5月上旬之图形的性质与变化—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2026-05-10 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=4，则△ABC的面积是（）

A、6 B、8 C、12 D、24

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2. 如图，正方形ABCD的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形EQFP，其中P，Q分别为AD，BC的中点，则菱形的边长为（）

A、5 B、6 C、2 $\sqrt{5}$ D、4 $\sqrt{5}$

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3. 如图1，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫作小孔成像.图2是小孔成像原理的示意图，已知AB∥CD，光线CB，DA，EF交于点O，EF⊥AB.若OE=8cm，OF=3cm，CD=2.4cm，则AB的长为（）

A、1cm B、6.4cm C、9cm D、13.6cm

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4. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A^'MN，连接A^'C，则当A^'C取得最小值时，则∠DCA^'的正弦值为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、 $2 \sqrt{7} - 2$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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5. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为BC上中点，连结AE.点F在以AE为直径的半圆上，且EF=EB.延长AF，EF分别交CD于点G，H，连结GE，则下列结论错误的是（）

A、EA平分∠BEF B、GE⊥AE C、AE=3GE D、 $\frac{G H}{G C} = \frac{6}{5}$

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6. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A'是点A关于直线BD的对称点，连结A'B交 CD，AC于点E，F，连结OE. 若CF=3，OF=2，则OE的长度为( )

A、 $\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{3}{14} \sqrt{14}$ C、 $\frac{5}{3} \sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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二、填空题

7. 如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为米（精确到1米，参考数据 $\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{3} \approx 1.73) .$

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8. 2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线AB上升至最高点A 后下落，再沿直线AC精准落在地面C点，且AB=AC．测得最高点A 距地面高度为2.4米，起跳点B 与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线AB 与地面BC的夹角为θ．则tanθ= ，机器人起跳路线AB的长度为米．

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9. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为.

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10. 如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD=2DB．C为⊙O上一点，满足AD=AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD．若CF=1，则EF的长为．

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11. 如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，点 D， E分别在边AC，BC上，连结DE，作DF⊥AB于点 F，连结CF. 若DE垂直平分 CF，BF=12， CE=13，则AD 的长为.

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12. 如图，菱形ABCD， AB=4， ∠DAB=60°，将菱形ABCD关于 AB对称，得到菱形ABC'D'，在对角线AC， AC’上有两个动点E， F， AE=C'F，连结CF， EC’交于点 P，连结AP，则 AP 的最小值为．

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13. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P在半径OB上，且AC=AP，连结CP，DP，BD.若 $\frac{C P}{B D} = \frac{3}{2},$ 则cos∠CPD=.

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14. 如图，在▱ABCD中，点E在BC上，点B关于直线AE的对称点F落在□ABCD内，延长AF交DC于点G，交射线BC于点P，延长EF交CD于点Q。当CP=CE时，设 $\frac{B E}{C E} = m (0 < m < 2), \frac{D O}{C Q} = n,$ 则n=（用含m的代数式表示）。

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15. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH。延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH。若 $\hat{A M} = \hat{D M},$ 则 $\frac{A B}{M H}$ 的值为。

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三、解答题

16. 【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】

(1)、在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；

(2)、已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．

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17. 如图， AB 切圆O于点 C，过直径DG上一点 E 作 AE⊥DB，AE交 CD于点 F， AC交 DG的延长线于点 B．

(1)、求证： AF=AC；

(2)、若E为OD 中点， $A B = 7 \sqrt{2}, t a n B = 1,$ 求弧CG的长度．

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18. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°.

