特殊平行四边形·矩形的性质与判定—浙教版数学八（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-05-04 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点O，且 $O A = O B = O C = O D$ ，动点E从点B开始，沿折线 $B — A — D$ 运动至点D停止， $C E$ 与 $B D$ 相交于点N，点F是线段 $C E$ 的中点，连接 $O F$ ，有下列结论：①四边形 $A B C D$ 是矩形；②当点E在边 $A B$ 上，且 $C D = 4 O F$ 时，点E是 $A B$ 的中点；③当 $A B = 3$ ， $B C = 4$ 时，线段 $O F$ 长度的最大值为2；④当点E在边 $A B$ 上，且 $∠ C O F = 60 °$ 时， $△ O F N$ 是等边三角形．其中正确的结论有( )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将它向右平移得到Rt△A'B'C'，AC和A^'B^'交于点D ，延长BA ， C^'A^'交于点E ，若BC^'＝7，B'C＝3，则线段DE的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = 6$ ， P为边 $A B$ 上一动点，作 $P D ⊥ B C$ 于点D， $P E ⊥ A C$ 于点E，则 $D E$ 的最小值为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、5 D、 $3 \sqrt{2}$

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4. 如图， $▱ A B C D$ 中， $A B = 22 cm, B C = 8 \sqrt{2}$ cm， $∠ A = 45 °$ ，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿 $A B$ 向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着 $C D$ 向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则 $E F$ 的长为10cm时点E的运动时间是（）

A、6s B、6s或10s C、8s D、8s或12s

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，点 $P$ 为边 $A D$ 上一点，过 $P$ 分别作 $P E ⊥ A C$ ， $P F ⊥ B D$ ，垂足为点 $E$ ， $F$ ，过 $A$ 作 $A H ⊥ B D$ ，垂足为点 $H$ ，若知道 $△ A P E$ 与 $△ D P F$ 的周长和，则一定能求出（　　）

A、 $△ B O C$ 的周长 B、 $△ A D H$ 的周长 C、 $△ A B C$ 的周长 D、四边形APFH的周长

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ．点E在边 $A D$ 上，且 $E D = 3$ ， M、N分别是边 $A B ， B C$ 上的动点，且 $B M = B N$ ， P是线段 $C E$ 上的动点，连接 $P M ， P N$ ．若 $P M + P N = 4$ ，则线段 $P C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 为钝角，以 $A B$ 为边向外作 $□ A B D E, ∠ A B D$ 为钝角，连结 $C E, C D$ 。设 $△ C D E$ ， $△ A C E, △ B C D$ 的面积分别为 $S, S_{1}, S_{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积可表示为 ( )

A、 $S + S_{1} + S_{2}$ B、 $S + S_{1} - S_{2}$ C、 $S - S_{1} + S_{2}$ D、 $S - S_{1} - S_{2}$

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8. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、3 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、填空题

9. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ ，连结 $M N$ 交 $A B$ ， $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ， $A B = 2 E F = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ D = 120 °$ ，则 $C F ＝$ ．

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10. 如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝10，∠DAB＝60°，点E为▱ABCD内一点且在CD的垂直平分线l上，连结DE ， CE ， AE ， BE ，当∠EBA＝2∠EAB 时，AE的长为．

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11. 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B A = B C$ ，把 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点D与点B对应，点D恰好落在 $A C$ 上，过E作 $E F ∥ A B$ 交 $B C$ 的延长线于点F，连接 $B D$ 并延长交 $E F$ 于点G，连接 $C E$ 交 $B G$ 于点H．下列结论：① $B D = D G$ ；② $C H = E H$ ；③ $B D = \sqrt{2} D H$ ；④ $D G = \sqrt{2} E G$ ．其中正确的有（填正确的序号）．

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13. 如图，在矩形ABCD中，E ， F分别是边AB ， AD上的动点，P是线段EF的中点， $P G ⊥ B C$ ， $P H ⊥ C D$ ， G ， H为垂足，连接GH ．若 $A B = 8$ ， $A D = 6$ ， $E F = 5$ ，则GH的最小值是．

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14. 如图，已知 $△ A B C$ 为直角三角形，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = 4$ ， D为边 $A B$ 上中点，E为直线 $B C$ 上一点，线段 $D E$ 绕点D逆时针旋转30°至 $D F$ ，连接 $A F$ ，则 $A F$ 的最小值为，当 $A F$ 取得最小值时， $E F$ 的长为．

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三、解答题

15. 如图，在△ABC中，点E， F分别是AB， AC的中点，过点F作FD⊥BC，垂足为D，点M在FE的延长线上， MF=BD.

(1)、求证：四边形 BDFM 是矩形；

(2)、若AE+ME=8， DF=4， BC=10，求矩形BDFM 的面积.

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16. “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4}$ 的最小值．小华同学发现 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 可看作两直角边分别为 $x$ 和1的直角三角形的斜边长， $\sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4}$ 可看作两直角边分别是 $4 - x$ 和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段 $C E + D E$ 的最小值（其中 $A B = 4$ ，点 $E$ 在线段 $A B$ 上），进而得 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4}$ 的最小值为线段 $C D$ 的长度．
先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：

(1)、直接写出代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4}$ 的最小值；

(2)、若 $x$ ， $y$ 均为正数，且 $x + y = 8$ ，求 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{y^{2} + 16}$ 的最小值；

(3)、若 $\sqrt{15^{2} - x^{2}} + \sqrt{20^{2} - x^{2}} = 25$ ，求 $x$ 的值．

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17. 如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，点 $D$ 是 $A B$ 上（不与 $A$ ， $B$ 重合），过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ B C$ ，垂足分别是 $E$ ， $F$ ．

(1)、判断四边形 $C E D F$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图 $2$ ，连接 $E F$ ， $G$ 为 $E F$ 的中点，随着 $D$ 点在边 $A B$ 上位置的改变， $C G$ 的长度是否也会改变？若不变，求 $C G$ 的长度；若有变化，求 $C G$ 的取值范围．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上．

(1)、如图 $1$ ，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $E B .$ 求证： $B E ⊥ B C$ ；

(2)、如图 $2$ ，在线段 $B D$ 上取一点 $F$ ，使得 $D F = D C$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ B C$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ，连接 $H F$ ，过点 $B$ 作 $B G$ 垂直于 $H F$ 的延长线于点 $G$ ， $B G = A H$ ，连接 $A G$ ， $G D$ ．
$①$ 求证： $△ A H D$ ≌ $△ G F D$ ；
$②$ 若 $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A G$ 的长．

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