专题4.12与圆有关的计算—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-05-10 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，某汽车车门的底边 $O M$ 长为 $1 m$ ，车门侧开后的最大角度为 $80 °$ ．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（）

A、 $\frac{π}{9} m^{2}$ B、 $\frac{2 π}{9} m^{2}$ C、 $\frac{4 π}{9} m^{2}$ D、 $\frac{8 π}{9} m^{2}$

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2. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积.如图，⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是( )

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为8cm的①O，其中圆心O到AB的距离为4cm，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（）

A、 $(\frac{128 π}{6} + 16 \sqrt{3}) c m^{2}$ B、 $(\frac{128 π}{3} + 32 \sqrt{3}) c m^{2}$ C、 $(\frac{128 π}{3} + 16 \sqrt{3}) c m^{2}$ D、 $(\frac{128 π}{6} + 32 \sqrt{3}) c m^{3}$

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4. 如图，倒放在地面MN上的靠背椅ABCDE，其中四边形ABCD为正方形，边长为1，点C，D，E在同一直线上，∠BAN=30°.现将其绕点A顺时针旋转后，使得AB与地面MN重合，则点E旋转路径的长度为（）

A、 $\frac{1}{6} π$ B、 $\frac{1}{3} π$ C、 $\frac{1}{2} π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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5. 如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（）

A、 $16 π {cm}^{2}$ B、 $16 \sqrt{5} π {cm}^{2}$ C、 $32 \sqrt{3} π {cm}^{2}$ D、 $64 π {cm}^{2}$

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6. 如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $9 \sqrt{3}$ C、 $10 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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7. 如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示， $\overset{⌢}{A B}$ 是以点O为圆心，OA为半径的弧，已知OA=AB=9cm，则AB的长是（）

A、18πcm B、12πcm C、6πcm D、3πcm

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转40°得到 $△ A D E$ ，点B经过的路径为 $\overset{⌢}{B D}$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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9. 如图， $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ ， $\overset{⌢}{B C}$ 所组成的图形叫做“勒洛三角形”ABC.它是以等边三角形ABC的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间作一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形。若AB=2，顶点A与数轴上表示-1的点重合，将“勒洛三角形”ABC沿数轴向右滚动一周，则点A对应的数是（）

A、4π-1 B、5 C、2π D、2π-1

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10. 如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）

A、 $\frac{5}{72} π R$ （千米） B、 $\frac{1}{12} π R$ （千米） C、 $\frac{5}{36} π R$ （千米） D、 $\frac{2}{9} π R$ （千米）

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11. 如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积（）

A、6 B、12 C、 $4 π$ D、 $3.5 π$

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二、填空题

12. 如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，若∠ACB=144°，则n=.

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13. 如图，物理实验中利用一个半径为 $6 cm$ 的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了 $120 °$ ，此时砝码被提起了 $cm$ ．（结果保留 $π$ ）

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14. 短边与长边之比等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形称为“黄金矩形”.如图，四边形ABCD 是黄金矩形，且 $\frac{A B}{A D} =$ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} .$ 以AB为边作正方形ABFE，点F，E分别在边 BC，AD上，得到黄金矩形 EFCD；以DE为边作正方形DEHG，点H，G分别在边 EF，CD上，得到黄金矩形HGCF.分别以F，H为圆心作 $\hat{B E}, \hat{E G},$ ，则曲线 BEG称为“黄金螺线”.若AD=4，则“黄金螺线”BEG 的长为.(结果保留π)

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15. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $O A = 1$ ，将 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 到 $O A_{1}$ ，扫过的面积记为 $S_{1}$ ， $A_{1} A_{2} ⊥ O A_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A_{2}$ ；将 $O A_{2}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 到 $O A_{3}$ ，扫过的面积记为 $S_{2}$ ， $A_{3} A_{4} ⊥ O A_{3}$ 交 $y$ 轴于点 $A_{4}$ ；将 $O A_{4}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 到 $O A_{5}$ 扫过的面积记为 $S_{3}$ …；
（1） $S_{1} =$ ；
（2）按此规律，则 $S_{2026} =$ ．

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16. 某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为（结果保留 $π$ ）．

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17. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ，AB弧所在圆的圆心C恰好是∠ABO的内心，若 $A B = 2 \sqrt{3},$ 则阴影部分面积为。

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18. 随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为 $40 °$ 的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为米．

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19. 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l₁ ， l₂ ， ⋯，l_n ，高为r的“小三角形”，它们的面积和为 $\frac{1}{2} l_{1} r + \frac{1}{2} l_{2} r + ⋯ + \frac{1}{2} l {}_{n}r = \frac{1}{2} r (l_{1} + l_{2} + ⋯ + l n) = \frac{1}{2} l r$ ．即扇形面积 $S = \frac{1}{2} l r$ ．
请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE＝4，则图中阴影部分面积是．

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20. 如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ， $A_{5}$ ， $A_{6}$ ．再分别以 $A_{1}$ ， $A_{3}$ ， $A_{5}$ 为圆心，为r半径作弧 $\overset{⌢}{A_{2} A_{6}}$ ， $\overset{⌢}{A_{2} A_{4}}$ ， $\overset{⌢}{A_{4} A_{6}}$ ，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为 $4 π$ ，则它的面积为．

