规律探索之代数—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-11 类型：三轮冲刺

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一、代数式规律探索

1. 1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（）

A、676 B、675 C、674 D、1350

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2. 黑板上有按规律排列的20个整数：1， $- 2$ ， 3， $- 4$ ， 5， $- 6$ ， 7， $\dots$ ， $- 18$ ， 19， $- 20$ ．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5， $- 10$ ， $- 16$ ，则添写数字 $- 1$ ．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是 $- 16$ ，则另一个数是（）

A、6或4 B、2或8 C、 $- 4$ 或6 D、2或 $- 8$

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3. 观察 $x y^{2}$ ， $- x^{2} y^{3}$ ， $x^{3} y^{4}$ ， $- x^{4} y^{5}$ ， $⋯$ ，根据这些代数式的变化规律，可得第2026个代数式是．

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4. “字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展.经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算.请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式： $2^{2} = 1 + 1^{2} + 2;$
第2个等式： $3^{2} = 2 + 2^{2} + 3;$
第3个等式： $4^{2} = 3 + 3^{2} + 4;$
第4个等式： $5^{2} = 4 + 4^{2} + 5;$

(1)、请用此方法拆分2024²：

(2)、请将上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并运用有关知识说明这个结论是正确的.

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二、数阵类规律探索

5. 如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6， $\dots$ 第 $n$ 行有 $n$ 个数 $\dots \dots$ ．探究其中规律，你认为第 $n$ 行从左至右第3个数不可能是（　　）

A、36 B、96 C、226 D、426

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6. 如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ， ⋯，第 $n$ 个数记为 $a_{n}$ ，则 $a_{4} + a_{200} =$ （）

A、20108 B、20119 C、20110 D、20111

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7. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）”展开式的系数规律.
当代数式 $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$ 的值为81时，则x的值为.

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8. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年)一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为.

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9. 【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 $(a + b)^{n}$ 腰开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： $(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$ ．
【应用体验】
已知 $(x + 2)^{4} = x^{4} + m x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ ，则 $m$ 的值为.

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三、末尾数字规律探索

10. 已知一列数 $a_{1}, a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n}$ …中， $a_{1} = 2, a_{2} = 2 a_{1} - 1, a_{3} = 2 a_{2} - 1 ， \dots ， {a_{n}}_{+ 1} = 2 a_{n} - 1 ， \dots$ 则 $a_{2026} - a_{2025}$ 的个位数字是(　　)

A、8 B、6 C、4 D、2

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11. 对于每个正整数n，设f(n)表示 n(n+2)的末位数字. 例如， f(1)=3(1×3的末位数字)， f(2)=8(2×4的末位数字)， f(3)=5(3×5的末位数字)， …，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)的值是 ( )

A、9115 B、9123 C、9126 D、11141

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12. 观察下列等式： $3^{1} = 3, 3^{2} = 9, 3^{3} = 27, 3^{4} = 81$ ， $3^{5} = 243, 3^{6} = 729, 3^{7} = 2187, ⋯$ .由上述规律可知， $3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + ⋯ + 3^{2023}$ 的末位数字是（）

A、3 B、9 C、2 D、0

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13. 设m，n是正整数，且 $m > n \geq 2$ ，若 $7^{m}$ 与 $7^{n}$ 的末两位数字相同，当 $m - n$ 的值最小时， $\frac{m}{n}$ 的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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14. 若 $A = (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) + 2$ ，则 $A$ 的末位数字是 ( )

A、6 B、7 C、3 D、5

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四、点的坐标规律

15. 如图，已知 $A_{3} (0, 1), A_{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}), A_{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}), A_{4} (0, 2), A_{s} (\sqrt{3}, - 1), A_{4} (- \sqrt{3}, - 1), A_{7} (0, 3),$ $A_{8} (\frac{3 \sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2}), A_{9} (- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2}) \dots \dots$ 则点A₂₀₂₅的坐标是 ( )

A、 $(- \frac{675 \sqrt{3}}{2}, - \frac{675}{2})$ B、 $(\frac{675 \sqrt{3}}{2}, - \frac{675}{2})$ C、 $(- 338 \sqrt{3}, - 338)$ D、 $(338 \sqrt{3}, - 338)$

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16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ ，点 $A$ 、 $C$ 在 $y$ 轴、 $x$ 轴上， $B (2, 1)$ ，将矩形 $O A B C$ 绕着点C顺时针旋转 $90 °$ 得到矩形 $C O_{1} A_{1} B_{1}$ ，再将矩形 $C O_{1} A_{1} B_{1}$ ，绕着点 $B_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到矩形 $C_{1} O_{2} A_{2} B_{1}$ ，按此方式依次进行，则点 $A_{7}$ 的坐标为（）

A、 $(11, 0)$ B、 $(12, 1)$ C、 $(14, 2)$ D、 $(15, 2)$

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17. 如图，点 $P$ 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 $(1, 1)$ ，第2次接着运动到点 $(2, 0)$ ，第3次接着运动到点 $(3, 2)$ …，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(2024, 0)$ B、 $(2023, 1)$ C、 $(2025, 2)$ D、 $(2025, 1)$

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18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，4)，以OA为斜边在y轴右侧作等腰直角△OAA₁ ，过点A₁作x轴的垂线，垂足为A₂ ，以A₁A₂为斜边在右侧以作等腰直角△A₁A₂A₃ ，再过点A₃作x轴的垂线，垂足为A₄ ，以A₃A₄为斜边在右侧作等腰直角△A₃A₄A₅.....按此规律继续作下去，则点A₂₀₂₅的纵坐标为( )

A、 ${(\frac{1}{2})}^{1011}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{1012}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{1013}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{1014}$

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19. 如图放置的 $△ O A_{1} B, △ A_{1} B_{1} A_{2}, △ A_{2} B_{2} A_{3}, \cdot \cdot \cdot, △ A_{n} B_{n} A_{n + 1}$ ，都是以 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots, A_{n}$ 为直角顶点的三角形，点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}$ 都在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上， $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \cdot \cdot \cdot = A_{n} A_{n + 1}$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $O B = 2, O B = A_{1} B_{1} = A_{2} B_{2} = \cdot \cdot \cdot = A_{n} B_{n}$ ，则点 $B_{2024}$ 的坐标是（）

A、 $(1012, 1012 \sqrt{3})$ B、 $(2024, 2024 \sqrt{3})$ C、 $(2024 \sqrt{3}, 4048)$ D、 $(1012 \sqrt{3}, 3038)$

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