创新思想—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-14 类型：三轮冲刺

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一、代数式中的创新思想

1. 数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程 $x^{2} + 4 x - \frac{1}{x} + 3 = 0$ 的实数根的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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2. 若一个点的坐标满足 $(m, 3 m)$ ，我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数 $y = x^{2} + x + n$ （n为常数）总有两个不同的倍数点，则n的取值范围是（）

A、 $n < 1$ B、 $n < 0$ C、 $0 < n < 1$ D、 $- 1 < n < 0$

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3. 我们知道”若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d},$ 则 $\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$ “，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（）

A、小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B、配制一种盐水，盐和水的质量比是1：8，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C、一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D、一个长方形的长和宽的比是3：2，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变

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4. 在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将26个汉字依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（如下表），当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号 $y = \frac{x + 1}{2};$ 当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号 $y = \frac{x}{2} + 13 。$ 例如，明码为“故”，明码对应的序号6为偶数，则密码对应的序号为 $\frac{6}{2} + 13 = 16,$ 对应的密码就是“振”。
汉字
山
夏
亲
河
盛
故
土
国
九
心：
州
我
炎
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
汉字
黄
爱
振
系
情
祖
牵
繁
中
荣
母
华
兴
序号
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
根据上述规定，将明码“祖国母亲”译成密码为（）

A、心系华夏 B、我爱中华 C、我爱华夏 D、心系中华

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5. 某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是．

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6. 已知a，b为有理数，如果规定一种新运算： $M_{a}^{b} = a^{2} b - b ， M_{3}^{- 2} =$ ．

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7. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ ，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”．若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a > 0)$ 是“邻根方程”，令 $t = 10 a - b^{2}$ ，则 $t$ 的最大值是．

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8. 一个正整数 $x$ 能写成 $x = a^{2} - b^{2}$ （ $a$ ， $b$ 均为正整数），则称 $x$ 为“美满数”， $a$ ， $b$ 为 $x$ 的一个美满分解，并规定： $F (x) = \frac{a}{b}$ ．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则 $F (4752)$ 的值为．

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9. 感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数 $y$ $= - x^{2} + 2 x + 5$ 的图象与其关于直线 $y = - x$ 对称的图象所组成，若两图象相交于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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10. 先观察下列等式，再回答问题：
① $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{1 + 1} = 1 \frac{1}{2}$ ；
② $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 + 1} = 1 \frac{1}{6}$ ；
③ $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 + 1} = 1 \frac{1}{12}$ ．

(1)、根据上而三个等式提供的信息，请你猜想 $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} =$ ______．

(2)、请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可 $[a]$ 表示不超过a的最大整数，如 $[4] = 4$ ， $[\sqrt{3}] = 1$ ，计算： $[\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{1 + \frac{1}{49^{2}} + \frac{1}{50^{2}}}]$ 的值

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11. 小吴利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入x的值为-1时，输出y的值为-3；输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为6时，输出y的值为3.

(1)、根据题意，填空： a= ， b= ， k= ．

(2)、小吴在平面直角坐标系中画出了函数y关于x的大致图象，如图2所示.
①若关于每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，求出所有符合要求的y的值.
②若在函数图象上有P，Q两点 (P在Q的左侧).P的横坐标为t，Q的横坐标为-t+4.小吴对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行了研究，当此函数的最大值m与最小值n的差是一个定值时，请直接写出t的取值范围.

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12. 小强利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序图如图①所示，输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为 $- 1$ 时，输出y的值为1；输入x的值为 $- 2$ 时，输出y的值为2．根据以上信息解答下列问题．

(1)、求k，a，b的值．

(2)、图②中，根据程序图请你画出一次函数和二次函数的大致图象．

(3)、当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．

(4)、当关于x的方程 $a x^{2} + b x + 2 = t (- \frac{1}{2} x + 1)$ （ $x \leq 0$ ， t为实数）只有一个实数解时，直接写出t的取值范围．

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二、几何中的创新思想

13. 小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．

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14. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，放称“月洞门”，其形制可追翻至汉代，但真正在美学与功能上成热于宋代，北宋建筑学家李诚编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一，如图2是古人根据（营造法式》中的”五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈弧形，用 $\overset{⌢}{A C B}$ 表示，点O是 $\overset{⌢}{A C B}$ 所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高、现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a.作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN.垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O：
④以点O为圆心，OC的长为半径作 $\overset{⌢}{A C B}$ .
则 $\overset{⌢}{A C B}$ 就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）.

