贵州省六盘水市2026届高三下学期数学素养训练

试卷更新日期：2026-04-11 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $(1 + i) (4 - i)$ 的虚部为（）

A、 $5 i$ B、 $3 i$ C、5 D、3

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2. 集合 $A = \{x \in N| \frac{12}{x} \in N\}$ 的子集的个数为（）

A、64 B、16 C、6 D、4

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3. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 a + b = 2 c cos B$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 94) + P (X < 86) = 1$ ，则 $μ =$ （）

A、88 B、90 C、92 D、94

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5. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} m x + 1, x < 2 \\ - 2^{- x}, x \geq 2 \end{cases}$ 的值域为 $[- \frac{1}{4}, + \infty)$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{5}{8}, - \frac{1}{2})$ B、 $[- \frac{5}{8}, 0)$ C、 $(- \frac{5}{8}, - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{5}{8}, 0)$

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6. 已知 $sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α - \frac{π}{3}) + cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{4}{9}$ B、 $- \frac{10}{9}$ C、 $\frac{10}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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7. 已知 $P$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上一点， $l$ 为 $C$ 的准线，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ，记 $M$ 为 $P H$ 的中点， $O$ 为坐标原点， $F$ 为 $C$ 的焦点.若 $|O M| = 2$ ，则 $|P F| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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8. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（）

A、 $\frac{80 π}{9}$ B、 $\frac{320 π}{9}$ C、 $20 π$ D、 $80 π$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} = (x, y)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x + 3 y = 0$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $3 x + y = 0$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x - 3 y = 0$ D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $3 x - y = 0$

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10. 如图，从双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点 $F_{2}$ ，且C在点P的切线l恰好为 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线所在的直线.已知 $|F_{1} F_{2}| = 4$ ， C的离心率为2，则下列结论正确的是（）

A、C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、若 $P (\sqrt{3}, y_{0})$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ C、若l与x轴交于点 $Q (\frac{2}{3}, 0)$ ，则 $∣ P F_{1} ∣ = 4$ D、若l的斜率为2，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形

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11. 记函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，已知 $f (1) = e$ ，且 $\forall x \in R$ ， $f^{'} (x) < f (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) > 1$ B、 $f (2) > e^{2}$ C、若 $f (x)$ 为偶函数，则 $f^{'} (x) > - f (x)$ D、 $f (x)$ 可能为二次函数

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = (x + 3) {(x - 1)}^{2}$ 的极大值点为.

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13. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为.

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14. 若对于任意的 $a \in R$ ，关于x的方程 $|sin x + cos x| + |sin x cos x| = m$ 在 $[a,π + a]$ 上始终有解，则m的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表：
单位：人
义肢类型
满意度
合计
满意
不满意
传统义肢
60
40
100
智能义肢
80
20
100
合计
140
60
200

(1)、任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率；

(2)、依据 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E是PC的中点.

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、若 $A B = A P = 2$ ，求二面角 $P - B D - E$ 的余弦值.

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17. 已知函数 $f (x) = a^{2} x^{2} + a x - ln x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围.

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $A (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程.

(2)、设B为椭圆C的右顶点，过点 $P (1, 0)$ 的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）．
（ⅰ）记直线 $B M, B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.
（ⅱ）求 $△ B M N$ 的面积的取值范围.

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19. 若正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足对于给定的正数 $λ$ ， $μ (λ < μ)$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $λ \leq a_{n} S_{n} \leq μ$ （ $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和），则称 $\{a_{n}\}$ 为“ $(λ, μ)$ 稳定数列”.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $(1, 3)$ 稳定数列”，且 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}$ 的取值范围.

(2)、若 $a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n}$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $(1, 2)$ 稳定数列”.

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $(λ, μ)$ 稳定数列”，证明 $\forall n \in N^{*}$ ， $λ n \leq S_{n}^{2} < 2 μ n + a_{1}^{2}$ ．

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义肢类型	满意度		合计
义肢类型	满意	不满意	合计
传统义肢	60	40	100
智能义肢	80	20	100
合计	140	60	200

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828