特殊平行四边形·正方形的判定与性质—浙教版数学八（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-05-04 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）

A、（ $\sqrt{3}$ ， -1） B、（2，﹣1） C、（1，- $\sqrt{3}$ ） D、（﹣1， $\sqrt{3}$ ）

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2. 如图，已知 $□ A B C D$ ，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使 $□ A B C D$ 成为正方形. ① $∠ A B C = 9 0^{°}$ ；② $A C ⊥ B D$ ；③ $A B = B C$ ；④ $A C = B D$ . 则下列四种选法中错误的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、③④

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3. 如图，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 、 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 、 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ 、 $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ 的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、 $A_{4}$ 分别位于正方形 $A_{1} B_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 、 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 、 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ 对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　）

A、12 B、13 C、14 D、18

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A B D$ 的角平分线交 $A D$ 于点 $E$ ，若 $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $B E =$ （）

A、6 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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5. 2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是 $1800$ 多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（ $△ D A E$ 、 $△ A B F$ 、 $△ B C G$ 、 $△ C D H$ ）拼成大正方形 $A B C D$ ，中空的部分是四边形 $E F G H$ ，连接 $E G$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $B D$ 与 $E F$ 相交于点 $P$ ，若 $E O = E P$ ，且大正方形 $A B C D$ 边长为 $\sqrt{2} + 1$ ，则四边形 $E F G H$ 的面积为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

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6. 如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（　　）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝ $\sqrt{2}$ CM；
④若AG＝1，GD＝2，则BM＝ $\sqrt{5}$ ．

A、①②③④ B、①② C、③④ D、①②④

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7. 如图，点 E为正方形ABCD内一点， ∠AEB=90°，将△AEB绕点 B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBG。延长AE交 CG于点 F，连接DE。下列结论： ①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形， ③若DA=DE，则2CF=CG； ④若△ADE是等边三角形，其中正确的结论是( )

A、①②③④ B、①②④ C、①③ D、①④

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8. 如图，正方形ABCD的边长为a，P是对角线AC上的点，连结PB，过点P作PQ⊥BP交线段CD于点Q。当DQ=2CQ时，BP的长为（）

A、 $\frac{2}{3} a$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3} a$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3} a$

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二、填空题

9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $B A, B C$ 的中点．若 $B D = 2$ ，则 $E F$ 的长是．

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2，E为 $A B$ 边的中点，点F在 $B C$ 边上，点B关于直线 $E F$ 的对称点记为 $B^{'}$ ，连接 $B^{'} D ， B^{'} E ， B^{'} F$ ．当点F在 $B C$ 边上移动使得四边形 $B E B^{'} F$ 成为正方形时， $B^{'} D$ 的长为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，在 $△ A B C$ 内取一点G，使点G到三角形三边距离 $G D$ ， $G E$ ， $G F$ 都相等，连结 $A G$ ， $B G$ ，已知 $B F = m$ ， $A E = n$ $(m \geq n)$ ．

(1)、若 $m = n$ ，则 $C F$ 的长是（用含m的代数式表示）；

(2)、当 $C F = 1$ ， $4 m^{2} + 4 n^{2} = 109$ 时， $m - n$ 的值为．

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12. 在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2$ ，将直角边 $A C$ 绕点A顺时针旋转得到 $A P$ ，旋转角为 $α (0 ° < α \leq 90 °)$ ，连接 $C P$ ， $P B$ ．若 $△ P B C$ 为等腰三角形，则此时线段 $C P$ 的长为．

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13. 如图，在四边形ABCD中， $∠ B A D = ∠ B F C = 9 0^{°}, A B ∥ D C$ ， $A B = B F = 6, C D = 3, E F ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ，延长EF交AD于点 $G$ ， $∠ A B F$ 与 $2 ∠ C B F$ 互余，则 $F G =$ ．

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14. 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE=.

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三、解答题

15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，G是对角线 $B D$ 上的一点（不与点B，D重合），过点G作 $G E ∥ B C, G F ∥ D C$ ，分别交 $D C ， B C$ 于点E，F．

(1)、求证：四边形 $G E C F$ 是矩形．

(2)、若 $A B = 7, C F = 3$ ，求 $A G$ 的长．

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16. 如图，在正方形 ABCD 中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，AF=AE，连结BE，DE，BF.

(1)、求证：BF=DE；

(2)、当点 E 运动到AC 的中点时(其他条件不变)，四边形 AFBE 是正方形吗?请说明理由.

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17. 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，且∠BPQ＝90°．
（1）①∠ACB＝　　度（直接填空）；
②求证：∠PBC＝∠PQD；
③直接写出线段PB与线段PQ的数量关系；
（2）若BC+CQ＝6，则四边形BCQP的面积为　　（直接填空）；
（3）如图②，连接BQ交AC于点E，直接用等式表示线段AP、PE、EC之间的数量关系．

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18. 如图1，已知四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E ， F$ 分别是边 $A B ， B C$ 上的点（不与正方形的顶点重合），且满足 $A E = B F$ ，连结 $A F ， D E$ 相交于点 $G$ ．

(1)、求证： $∠ A G D = 90^{\circ}$ ；

(2)、如图2，连结 $A C$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，作 $∠ D G F$ 的角平分线 $G M$ 交 $A C$ 于点 $M$ ．
①当 $A E = A P ， A G = 2$ 时，求 $A M^{2}$ 的值；
②试猜想 $A G ， G M ， G D$ 之间满足的数量关系，并证明．

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