数学文化—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-13 类型：三轮冲刺

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一、古代诗中的数学

1. 中国古代《孙子算经》中有一道问题：今有四人共车，一车空；两人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车．若每4人共乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车、最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有 $x$ 个人，则可列方程（）

A、 $\frac{x}{4} + 1 = \frac{x - 8}{2}$ B、 $4 (x + 1) = 2 x - 8$ C、 $4 (x - 1) = 2 x + 8$ D、 $\frac{x}{4} - 1 = \frac{x + 8}{2}$

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2. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（　　）

A、 ${\begin{cases} x + y = 2 \\ 50 x + 10 y = 30 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x - y = 2 \\ 50 x + 10 y = 30 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x + y = 2 \\ 10 x + 50 y = 30 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x + y = 2 \\ 10 x + 30 y = 50 \end{cases}$

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3. 《算法统宗》是中国古代数学名著，内有“以碗知僧”的题目为：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？大意是说：山上有一座古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚？若设有x个和尚，则可列方程为（　　）

A、 $3 x + 4 x = 364$ B、 $\frac{364}{3} x + \frac{364}{4} x = 1$ C、 $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 364$ D、 $\frac{364}{3 x} + \frac{364}{4 x} = 1$

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4. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．若驽马先行一十二日，问良马几日追及之？根据题意，若设良马x天可追上驽马，则下述所列方程正确的是（）

A、 $\frac{x}{240} = \frac{x + 12}{150}$ B、 $\frac{x}{240} = \frac{x}{150} - 12$ C、 $240 x = 150 (x + 12)$ D、 $240 (x - 12) = 150 x$

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5. 《诗经・大雅・抑》中写道：白圭之玷，尚可磨也；斯言之玷，不可为也．意思是白圭有了斑点，还可以磨掉；但人说错了话，就难以补救了．相传古时候有个乡绅摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”，客人们听了，心想难道我们是不该来的，于是有一半客人走了；他一看十分着急，又说了一句：“不该走的倒走了！”剩下的人一听，心想那就是说我们该走啊！于是剩下的客人又走了四分之三，他更着急地一拍大腿，连说：“我说的不是他们”，最后剩下的3人心想，不是他们那不就是我们呗，也都起身告辞走了．根据这个故事的叙述，你知道最开始来了位客人吗？

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6. 《冷庐杂识》有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．如图，小明拼凑出爱心形状，若爱心的面积为48，那么七巧板中正方形 $G K H C$ 的面积为．

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7. 幻方是古老的数字问题，在我国古代的《大戴礼记》《洛书》等书籍中均有所记载，在如图所示特殊的“十字幻方”中，横纵两个大长方形内五个数字之和都等于20，则 xy的值为( )

A、9 B、12 C、15 D、16

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8. 幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将 $- 4$ ， $- 3$ ， $- 2$ ， 0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则 $x + y$ 的值为．
$x$

4
0

$- 1$
$y$

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9. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．

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二、几何中的地域文化

10. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型样式丰富，色泽古朴典雅.如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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11. “抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠.图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，AB∥CD，若∠D=75°，∠E=28°，则∠B=°.

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12. 如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B，C，D．使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于m.

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13. 窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若 $∠ 1 + ∠ 3 + ∠ 5 = 156 °$ ，则 $∠ 2 + ∠ 4 + ∠ 6 =$ $°$ ．

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14. 车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥 $A B$ 的长度和桥墩 $A C$ 的高度，进行了如下测量．
测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为 $60 °$ 和 $30 °$ ，已知点E到大桥 $A B$ 的距离为170米，
测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为 $28 °$ ，在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为 $22 °$ ．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3} \approx 1 ． 73$ ， $\tan 28 ° \approx 0 ． 53$ ， $\tan 22 ° \approx 0 ． 41$ ）