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15. 材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．

(1)、在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点 $A$ 、点 $B$ ，把河岸抽象为直线 $L$ ，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．

(2)、如图所示，牧童在 $A$ 处放牛，其家在 $B$ 处， $A C = 10$ 米， $B D = 20$ 米， $C D = 40$ 米，牧童从 $A$ 处把牛牵到河边 $L$ 饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．

(3)、已知 $a + b = 8 (a > 0, b > 0)$ ，求 $\sqrt{a^{2} + 16} + \sqrt{b^{2} + 4}$ 的最小值．（可结合图形）

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16. 光的折射．

物理常识

光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射．

当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即 $n = \frac{sin α}{sin β}$ ．

【概念理解】

（1）如图①，若入射角 $α$ 的度数为 $60 °$ ，折射率 $n = \sqrt{3}$ ，求折射角β的度数．

（2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = 2$ ， $P A$ 是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线 $A Q$ ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【深入思考】

（3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = \frac{4}{3}$ ，直线l上有一个位置固定的遮光板 $A B$ ，且M是 $A B$ 的中点；在直线l下方有一个圆形区域 $⊙ O$ ，且 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板 $A B$ 的遮挡，使得折射光线不能进入 $⊙ O$ 的内部．已知 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射）

①点光源P到直线l的距离的最大值是_______；

②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而_______．（填“变大”或“变小”）

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17. （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 16}$ 的最小值”．小强同学发现 $\sqrt{x^{2} + 4}$ 可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长， $\sqrt{{(8 - x)}^{2} + 16}$ 可看作两直角边分别是 $8 - x$ 和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 16}$ 的最小值是______．

（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且 $a + b = 12$ ．求 $\sqrt{a^{2} + 4} + \sqrt{b^{2} + 9}$ 的最小值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且 $\sqrt{4 a^{2} + b^{2}}$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}$ 是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．

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18. 问题解决策略：归纳
活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题．
【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点．
如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图 $2 - 4$ 中作出第四种情况．
【类比发现】
请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中．
长方形内直线的条数
2
3
4
5
…
最多的交点个数
1

…
【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点；
活动二：
（1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于 $3 \times 9 = 27$ ，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“ $3 \times 9$ ”的结果．类似地， $1 \times 9 = 9$ ， $2 \times 9 = 18$ ， $4 \times 9 = 36$ ， …， $9 \times 9 = 81$ 也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式： $9 n = 10 \cdot$ (______)+(______)；
（2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从 $1 \times 8 = 8$ ， $2 \times 8 = 16$ ， $3 \times 8 = 24$ ， …， $8 \times 8 = 64$ 的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则 $3 \times 8 = 2 \times 9 + 6 = 24 ．$ 类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______．

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19. 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.

3， 4， 5	7， 24， 25	11， 60， 61	15， 112， 113	19， 180， 181
4， 3， 5	8， 15， 17	12， 35， 37	16， 63， 65	20， 21， 29
5， 12， 13	9， 12， 15	13， 84， 85	17， 144， 145	21， 28， 35
6， 8， 10	10，▲ ， 26	14， 48， 50	18， 80， 82	22， 120， 122

(1)、请补全上表中的勾股数.

(2)、根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.

(3)、某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花?

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三、统计概率中的创新思想

20. 如图，某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动.在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当成数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，通过最后一个进口时，只有乘积是5 的倍数，才可以进入迷宫中心，现让小军从最外环任一个进口进入.

(1)、小军能进入迷宫中心的概率是多少?请通过画树状图进行说明.

(2)、小组两名组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果定胜负.游戏规则如下：小军若能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军若不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗?如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环形路进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平.

(3)、在(2)的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问：小军至少几次进入迷宫中心?

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21. 小蒙设计了一个抽奖游戏：如图，宝箱是由7×7的方格组成的，方格中随机放置着 10个奖品，每个方格中最多能放一个奖品.

(1)、如果随机打开一个方格，那么获得奖品的概率是.

(2)、为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏.小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现出了数字2(如图).小蒙解释，这说明与这个方格相邻的8个方格(即区域A)中有2个放置了奖品.进行第二次抽奖，小雨将有两种选择：打开区域 A 中的方格或打开区域A 外的方格.为了尽可能获得奖品，你会建议小雨如何选择?为什么?

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22. 小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字 $0 ~ 9$ ．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：
①从左至右按从小到大的顺序排列：
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：
第一行：
第二行：
第三行：
第四行：
其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，有的卡片上的数字并不能唯一确定．

(1)、求第四行最后一张白色卡片上数字．

(2)、小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，求小明一次猜对所有数字的概率．

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23. 如图（1），线段 $A E$ 和 $B D$ 相交于点C，连接 $A B ， D E$ ．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．

(1)、若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明 $△ A B C ≌ △ D E C$ 成立的概率是_________；

(2)、若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明 $△ A B C ≌ △ D E C$ 成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．

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24. 为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是 $2^{m}$ （m为正整数）．将这 $2^{m}$ 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，测将这些人平均分成两组，每组 $2^{m - 1}$ 个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．以此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为4，且标记为“ $\times$ ”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图表示．从图中可以看出，需要经过3轮共n次检测后，才能确定标记为“ $\times$ ”的人是唯一感染者．

(1)、n=；

(2)、若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮7次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值．

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汉字	山	夏	亲	河	盛	故	土	国	九	心：	州	我	炎
序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
汉字	黄	爱	振	系	情	祖	牵	繁	中	荣	母	华	兴
序号	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

长方形内直线的条数	2	3	4	5	…
最多的交点个数	1				…