浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 5.4 分式的加减（2）

试卷更新日期：2026-05-07 类型：同步测试

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一、分式与整式相加

1. 化简 $\frac{1}{a + 1} + a - 1$ 的结果是（）

A、1 B、 $\frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ C、 $\frac{a^{2}}{a + 1}$ D、 $\frac{1}{a + 1}$

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2. 计算 $x + 1 - \frac{x^{2}}{x - 1}$ 的结果为（）

A、 $\frac{1}{x - 1}$ B、 $\frac{1}{x + 1}$ C、 $\frac{1}{1 - x}$ D、 $- \frac{1}{x + 1}$

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3. 化简 $\frac{1}{x + 1} - x + 1$ 的结果是

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4. 吴广同学计算 $a + 2 + \frac{a^{2}}{2 - a}$ 时，是这样做的：
$a + 2 + \frac{a^{2}}{2 - a} = 2 + a + \frac{a^{2}}{2 - a}$ ……第一步
$= (2 + a) (2 - a) + a^{2}$ ……第二步
$= 2 - a^{2} + a^{2}$ ……第三步
$= 2$ ……第四步

(1)、吴广同学的做法从第______步开始出现错误，正确的计算结果是______．

(2)、计算： $\frac{x^{2}}{x - 1} - x - 1$ ．

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5. 在研究一个分式的值的变化时，我们会将它化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}, \frac{a^{2} - 2 a + 3}{a - 1} = \frac{{(a - 1)}^{2} + 2}{a - 1} = a - 1 + \frac{2}{a - 1} .$

(1)、下列各式中，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的是(填序号). $① \frac{x + 1}{x}, ② \frac{2 + x}{2}, ③ \frac{x + 2}{x + 1}, ④ \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} .$

(2)、将分式 $\frac{x^{2} + 6 x - 3}{x - 1}$ 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和.

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6. 我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式 $\frac{4}{x + 2}, \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 4 x}$ 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}, \frac{x^{2}}{x + 1}$ 是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如， $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ； $\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{{(x - 1)}^{2} + 2 x - 1}{x - 1} = (x - 1) + \frac{2 (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
请按照以上方法解决下列问题．

(1)、将假分式 $\frac{2 x + 1}{x - 1}$ 化为一个整式与一个真分式的和；

(2)、将假分式 $\frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ 化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数．

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二、含参分式的加减

7. 若 $\frac{3 x - 6}{(x + 2) (x - 1)} = \frac{m}{x + 2} + \frac{n}{x - 1},$ 则m+n的值是( )

A、3 B、2 C、- 2 D、- 3

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8. 若 $\frac{a x + b}{x - 3} = \frac{5 x}{x - 3} - \frac{3 x - 1}{x - 3} ，$ 则a= ， b=.

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9. 如果 $\frac{A}{x - 1} - \frac{B}{2 - x} = \frac{2 x - 6}{(x - 1) (x - 2)}$ ，则 $A =$ ， $B =$ ．

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10. 已知 $A$ 为整式，若计算 $\frac{A}{x y + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + x y}$ 的结果为 $\frac{x - y}{x y}$ ，则 $A =$ ．

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11. 对于代数式m，n，定义运算“※”： $m ※ n = \frac{m + n - 6}{m n}$ ，例如： $4 ※ 2 = \frac{4 + 2 - 6}{4 \times 2}$ ，若 $(x - 1) ※ (x + 2) = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ ，则 $2 A + B =$ ．

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12. 阅读材料：
通过小学的学习，我们知道， $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ，
在分式中，类似地， $\frac{2 x + 4}{x + 1} = \frac{2 x + 2 + 2}{x + 1} = \frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1} = 2 + \frac{2}{x + 1}$ ．
探索：
（1）如果 $\frac{3 x + 4}{x + 1} = 3 + \frac{m}{x + 1}$ ，则 $m =$ ；如果 $\frac{3 x - 1}{x + 1} = 3 + \frac{m}{x + 1}$ ，则 $m =$ ；
总结：
（2）如果 $\frac{a x + b}{x - c} = a + \frac{m}{x - c}$ （其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示）
应用：
（3）利用上述结论解决：若代数式 $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ 的值为整数，求满足条件的整数x的值．

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三、异分母分式加减

13. 计算 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x - y}$ ，结果是（）

A、 $- \frac{y}{x (x - y)}$ B、 $\frac{2 x + y}{x (x - y)}$ C、 $\frac{2 x - y}{x (x - y)}$ D、 $\frac{y}{x (x - y)}$

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14. 化简 $\frac{1}{x} + \frac{x - y}{x y}$ 的结果是（）

A、 $- \frac{1}{y}$ B、 $\frac{1}{y}$ C、 $\frac{x - 2 y}{x y}$ D、 $\frac{2 x - y}{x y}$

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15. 若 $x \neq 0$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 x}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2 x}$
B、 $\frac{1}{6 x}$
C、 $\frac{5}{6 x}$
D、 $\frac{11}{6 x}$

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16. 已知分式 $A = \frac{4}{x^{2} - 4} ， B = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{2 - x} ，$ 其中x≠±2，则A与B的关系是（）

A、A=B B、A=-B C、A>B D、A<B

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17. 计算：

(1)、 $\frac{2 a}{5 a^{2} b} + \frac{3 b}{10 a b^{2}};$

(2)、 $\frac{2 m}{5 n^{2} p} - \frac{3 n}{4 m p^{2}};$

(3)、 $\frac{3 y}{2 x + 2 y} + \frac{2 x y}{x^{2} + x y};$

(4)、 $\frac{2 x}{x^{2} - 64 y^{2}} - \frac{1}{x - 8 y} .$

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18. 计算： $(\frac{x + 3}{x^{2} - x} - \frac{x}{x^{2} - 2 x + 1}) + \frac{2 x - 3}{x}$ ．

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四、分式加减法中的整体代入

19. 若 $\frac{a - b}{b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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20. 已知： $\frac{1}{a}$ ﹣ $\frac{1}{b}$ = $\frac{1}{3}$ ，则 $\frac{a b}{b - a}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、﹣ $\frac{1}{3}$ C、3 D、﹣3

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21. 已知 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3,$ 则 $\frac{3 x + 3 y - 2 x y}{2 x - 2 x y + 2 y}$ 的值为.

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22. 已知 $a + b = 4$ ， $a b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ ．

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23. 实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 57, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2025$ ，则 $\frac{b^{2} + c^{2}}{45 - a} + \frac{a^{2} + c^{2}}{45 - b} + \frac{a^{2} + b^{2}}{45 - c} =$ （）

A、186 B、188 C、190 D、192

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