(1)、求大桥 $A B$ 的长度；

(2)、求大桥桥墩 $A C$ 的高度．

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15. 如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人。如图 2，现测得三江交汇处夹角 $∠ A O B = 120^{\circ}, ∠ B O C = 100^{\circ}, ∠ A O C = 140^{\circ}$ ，为了点亮金华，现在 $M 、 N 、 P$ 处各安装一盏可旋转 $180^{\circ}$ 的探照灯，分别从 MA、NB、PC 开始按顺时针方向旋转，现测得 $∠ O M N = ∠ O N M = 30^{\circ}, ∠ O N P = ∠ O P N = 40^{\circ}, ∠ O M P = ∠ O P M = 20^{\circ}$ ，灯 M 的旋转速度为每秒 $8^{\circ}$ ，灯 N 的旋转速度为每秒 $a^{\circ}$ ，灯 P 的旋转速度为每秒 $b^{\circ}$ ，且满足 $| 2 a - 5 b | + (a + b - 7)^{2} = 0$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求灯 $M$ 开始旋转几秒时，灯光 $M A$ 第一次与 $O C$ 平行？

(3)、设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到 $180^{\circ}$ 之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间；

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三、数与式的地域文化

16. 2025年，“浙BA”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地。“浙把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口。一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元。

(1)、请你求出 $A, B$ 两款门票的价格；

(2)、某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费 360 元购买 $A, B$ 两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案。

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17. 龙港市体育中心以"千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与闽海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是新南首个可承办国际赛事的演水体育地标.体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体商场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成.田径体育场建在边长a的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所.

(1)、求室内配套场所(阴影部分)的面积；(用含a，b的代数式表示，并化简)

(2)、若a=210米，b=115米，那么室内配套场所面积为多少平方米?

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18. 宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道.今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元.假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅.

(1)、若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；

(2)、若这批杨梅全部售完，销售总收入为16760元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮?

(3)、若杨梅大户留下b(b>0)篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入同样为16760元求b的值.

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19. 城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元．

(1)、商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？

(2)、实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了 $2 a$ 元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了 $60 a$ 盒，于是月销售利润达到了2100元，求 $a$ 的值；

(3)、在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？

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20. 汕头，作为著名的美食之都，其手打牛肉丸、沙茶酱等特产闻名全国．为庆祝汕汕高铁开通，某知名老字号食品厂计划生产一批“高铁开通纪念版”特产礼盒．

(1)、该食品厂原计划用一批新设备生产 $600$ 盒纪念礼盒．由于设备调试顺利，实际每天的生产效率比原计划提高了 $25 %$ ，结果提前2天完成了全部生产任务．求原计划每天生产多少盒礼盒？

(2)、礼盒上市后，为吸引乘坐高铁来的游客，店铺推出一种优惠方案：一次性购买礼盒超过 $10$ 盒时，超出的部分每盒享受8折优惠．已知每盒礼盒的原价为 $120$ 元．若某旅行团购买了一批礼盒，支付的总金额为 $2640$ 元．请计算该旅行团一共购买了多少盒礼盒？

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四、函数的地域文化

21. 北仑港某一天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示．
请观察图象，解答下列各题：

(1)、潮高 $y (c m)$ 是时间 $t (h)$ 的函数吗？为什么？

(2)、求当 $t = 10$ 时的函数值，并说明函数值的实际意义．

(3)、一天内，有几次潮高为 $200 c m$ ？

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22. 近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加 $100 x$ 元（x为整数）．

(1)、直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．

(2)、当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．

(3)、求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？

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23. $2024$ 年舟山群岛马拉松，吸引了来自 $17$ 个国家和地区的约 $15000$ 名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（ $km$ ）与时间t（ $h$ ）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：

(1)、直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值．

(2)、在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？

(3)、乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距 $3 km$ ？

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24. 中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案．

	【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】
问题情境	图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度GF=11cm，杯口宽CD=10cm，CD∥MN，杯体DEC近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度GE=10cm．
⑴任务一	如图2，以杯底AB的中点F为原点O，以MN所在直线为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体DEC的抛物线解析式．
⑵任务二	如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）．①求此时杯里水面的宽度CH；②求此时杯里水的最大深度．

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4	0
$- 1$	$y$