{2}) (2020 - a_{3}) (2020 - a_{4}) (2020 - a_{5}) = 24^{2}$ ，则 $| x - a_{1} | + | x - a_{2} | + | x - a_{3} | + | x - a_{4} | + | x - a_{5} |$ 的最小值为.

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5. 对于平面直角坐标系中的任意两点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，我们把 $|x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 叫做 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 两点间的直角距离，记作 $d (P_{1}, P_{2})$ ．

(1)、已知 $A (1, 1), B (5, 4)$ ，求 $d (A, B)$ ．

(2)、已知点O为坐标原点，动点 $P (x, y)$ 满足 $d (O, P) = 2$ ，请写出y与x之间的关系式．

(3)、设点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 是一定点，点 $Q (x, y)$ 是直线 $y = a x + b$ 上的动点，我们把 $d (P_{0}, Q)$ 的最小值叫做点 $P_{0}$ 到直线 $y = a x + b$ 的直角距离．试求点 $M (1, - 3)$ 到直线 $y = x + 2$ 的直角距离．

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6. 阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A，B，我们把A，B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A，B两点之间的距离，记作 $|A B|$ ．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为 $|2 - 5| = |- 3| = 3$ ；数轴上表示 $- 1$ 和 $- 4$ 的两点之间的距离为 $|- 1 - (- 4)| = |- 1 + 4| = |3| = 3$ ．
完成下列各题∶

(1)、数轴上表示3和 $- 4$ 的两点之间的距离为：                  ；

(2)、①若 $|x - 3| = 5$ ，则 $x =$                     ；
②若数轴上点M表示的数为x，点N表示的数为 $- 2$ ，点P表示的数为5，且 $|M N| + |M P| = 10$ ，则 $x =$                   ；

(3)、 $|x + 2| + 2 |x - 1| + 3 |x - 4| + 4 |x - 7| + 5 |x - 10|$ 的最小值为                ．

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二、几何单条线段相关最值问题

7. “山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图所示，两条互相垂直的数轴相交于 $O$ ，点 $A$ 在 $O$ 右侧 $6$ 个单位长度处，点 $B$ 是 $O$ 下方 $y$ 轴上一动点，连接 $A B$ ，过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ ，若 $A C = A B$ ，点 $M$ 在 $O$ 左侧 $x$ 轴上 $1$ 个单位长度处，连接 $C M$ ， $C M$ 的最小值为个单位长度．

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8. 如图，点 $E$ 是正方形ABCD边BC上一动点，（点E不与点B、C重合），连接DE，过点 $A$ 作 $A F ⊥ D E$ 交CD于 $F$ ，垂足为 $P$ ，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为．

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9. 如图所示，在扇形OAB中， $∠ A O B = 9 0^{°}$ ，半径 $O A = 4$ ，点 $F$ 位于 $\overset{⌢}{A B}$ 的 $\frac{1}{3}$ 处且靠近点 $A$ 的位置.点C、D分别在线段OA、OB上， $C D = 4, E$ 为CD的中点，连接EF.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，BD的长为.

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10. 如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中，E、F分别是 $B C 、 C D$ 上的动点，M、N分别是 $E F 、 A F$ 的中点，则 $M N$ 长的最大值是．

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11. 在△ABC中，∠B=105°，∠BCA=45°，BC=1，点 D在边AB上运动(不与A重合)，以AD为边向△ABC外作正△ADE，如图，过点D作射线垂直于线段 DE，F为射线上一动点，取EF中点G，连结CG，则CG的最小值为 .

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, ∠ A B C = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕顶点 $C$ 顺时针旋转，旋转角为 $θ (0 ° < θ < 180 °)$ ，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．设 $A C$ 中点为 $E$ ， $A^{'} B^{'}$ 中点为 $P$ ， $A C = 2$ ，连接 $E P$ ，当 $θ =$ $°$ 时， $E P$ 长度最大，最大值为．

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13. 已知在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ACB=30°，点F是边AC上一动点，以CF为斜边向下作Rt△CDF，使∠D=90°，∠FCD=∠ABF.

