规律探索之几何—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-11 类型：三轮冲刺

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一、图形的个数规律探索

1. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）

A、16 B、18 C、20 D、22

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2. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是( )

A、32 B、28 C、24 D、20

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3. 五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第 $n$ 个图形中点的个数 $y$ 与 $n$ 的关系式是（）

A、 $y = n^{2} - n + 2$ B、 $y = n^{2} - 2 n + 1$ C、 $y = n^{2} - n - 1$ D、 $y = n^{2} - n + 1$

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4. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n= ．

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5. 一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个， …，依此规律，第⑩个图形有个.

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6. 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有个．

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二、图形的递变规律

7. 如图，已知 $∠ M O N = 3 0^{°}$ ，点 A₁ ， A₂ ， A₃ ， ... 在射线 ON 上，点 B₁ ， B₂ ， B₃ ， ... 在射线 OM 上， $△ A_{1} B_{1} A_{2}$ ， $△ A_{2} B_{2} A_{3}$ ， $△ A_{3} B_{3} A_{4}$ ， ... 均为等边三角形，若 $O A_{1} = 2$ ，则 $△ A_{6} B_{6} A_{7}$ 的边长为（）

A、16 B、32 C、64 D、128

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8. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $C E$ 、 $B E$ 的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作 $∠ A B E$ 和 $∠ D C E$ 的平分线，交点为 $E_{1}$ ；第二次操作，分别作 $∠ A B E_{1}$ 和 $∠ D C E_{1}$ 的平分线，交点为 $E_{2}$ ；第三次操作，分别作 $∠ A B E_{2}$ 和 $∠ D C E_{2}$ 的平分线，交点为 $E_{3}$ ；……；第 $n$ 次操作，分别作 $∠ A B E_{n - 1}$ 和 $∠ D C E_{n - 1}$ 的平分线，交点为 $E_{n}$ ．若 $∠ E_{n} = α$ 度，那么 $∠ B E C$ 等于（）度．

A、 $2^{n} α$ B、 $2^{n - 1} α$ C、 $\frac{α}{2^{n}}$ D、 $2^{n + 1} α$

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9. 将n个边长都为 $1 c m$ 的正方形按如图所示的方法摆放，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{n}$ 分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）

A、 $\frac{1}{4} c m^{2}$ B、 $\frac{n + 1}{4} c m^{2}$ C、 $\frac{n - 1}{4} c m^{2}$ D、 ${(\frac{1}{4})}^{n} c m^{2}$

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10. 如图，已知以等腰Rt△ABC₁的斜边BC₁为直角边向外作第1个等腰Rt△C₁BC₂ ，再以等腰Rt△C₁BC₂的斜边BC₂为直角边向外作第2个等腰Rt△C₂BC₃ ， ……，以此类推，若 $A B = A C_{1} = 1,$ 则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（）

A、 $\sqrt{2^{2027}}$ B、 $\sqrt{2^{2026}}$ C、 $\sqrt{2^{2025}}$ D、 $\sqrt{2^{2024}}$

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11. 如图，等腰 $R t △ A B C$ 的直角边长为4，以A为圆心，直角边 $A B$ 为半径作弧 $B C_{1}$ ，交斜边 $A C$ 于点 $C_{1}$ ， $C_{1} B_{1} ⊥ A B$ 于点 $B_{1}$ ，设弧 $B C_{1}$ 与 $C_{1} B_{1}$ 、 $B_{1} B$ 围成的阴影部分面积为 $S_{1}$ ，再以A为圆心， $A B_{1}$ 为半径作弧 $B_{1} C_{2}$ ，交斜边 $A C$ 于点 $C_{2}$ ， $C_{2} B_{2} ⊥ A B$ 于点 $B_{2}$ ，设弧 $B_{1} C_{2}$ 与 $C_{2} B_{2}$ 、 $B_{2} B_{1}$ 围成的阴影部分面积为 $S_{2}$ ， $⋯$ ，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积 $S_{6} =$ ．