(1)、填空：∠APB=°；

(2)、求点D到地面AC的距离；

(3)、求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）

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19. 综合与实践：
【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线。
【数学问题】如图2，已知▱ABCD，AB=40cm，BC=60cm，∠B=53°。作一条直线EF，使直线EF⊥BC，且将▱ABCD分成周长相等的两部分。
【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接AC，BD交于点O；②以AC为直径作半圆交边BC于点H；③连接AH，作∠HAC的角平分线交半圆O于点G；④作直线OG分别交边AD，BC于点E，F，直线EF就是所求作的直线。

(1)、【解决问题】
求▱ABCD的面积。（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

(2)、根据小嘉的作图过程，说明直线EF⊥BC且将▱ABCD分成周长相等的两部分的理由。

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20. 在等边△ABC中， AB=4， D是BC边上的中点， E， F分别是线段AC， AD上任意一点，连结 EF，将线段EF绕点E顺时针旋转120°得到线段EG，连接FG、AG，EF的延长线交射线AB于点M．

(1)、如图1，当点E与点C重合，若CF为∠ACB的平分线， FG交AC于点 P，求AP的长；

(2)、如图2，若N为线段AC上一点，且∠AGN=∠AEG， AF=AN，求证： $A M + A F = \sqrt{3} A E;$

(3)、如图3，设∠AEF=α，求证： $\frac{E F}{M F} = \frac{s i n (12 0^{\circ} - α)}{s i n α} ．$

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21. 在矩形ABCD中，E是BC边的中点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，射线BF与直线CD交于点P，设 $\frac{A D}{A B} = k .$

(1)、如图①，若k=1，求证：AE=BP；

(2)、如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定k的值；

(3)、作点B关于直线AE的对称点B'，连结AB'，延长AB'交直线CD于点H.当DH=2DP时，求 $\frac{B F}{F P}$ 的值，并直接写出相应k的值.

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22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D，P分别为AC，BC的中点，连结BD，E为BD的中点，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，交EP的延长线于点N，连结AE，AN。

(1)、若AB=8，求EP的长；

(2)、证明：CD=PN；

(3)、当AE⊥EN时，求 $\frac{S_{△ A E N}}{S_{△ A B C}}$ 的值。

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23. 如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转 $△ A B C,$ 记点B，C旋转得到的对应点分别为点E，F.

(1)、求菱形的边长.

(2)、当EF∥AC时，求FC的长.

(3)、若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.

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24. 如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．

(1)、如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．

(2)、如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设 $\frac{A F}{D M} =$ x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当 $\frac{A F^{2}}{D M^{2}} = \frac{O E}{O B}$ 时，求 $\frac{O G}{C N}$ 的值．

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25.

(1)、【探究发现】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证： $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D} .$

(2)、【拓展运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB，E为斜边AB上的中点，连结CE交AD于点F.利用（1）的结论，求EF的值.

(3)、【综合提升】如图3，四边形ABCD为圆内接四边形，其中AB=CB，AD=12，CD=8，AC=10，对角线AC，BD交于点E，求DE的长.

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26. 如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α
10°
$20 °$
$30 °$
α
∠DHC
$45 °$
$45 °$
① ▲
② ▲

(1)、请填表，并证明结论②：

(2)、求证： BH∥AF；

(3)、在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．

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27. 如图，在四边形ABCD中， $A D ‖ B C,$ 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.

(1)、求证：四边形ABCD 是平行四边形.

(2)、若 $\hat{A B} = \hat{A C}, A B = 3 \sqrt{17}, A E = 6 .$
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 $t a n ∠ D G B = \frac{3}{2} .$ 在线段CG上取点 F，过点 F作 $F H ⟂ A F$ 交DG于点 H，求 GH的最大值.

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28.

项目式学习

问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．

【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯 $A B$ 的影子为 $B C$ ，小明（ $D E$ ）站在路灯旁边，影子为 $E F$ ．经测量， $B C$ 长2米， $E F$ 长0.5米，小明的身高为1.5米．

【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯 $A B$ 的影子重合，测得小明的影子 $G H$ 的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）

【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下：

高度/米	4	6	8	10
照明亮度的平方/勒克斯 $^{2}$	450	300	225	180
照明范围/平方米	$\frac{16}{3} π$	$12 π$	$\frac{64}{3} π$	$\frac{100}{3} π$

（假设整个照明范围内的照明亮度相等）

同学们搜集了一则材料：

根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．

【问题探究】

(1)、在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯

A B

的高度：．

(2)、在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯

A B

的高度．

(3)、在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．

(4)、在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造个路灯．

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α	10°	$20 °$	$30 °$	α
∠DHC	$45 °$	$45 °$	① ▲	② ▲