(1)、如图1，设∠ABF的度数为α，
①用含α的代数式表示∠BFD；
②当α为何值时，△ABF≌△DCF；

(2)、设AB=1，
①如图2，延长FD交 BC于G，若FD=DG，求AF长；
②如图3，连结BD，在点 F从点A运动到点C的过程中，求BD的最小值.

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14. 如图1，在直角坐标系xOy中，点M的坐标为(3，0)，以M为圆心MO为半径的半圆交x轴于点A ，在半圆弧上取点C ，连接OC ， AC ，已知点B在y轴的正半轴上．

(1)、求证：∠BOC＝∠OAC ．

(2)、如图2，AC上取点D使得OC＝AD ，连接OD ．
①若点C的横坐标为2，求CD的长．
②求OD的最小值．

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三、几何多条线段相关最值问题

15. 如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时， $\frac{A P}{P C}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{2}{7}$

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， B C = 4$ ，点 $E$ 在 $A D$ 边上且 $A E = 1$ ，点 $F$ 为直线 $A B$ 上一动点，连接 $E F$ ，将 $△ A E F$ 沿着折痕 $E F$ 折叠，得到 $△ A^{'} E F$ ，动点 $P$ 在 $B C$ 边上，连接 $P A^{'}$ ，则 $P A^{'} + P D$ 最小值是（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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17. A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 $M N$ ，使从 $A$ 到 $B$ 的路径 $A M N B$ 最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（）

A、 B、 C、 D、

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18. 如图， $A B$ 、 $C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径，且 $A B ⊥ C D$ ， $\overset{⏜}{C E} = \frac{1}{2} \overset{⏜}{E B}$ ， P为直径 $C D$ 上一动点．若 $⊙ O$ 的直径 $A B = 2$ ，则 $△ P E B$ 周长的最小值是（）

A、3 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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19. 如图，在边长为5的菱形ABCD中，BD＝8，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A’B’D’ ，分别连结A’C ， A’D ， B’C ，则A’C＋B’C的最小值为（）

A、6 B、 $\sqrt{97}$ C、10 D、 $\frac{3 \sqrt{185}}{5}$

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20. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 交于点O， $A B = 10$ ， $A C = 16$ ，点E、F分别在 $A B$ 、 $O D$ 上，且 $B E = 3$ ， $O F = 1$ ，点P是 $A C$ 上任意一点，则 $|P E - P F|$ 的最大值为．

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21. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EB=3AE.有一只蚂蚁从E点出发，经过F，G，H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最少路程是.

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，点 $P$ 是直径 $A B$ 上的一个动点，连接 $A C$ ， $P C$ ， $P D$ ，若 $A B = 6$ ， $∠ C A B = 30 °$ ，则 $P C + P D$ 的最小值为．

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23. 如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，将 $△ C D E$ 沿 $C E$ 翻折得 $△ C M E$ ，点 $M$ 落在四边形 $A B C E$ 内．点 $N$ 为线段 $C E$ 上的动点，过点 $N$ 作 $N P ∥ E M$ 交 $M C$ 于点 $P$ ，则 $M N + N P$ 的最小值为．

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24. 如图，矩形 ABCD的边 AB=4， AD=3， M为 BC的中点， P是矩形内部一动点，且满足∠APD=90°， N为边 CD上的一个动点，连接 PN， MN，则PN+MN的最小值为.

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25. 如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得 $P A + P B$ 的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则 $P A + P B$ 的最小值为．

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26. 如图， $E$ 是线段 $A B$ 上一点， $△ A D E$ 和 $△ B C E$ 是位于直线 $A B$ 同侧的两个等边三角形，点 $P ， F$ 分别是 $C D ， A B$ 的中点．若 $A B = 4$ ，则下列结论正确的有．（填序号）
① $P A + P B$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$ ；② $P E + P F$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ ；③ $△ C D E$ 周长的最小值为6；④四边形 $A B C D$ 面积的最小值为 $3 \sqrt{3}$ ．

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