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12. 如图，在第1个△ABA₁中，∠B＝40°，∠BAA₁＝∠BA₁A ，在A₁B上取一点C ，延长AA₁到A₂ ，使得在第2个△A₁CA₂中，∠A₁CA₂＝∠A₁A₂C；在A₂C上取一点D ，延长A₁A₂到A₃ ，使得在第3个△A₂DA₃中，∠A₂DA₃＝∠A₂A₃D；…，按此做法进行下去，第4个三角形中以A₄为顶点的内角的度数为

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13. 某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法：
①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O；
②过O作 $O E_{1} ⊥ A B$ 于点E₁ ，连结CE₁交BD于点 P₁；
③过P₁作 $P_{1} E_{2} ⊥ A B$ 于点E₂ ，连结CE₂交BD于点 P₂；
④过P₂作 $P_{2} E_{3} ⊥ A B$ 于点 E₃ ，连结CE₃交BD于点 P₃；……
则点E₁、E₂、E₃即为线段AB的等分点；

(1)、求证： $B E_{2} = \frac{1}{3} A B;$

(2)、已知AB=3BC，
①求∠ACE₃的正弦值；
②按上述方法继续画图得到点 $E_{n} (n > 2),$ 若 $△ C B E_{n} ∽ △ D C B,$ 则n的值为 ▲ .

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14. 如图1是一张足够长的纸条，其中 $P N ∥ Q M$ ，点A、B分别在 $P N$ 、 $Q M$ 上，记 $∠ A B M = α (0 ° < α < 90 °)$ ．如图2，将纸条折叠，使 $B M$ 与 $B A$ 重合，得折痕 $B R_{1}$ ，如图3，将纸条展开后再折叠，使 $B M$ 与 $B R_{1}$ 重合，得折痕 $B R_{2}$ ，将纸条展开后继续折叠，使 $B M$ 与 $B R_{2}$ 重合，得折痕 $B R_{3}$ …依此类推，第 $n + 1$ 次折叠后， $∠ A R_{n + 1} N =$ （用含α和n的代数式表示）

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三、图形的循环规律

15. 四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置， $\cdot \cdot \cdot$ ，这样一直下去，第2024次交换位置后，小鼠所在的座号是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ ，点 $A$ 、 $C$ 在 $y$ 轴、 $x$ 轴上， $B (2, 1)$ ，将矩形 $O A B C$ 绕着点C顺时针旋转 $90 °$ 得到矩形 $C O_{1} A_{1} B_{1}$ ，再将矩形 $C O_{1} A_{1} B_{1}$ ，绕着点 $B_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到矩形 $C_{1} O_{2} A_{2} B_{1}$ ，按此方式依次进行，则点 $A_{7}$ 的坐标为（）

A、 $(11, 0)$ B、 $(12, 1)$ C、 $(14, 2)$ D、 $(15, 2)$

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17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (0, 4)$ ，点B在第一象限内， $A O = A B$ ， $∠ O A B = 120 °$ ，将 $△ A O B$ 绕点O顺时针旋转，每次旋转 $60 °$ ，则第2024次旋转后，点B的坐标为（）

A、 $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ B、 $(2 \sqrt{3}, 0)$ C、 $(2 \sqrt{3}, - 6)$ D、 $(- 2 \sqrt{3}, 6)$

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18. 在平面直角坐标系中，等边△ABC 如图放置，点A的坐标为(1，0).每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△AOB₁ ，第二次旋转后得到△AOB₂ ， …，以此类推，则点A₂₀₂₅的坐标为( )

A、(2²⁰²⁵ ， 0) B、 $({- 2}^{2024}, - 2^{2024} \sqrt{3})$ C、 $({- 2}^{2025}, 0)$ D、 $(2^{2024}, 2^{2024} \sqrt{3})$

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19. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A，C的坐标分别为（2，2），（0，4）。将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（）

A、(-6，2) B、(6， $- 2$ ) C、(2， $- 6$ ) D、( $- 2$ ， 6)

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20. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　）

A、（ $- \frac{3}{2}$ ， $- \sqrt{3}$ ） B、（ $\frac{3}{2}$ ， $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ） C、（ $- \sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ） D、（ $- \frac{3}{2}$ ， $- \frac{3}{2}$ ）

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