专题5.1 平移与轴对称—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-05-10 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形有（）个．

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 如图，正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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3. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF，其中A，B，C的对应点分别是点D，E，F.若点E是BC的中点，AB=4，AC=8。则点A与点D之间的距离为( )

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、4

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4. 如图，在平面直角坐标系中，将 $△ A B O$ 平移，得到 $△ E F G$ ，点 $E, F$ 在坐标轴上．若 $∠ A = 90 °, tan B = \frac{1}{2}, A (- 4, 3)$ ，则点 $G$ 坐标为（）

A、 $(11, - 4)$ B、 $(10, - 3)$ C、 $(12, - 3)$ D、 $(9, - 4)$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，2 $\sqrt{3}$ ），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（　　）

A、（﹣3， $\sqrt{3}$ ） B、（ $- \sqrt{3}$ ， 3） C、（ $- \sqrt{3}$ ， 2） D、（﹣2， $\sqrt{3}$ ）

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6. 如图是一块矩形ABCD的场地，长 $A B = 99$ 米，宽 $A D = 41$ 米，从A，B两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（）

A、 $3783 m^{2}$ B、 $3880 m^{2}$ C、 $3920 m^{2}$ D、 $4000 m^{2}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ，点D为边 $A C$ 上一动点，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折叠得到 $△ B E D$ ， $B E$ 与 $A C$ 交于点F，则 $E F$ 的最大值为（）

A、 $2.4$ B、 $4.8$ C、 $7.2$ D、 $9.6$

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8. 如图，直线

l_{1}

、

l_{2}

表示一条河的两岸，且

l_{1} ∥ l_{2}

．现要在这条河上建一座桥，使得村庄

A

经桥过河到村庄

B

的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（）

方案一：

①格点 $A$ 向上平移 $d$ 得到 $A^{'}$ ；②连接 $A^{'} B$ 交 $l_{1}$ 于点 $M$ ；③过点 $M$ 作 $M N ⊥ l_{1}$ ，交 $l_{2}$ 于点 $N$ ， $M N$ 即桥的位置．

方案二：

①连接 $A B$ 交 $l_{1}$ 于点 $M$ ；②过点 $M$ 作 $M N ⊥ l_{1}$ ，交 $l_{2}$ 于点 $N$ ， $M N$ 即桥的位置．

A、方案一、二均可行 B、方案一、二均不可行 C、唯方案一可行 D、唯方案二可行

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 80 °$ ，把 $△ A B C$ 沿着 $A D$ 对折，使得点 $C$ 落在 $A B$ 边上的点 $C^{'}$ 处，再把 $△ B D C^{'}$ 沿着 $C^{'} D$ 翻折得到 $△ B^{'} D C^{'}$ ，若 $B^{'} C^{'} ∥ A D$ ，则 $∠ B$ 的度数是（　　）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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10. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A^'MN，连接A^'C，则当A^'C取得最小值时，则∠DCA^'的正弦值为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、 $2 \sqrt{7} - 2$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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二、填空题

11. 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 方向平移得到正方形 $E F G H$ ，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且 $A E = \frac{1}{3} A C$ ，那么点A到点G的距离是；

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12. 在平面直角坐标系xOy中，对于点W和点M（m，n）给出如下定义：将点W先关于直线x=m翻折，再向上（n≥0时）或向下（n<0时）平移|n|个单位，得到的点叫作点W关于点M的“关联点”.若点B（2，1）关于点C的关联点的坐标是（-3，0），则点C的坐标是.

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13. 如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得 $P A + P B$ 的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则 $P A + P B$ 的最小值为．

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $E$ 是 $A B$ 上一点，且 $E B = 1$ ， $F$ 是 $B C$ 上一动点，若将 $△ E B F$ 沿 $E F$ 对折后，点 $B$ 落在点 $P$ 处，则点 $P$ 到点 $D$ 的最短距离为．

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15. 如图，把一张矩形纸片 $A B C D$ 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 $B E F$ ，若 $B C = 2$ ，则 $A B$ 的长度为．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $A C$ 与 $B C$ 之和为 $12 cm$ ，将 $△ A B C$ 沿 $B A$ 方向平移 $3 cm$ 至 $△ D E F$ 处， $A E = 1 cm$ ，则阴影部分周长为 $cm$ ．

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三、解答题

17. 如图，在7×7正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点. A，B，C三点均在格点上.现以一个格点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，点B的坐标为B(-2，1).

(1)、点C的坐标为；

(2)、连接AB，将线段AB平移，使点B平移到点C的位置，点A平移到点 D的位置，请在图中标出点 D 的位置，并写出点 D 的坐标；

(3)、连接AC ，BC ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图所示， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1) 、 B (4, 2) 、 C (3, 0)$ ．

(1)、作 $△ A B C$ 关于x轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并给出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点的坐标；

(2)、在x轴上存在点P，使得 $S_{△ B C P} = \frac{2}{5} S_{△ A B C}$ 的面积，求出点P的坐标．

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19. 已知， $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示

(1)、写出A、B、C三点的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、 $△ A B C$ 中任意一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 经平移后对应点为 $P_{1} (x_{0} + 4, y_{0} - 3)$ ，将 $△ A B C$ 作同样的平移得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ _．

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20. 如图，等腰 $△ A B C$ 的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $D (5, 1.6)$ ．

(1)、求这个反比例函数的解析式；

(2)、请先描出这个反比例函数图象上不同于点 $D$ 的三个格点，再画出反比例函数的图象；

(3)、将等腰 $△ A B C$ 向下平移，当点 $A$ 落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．

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21. 【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】