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21. 综合与实践——硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为．

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三、解答题

22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，1），B（－3，1），C（－1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A₂BC₂ ，请在图中画出△A₂BC₂ ，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）

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23. 如图， $A B$ 是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线 $A C$ 交于点E，连接 $A D$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ E D$ ；

(2)、若 $E D = 3$ ，求弧 $A C$ 的长；

(3)、若弦 $A C$ 、弦 $A D$ 与弧 $C D$ 所围成的封闭图形的面积是 $\frac{8}{3} π$ ，则
①求半圆O的半径长；
②直接写出 $A E$ 的长．

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24. 综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点 $A$ 出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段 $A C$ ，若圆柱的高 $A B$ 为 $2 cm$ ．底面直径 $B C$ 为 $8 cm$ ．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线 $A C$ 的长（结果保留根号和 $π$ ）；
拓展迁移：
如图2， $O$ 为圆锥的顶点， $M$ 为底面圆周上一点，点 $P$ 是 $O M$ 的中点，母线 $O M = 8$ ，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点 $P$ 出发绕圆锥侧面爬行回到点 $P$ 时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．

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25. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D$ 为直径，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $A C$ ．
（1）求证： $∠ C A D = ∠ E C B$ ；
（2）若 $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线， $∠ C A D = 30 °$ ，连接 $O C$ ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 $\hat{C D}$ 围成阴影部分的面积．

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26. 绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点 $O$ ， $O^{'} (5, 5)$ 为圆心、以 $5$ 为半径作圆，两圆相交于 $A, B$ 两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．

(1)、写出 $A, B$ 两点的坐标；

(2)、求叶瓣①的周长；（结果保留 $π$ ）

(3)、请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．

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27. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白、彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②，已知⊙O和圆上一点 M.作法如下：
①以点 M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分.

(1)、请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图②中将⊙O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)、根据(1)画出的图形，连结AB，AC，BC.若⊙O的半径为 2 cm，则△ABC的周长为cm.

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28.
某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形.
乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形.

(1)、判断甲乙两位同学的结论( )

A、甲正确，乙错误 B、甲错误，乙正确 C、两位同学都正确 D、两位同学都错误

(2)、如图1，⊙O的半径为3，矩形ABCD内接于圆O.丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大.以下是他的证明思路：
根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断 $△ A O D$ 的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少?

(3)、如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，OA=3，OD=4，矩形 ABCD 的两边AB 和CD 分别为同心圆的两条弦.请你求出矩形ABCD 面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少?

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29. 等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在 $⊙ O$ 中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知 $A B = 10$ 为半圆 $O$ 的直径，点 $C$ 为半圆弧上一动点．

(1)、如图1所示，若以 $A C$ 为底边作 $⊙ O$ 的“沉毅三角形”，以 $B C$ 为底边作 $⊙ O$ 的“朴实三角形”，请判断 $∠ D C E$ 的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出 $∠ D C E$ 的度数．

(2)、如图2所示， $△ A C D$ 是 $⊙ O$ 的“沉毅三角形”，当 $A D$ 与 $⊙ O$ 相切时，判断 $△ A C D$ 是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出 $A C$ 的长度．

(3)、若分别以 $A C$ 为底边作 $⊙ O$ 的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点 $C$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，分别求出点 $D$ 运动的路径长度．

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30. 阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点 $+$ 定长”：
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 56 °$ ， D是 $△ A B C$ 外一点，且 $A D = A C$ ，求 $∠ B D C$ 的度数．
解：由题意，若以点 $A$ （定点）为圆心， $A B$ （定长）为半径作辅助圆 $⊙ A$ （可在图1中画出辅助圆 $⊙ A$ ），则点 $C$ 、 $D$ 必在 $⊙ A$ 上， $∠ B A C$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆心角，而 $∠ B D C$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆周角，从而可容易得到 $∠ B D C =$ ________ $°$ ．
②类型二，“定角 $+$ 定弦”：
如图2， $Rt △ A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 12$ ， $B C = 8$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 内部的一个动点，且满足 $∠ P A B = ∠ P B C$ ，求线段 $P C$ 长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵ $∠ A B C = 90 °$ ，
∴ $∠ A B P + ∠ P B C = 90 °$ ，
∵ $∠ P A B = ∠ P B C$ ，
∴ $∠ A B P + ∠ P A B = 90 °$ ，
∴ $∠ A P B =$ _______ $°$ ，（定角）
∴点 $P$ 在以 $A B$ （定弦）为直径的 $⊙ O$ 上，
如图2，连接 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点 $P$ ，此时 $P C$ 最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边上一动点（点P不与B，C重合），连接 $A P$ ，作点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点 $M$ ，则线段 $M C$ 的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形 $A B C D$ 中， $A D = 10$ ，动点E，F分别在边 $D C$ ， $C B$ 上移动，且满足 $D E = C F$ ．连接 $A E$ 和 $D F$ ，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点 $P$ 的运动路径长．

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31. 材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

(2)、材料的疏水性随着接触角的变大而（选填“变强”“不变”“变弱”）．

(3)、【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．

(4)、【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．

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