河北石家庄市第一中学2026届高三高考第一次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2026-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x |0 < x < 10, x \in Z\}$ ， $B = \{x |\sqrt{x} \notin Z, x \in A\}$ ，则 $∁_{A} B$ =（）

A、 $\{1, 4, 9\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ D、 $\{2, 3, 5, 6, 7, 8\}$

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2. 已知{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，如果a_n＝2023，则序号n等于（）

A、667 B、668 C、669 D、675

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3. $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{2 + 4 i}{1 - i} =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $2 + 4 i$

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4. 在音乐理论中，若音 $M$ 的频率为 $m$ ，音 $N$ 的频率为 $n$ ，则它们的音分差 $1200 \log_{2} \frac{m}{n}$ .当音 $A$ 与音 $B$ 的频率比为 $\frac{9}{8}$ 时，音分差为 $r$ ，当音 $C$ 与音 $D$ 的频率比为 $\frac{256}{243}$ 时，音分差为 $s$ ，则（）

A、 $2 r + 3 s = 600$ B、 $3 r + 2 s = 600$ C、 $5 r + 2 s = 1200$ D、 $2 r + 5 s = 1200$

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5. 设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3, 4)$ ，若 $P (ξ < 2 a - 3) = P (ξ > a + 2)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、5

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6. 已知直线 $y - 4 = k (x + 3)$ 与圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{12}{5}, 0)$ B、 $(0, \frac{12}{5})$ C、 $(- \infty, - \frac{12}{5}) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{12}{5}, + \infty)$

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7. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，若 $|2 \vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点，若直线 $P F_{1}$ 和 $O P$ 的倾斜角分别为 $α$ 和 $2 α$ ，且 $tan α = \frac{3}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、5 C、2 D、 $\frac{7}{5}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（）

A、圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B、圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{2}{3}$ C、圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{1}{3}$ D、圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 $\frac{2}{3}$

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4 B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{5}$ C、 ${log}_{\frac{1}{2}} a + {log}_{\frac{1}{2}} b$ 的最小值为3 D、 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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11. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{3} = 16 x^{2} y^{2}$ 为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）

A、方程 ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = 16 x^{2} y^{2} (x y < 0)$ ，表示的曲线在第二和第四象限； B、曲线 $C$ 上任一点到坐标原点 $O$ 的距离都不超过 $2$ ； C、曲线 $C$ 构成的四叶玫瑰线面积大于 $4 π$ ； D、曲线 $C$ 上有 $5$ 个整点（横､纵坐标均为整数的点）.

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. ${(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用数字作答）.

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13. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .若 $b = 6 ， a = 2 c ， B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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14. 现有n（ $n > 3$ ， $n \in N^{*}$ ）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（ $k = 1$ ， 2，3，…，n）个袋中有k个红球， $n - k$ 个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是 $\frac{4}{9}$ ，则 $n =$ .

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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 的侧面 $P B C$ 是等边三角形，底面 $A B C$ 是直角三角形，斜边 $A C$ 的中点为 $E$ ．

(1)、证明： $B C ⊥ P E$ ；

(2)、若 $P A : A B : B C = \sqrt{10} : 3 : 1$ ，求 $P E$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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16. 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 $x$
1
2
3
4
5
带货金额 $y /$ 万元
350
440
580
700
880

(1)、计算变量 $x, y$ 的相关系数 $r$ （结果精确到0.01）.

(2)、求变量 $x, y$ 之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.
参考数据： $\bar{y} = 590, \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 176400$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1320, \sqrt{441000} \approx 664$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，线性回归方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 n - 3$ ，且 $a_{1} = - 1$ ．

(1)、若 $b_{n} = a_{n} + 3 n$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - 2$ ，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a, f (a))$ $(a \in R)$ 处的切线.

(1)、当 $a = 0$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 有唯一零点；

(3)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，交点横坐标为 $x_{1}$ .若 $x_{1} \geq x_{0}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与x正半轴交于点A，与直线 $y = \sqrt{3} x$ 在第一象限的交点为B．点 $C$ 为圆O上任一点，且满足 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，以x，y为坐标的动点 $D (x, y)$ 的轨迹记为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、若两条直线 $l_{1}$ ： $y = k x$ 和 $l_{2}$ ： $y = - \frac{1}{k} x$ 分别交曲线 $Γ$ 于点E、F和M、N，求四边形 $E M F N$ 面积的最大值，并求此时的k的值；

(3)、研究曲线 $Γ$ 的对称性并证明 $Γ$ 为椭圆，并求椭圆 $Γ$ 的焦点坐标．

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月份 $x$	1	2	3	4	5
带货金额 $y /$ 万元	350	440	580	700	880