(1)、在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；

(2)、已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．

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22. 波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线 $M N$ 轴对称，线段 $P E$ 和 $P F$ 是可伸缩连接杆，点 $E, F$ 的位置固定不变，在海浪波的带动下点 $P$ 处齿轮组可以在 $M N$ 上来回滑动生成动力．已知 $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 m$ ， $C D = 5 m$ ， $M N = 10 m$ ， $∠ E A B = 127 °, ∠ E C D = 135 °$ ，求连杆 $P E + P F$ 的最小值．（结果精确到 $0.1 m$ ）
（参考数据： $\sin 53 ° = \frac{4}{5}, \cos 53 ° = \frac{3}{5}, \tan 53 ° = \frac{4}{3}$ ）

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23. 材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．

(1)、在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点 $A$ 、点 $B$ ，把河岸抽象为直线 $L$ ，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．

(2)、如图所示，牧童在 $A$ 处放牛，其家在 $B$ 处， $A C = 10$ 米， $B D = 20$ 米， $C D = 40$ 米，牧童从 $A$ 处把牛牵到河边 $L$ 饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．

(3)、已知 $a + b = 8 (a > 0, b > 0)$ ，求 $\sqrt{a^{2} + 16} + \sqrt{b^{2} + 4}$ 的最小值．（可结合图形）

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24. 综合与实践．
主题：纸张规格的奥秘．
材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是 $ISO$ 所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如 $A 4, B 5$ 等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性．
探究：如图， $A n$ 系列长方形纸张的规格特征是：
①各长方形纸张的长宽比都相等；
② $A 1$ 纸对裁后可以得到两张 $A 2$ 纸， $A 2$ 纸对裁后可以得到两张 $A 3$ 纸， $\dots$ ， $A n$ 纸对裁后可以得到两张 $A (n + 1)$ 纸，我们把符合这种形状的纸称为 $A$ 系纸．

(1)、直接写出 $A$ 系纸长与宽的比______．

(2)、如图2，折叠 $A$ 系纸片 $A B C D$ ，点 $B$ 落在 $A D$ 上的点 $E$ 处，折痕为 $A F$ ，连接 $E F$ ，然后将纸片展开．点 $G$ 为 $A E$ 的中点，连接 $F G$ ，折叠纸片 $A B C D$ ，点 $B$ 落在 $F G$ 上的点 $H$ 处，折痕为 $F P$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ E F$ 于点 $Q$ ，四边形 $B F Q P$ 纸片是否是 $A$ 系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比．

(3)、在图2中，四边形 $C D E F$ 纸片是否是 $A$ 系纸片？如果不是请在纸片 $C D E F$ 中折出 $A$ 系纸片，画出图形，并加以证明．

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25. 问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片 $A B C$ 折叠，使顶点A 的对应点落在 $B C$ 边上点 D 处，折痕为 $E F$ ，若 $△ B D E$ 与 $△ C D F$ 均为等腰三角形，我们称折痕 $E F$ 是 $△ A B C$ 的双等腰折痕．
初步尝试：
（1）如图①，若点E，F分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 的中点，求证：折痕 $E F$ 是 $△ A B C$ 的双等腰折痕；
类比探究：
（2）如图②，在三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $E F$ 是 $△ A B C$ 的双等腰折痕，且点E为 $A B$ 的中点，连接 $B F$ ，交 $D E$ 于点P，若 $A C = 6$ ， $A B = 8$ ，求 $\frac{S_{△ P E F}}{S_{△ P D B}}$ 的值；
拓展应用：
（3）如图③，在三角形纸片 $A B C$ 中， $E F$ 是 $△ A B C$ 的双等腰折痕， $A E = A F$ ．若 $∠ B$ 是 $△ B D E$ 的顶角，折痕 $E F = 6$ ，点A到折痕 $E F$ 的距离为4，求 $A C$ 边的长．

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26. 综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量. 下面我们来探究以下问题：
在矩形ABCD中， AB=6， AD=9，点E是边AD上一动点，连接BE，作△ABE关于直线BE对称的△FBE，点A 的对称点为点 F.
图1 图2 图3

(1)、如图1，当点 F落在边 BC上时，求证：四边形 EFCD 是矩形；

(2)、如图2，当AE=8时， EF交BC于点G，以BE为直径作⊙O经过点A.
①求 BG的长；
②求证：CD是⊙O的切线；

(3)、当点F落在∠ABC的三等分线上时，请直接写出AE的长.

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27. 翻折问题是初中数学中重要的几何变换之一，是欧氏几何重要的工具，蕴含着深刻的数学思想，是理解对称，全等图形的重要基础．以下某数学兴趣班在数学活动课中研究四边形的翻折问题．

(1)、【探究活动一】如图小明先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，再把把这个矩形展平，连接DM，点E为BC上一点，然后沿直线DE折叠，使得点C的对应点F落在MD上．若AB＝10，BC＝12，则

\frac{B E}{C E}

的值为；

	探究过程	探究方法
第一小组		第一小组同学通过延长AB，DE交于点G，推导出MG＝MD，并利用△BEG∽△CED，求出 $\frac{B E}{C E}$ ．
第二小组		第二小组同学通过连接ME，在Rt△BEM与Rt△FEM中，利用勾股定理解方程，求出 $\frac{B E}{C E}$ ．

请你选择以上两种方法中的一种，通过推导演算求出 $\frac{B E}{C E}$ 的值．

(2)、【探究活动二】如图小李将矩形ABCD改为正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，把这个正方形展平，连接DM，点E为BC上一点，然后沿直线DE折叠，使得点C的对应点C'落在MD上．请求出

\frac{B E}{C E}

的值为．

(3)、【探究活动三】▱ABCD中，AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将▱ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，折痕与直线AD交于点E，若DE＝1，请求出m的值．

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