湖南郴州市2026届高三下学期教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2026-04-04 类型：高考模拟

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一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，且 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $z^{2026} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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2. 已知集合 $A = \{x \in N ∣ x^{2} - 7 x - 18 < 0\}, B = \{x |y = ln \frac{3 - x}{3 + x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 9)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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3. 若函数 $f (x) = tan (ω x + φ) (ω > 0, φ > 0)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{12}, 0)$ ，且最小正周期为 $\frac{π}{4}$ ，则该函数的解析式可能为（）

A、 $f (x) = tan (4 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = tan (4 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = tan (2 x + \frac{5 π}{6})$ D、 $f (x) = tan (2 x + \frac{π}{3})$

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4. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，若 $\frac{S_{7}}{7} - \frac{S_{3}}{3} = 2, a_{2} + a_{5} + a_{8} = 15$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、15 B、14 C、13 D、12

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 6) = f (x)$ ，当 $x \in (0, 3)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (- 2025) + f (2026)$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 3$ C、3 D、10

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6. 已知 $A, B$ 为样本空间中的两个随机事件，其中 $P (A) = \frac{2}{3}, P (\bar{B} ∣ A) = \frac{1}{4}, P (B ∣ \bar{A}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知点 $A (- 1, 0)$ ，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 是抛物线 $C$ 上一动点，则 $\frac{|P A|}{|P F|}$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知两个不相等的正实数 $x, y$ 满足： $e^{y - 1} - x = 4 {log}_{2} x - 2 {log}_{2} y$ ，则下列不等式中一定不成立的是（）

A、 $x < y < 1$ B、 $y < x < 1$ C、 $1 < x < y$ D、 $1 < y < x$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 下面说法正确的是（）

A、设 $α, β$ 是两个不同的平面， $m, n$ 是两条不同的直线，若 $m ⊥ α, m ⊥ β, n ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$ B、命题“ $\forall x \geq 1, x^{2} \geq 1$ ”的否定形式是“ $\exists x \geq 1, x^{2} < 1$ ” C、已知 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的必要不充分条件 D、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - a x + a$ 的图象关于点 $(1, - 2)$ 成中心对称

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10. 已知二次曲线 $C : 5 (x^{2} + y^{2}) + 6 x y = 8$ 表示一个椭圆，则（）

A、 $C$ 的对称中心为 $(0, 0)$ B、 $C$ 上的点到原点距离的取值范围是 $[\frac{1}{2}, 2]$ C、当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在 $C$ 上时， $y_{0} \in [- \frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}]$ D、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示，已知正八面体 $P - A B C D - S$ 棱长为2，下列结论正确的有（）

A、平面 $P C D$ 与平面 $S C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ B、正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、正八面体的体积与表面积的比值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $A$ 到平面 $S C D$ 距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ .

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13. 在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 2 B$ ，则 $\frac{c - b}{a}$ 的取值范围为.

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14. 若存在实数 $m$ ，使得关于 $x$ 的方程 $e^{m + a - x} = \frac{2 x - 2 m - 1}{x - m - 1}$ 有两个不同的根，其中 $e$ 为自然对数的底数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

15. 随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量 $y$ （单位：万个），为方便研究，年份代码用 $x$ 表示（如： $x = 1$ 表示2021年），具体参考数据如下表：
统计量
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
数值
55
72.6
21

(1)、请根据表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及均值.
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

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16. 苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的 $C$ 处，此时他测得山顶 $A$ 的仰角为 $30^{\circ}$ .他沿着东偏南 $30^{\circ}$ 的方向前行200米后到达点 $D$ 处，此时他测得山顶点 $A$ 的仰角为 $45^{\circ}$ .假设山顶在水平面上的投影为点 $B$ ，且点 $D$ 位于点 $B$ 的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计.

(1)、求山高 $A B$ ；

(2)、已知景区内点 $E$ 处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为 $15^{\circ}$ ，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为 $30^{\circ}$ .求山脚下缆车上车点 $E$ 到 $B$ 点的距离.

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17. 已知圆 $C_{n} : {(x - 2)}^{2} + {(y - n)}^{2} = 1, n \in N^{*}$ 外有一点 $A (- 3, 3)$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，过点 $A$ 作直线 $l$ ，当直线 $l$ 与圆 $C_{2}$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、自点 $A$ 发出的光线经过 $x$ 轴反射后与 $C_{n}$ 相切，记与 $C_{n}$ 相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为 $a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 7$ .

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左，右焦点，点 $P$ 为椭圆上任意一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}, M N$ 所在的直线经过椭圆的中心 $O$ ，现将坐标平面沿 $y$ 轴折成一个直二面角，如图1､2所示.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线的斜率为1，求翻折后异面直线 $M N$ 与 $F_{1} F_{2}$ 所成角的余弦值；

(3)、当 $M, N$ 不在 $y$ 轴上时，如图2，求 $△ O M N$ 面积的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}, g (x) = x^{2} - 2 e x + a$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, 0)$ 处的切线与 $y = g (x)$ 恰有一个公共点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $m (x) = \frac{g (x)}{x} (x > 0)$ ，讨论函数 $m (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 至少存在一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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统计量	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
数值	55	72.6	21