【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题16 解答题压轴题

试卷更新日期：2026-05-04 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE=∠MAE.

(1)、求证：AD平分∠BAC；

(2)、求证： $O E^{2} = O B \cdot O C;$

(3)、若射线BM切⊙O于点A，DC=3，tan∠AED= $\frac{1}{2}$ ，求BD的长.

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2. 如图，在△ABC中，AB=AC，D，P分别为AC，BC的中点，连结BD，E为BD的中点，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，交EP的延长线于点N，连结AE，AN。

(1)、若AB=8，求EP的长；

(2)、证明：CD=PN；

(3)、当AE⊥EN时，求 $\frac{S_{△ A E N}}{S_{△ A B C}}$ 的值。

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项目式学习

问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．

【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯 $A B$ 的影子为 $B C$ ，小明（ $D E$ ）站在路灯旁边，影子为 $E F$ ．经测量， $B C$ 长2米， $E F$ 长0.5米，小明的身高为1.5米．

【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯 $A B$ 的影子重合，测得小明的影子 $G H$ 的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）

【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下：

高度/米	4	6	8	10
照明亮度的平方/勒克斯 $^{2}$	450	300	225	180
照明范围/平方米	$\frac{16}{3} π$	$12 π$	$\frac{64}{3} π$	$\frac{100}{3} π$

（假设整个照明范围内的照明亮度相等）

同学们搜集了一则材料：

根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．

【问题探究】

(1)、在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯

A B

的高度：．

(2)、在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯

A B

的高度．

(3)、在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．

(4)、在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造个路灯．

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4. 如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α
10°
$20 °$
$30 °$
α
∠DHC
$45 °$
$45 °$
① ▲
② ▲

(1)、请填表，并证明结论②：

(2)、求证： BH∥AF；

(3)、在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．

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5. 如图，在四边形ABCD中， $A D ‖ B C,$ 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.

(1)、求证：四边形ABCD 是平行四边形.

(2)、若 $\hat{A B} = \hat{A C}, A B = 3 \sqrt{17}, A E = 6 .$
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 $t a n ∠ D G B = \frac{3}{2} .$ 在线段CG上取点 F，过点 F作 $F H ⟂ A F$ 交DG于点 H，求 GH的最大值.

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6. 在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B$ ，点E是对角线 $A C$ 上任意一点，过点E作 $A D$ 的垂线分别交 $A D, B C$ 于点F，G，作 $F H$ 平行 $A C$ 交 $C D$ 于点H．

(1)、证明： $E F = C H$ ．

(2)、连结 $G H$ 交 $A C$ 于点K，若 $A E : C K = 3$ ，求 $A E : E K$ 的值．

(3)、作 $△ F G H$ 的外接圆 $⊙ O$ ，且 $A B = 1$ ．
①若 $⊙ O$ 与矩形的边相切时，求 $C H$ 的长．
②作点E关于 $G H$ 的对称点 $E^{'}$ ，当 $E^{'}$ 落在 $⊙ O$ 上时，直接写出 $△ F G H$ 的面积．

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7. 如图1，在菱形ABCD中， $∠ C = 6 0^{\circ},$ E是对角线BD上一点，连结AE，设 $∠ E A B = α$ $（ 0^{\circ} < α < 3 0^{\circ}),$ 将 $△ A B E$ 沿AE 折叠得到 $△ A G E,$ 连结DG 并延长交BC于点H。

(1)、用含α的代数式表示 $∠ D A G 。$

(2)、求证： ①∠BDH=∠BAE； ②BH=BE。

(3)、如图2，当DG： GH=2：1时，求DE： BE的值。

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8. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴的两个交点分别为 $A (- 2, 0), B (6, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y = k x + 3$ 过点 $B$ 和点 $C$ ．点 $P$ 是第一象限内抛物线上的点，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ B C$ 于点 $Q$ ，连接 $P C$ ．

(1)、求 $a, b, k$ 的值；

(2)、求 $P Q$ 的最大值；

(3)、当 $m \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的取值范围是 $t_{1} \leq y \leq t_{2}$ ，且 $t_{1} + t_{2} = \frac{119}{16}$ ，求 $m$ 的值．

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9. 已知二次函数 $y = {(x - m)}^{2} - 2 (x - m)$ ， m为实数．

(1)、若 $m = 1$ ，求该函数图象的对称轴．

(2)、当 $m + 2 \leq x \leq 3$ 时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．

(3)、若点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 4 m - 6$ ，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 大小．

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10. 已知：在△ABC中， $B C = 5, A C = 3 \sqrt{5}, t a n ∠ B C A = 2 .$

(1)、如图1，求△ABC的面积.

(2)、如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A₁DC₁ ，使得点B与点D重合.
①连结AA₁ ， CA₁.求△AA₁C的面积.
②如图3，将△A₁DC₁绕点D旋转至△A₂DC₂ ，边A₂C₂与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求 $C E^{2} - B D^{2}$ 的最小值.

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11. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=30°，以AB，BC为边作▱ABCD.

(1)、如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数.

(2)、如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为1，求□ABCD与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.

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12. 已知菱形ABCD的面积为 $40 \sqrt{6}, c o s ∠ A B C = \frac{1}{5} .$

(1)、如图1，求菱形ABCD的边长.

(2)、如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，BC.点A关于BE的对称点为点A'，BA'交射线AD于点F，
①当点A'落在线段EC上时，求AF的长.
$② \frac{F B}{F C}$ 的最大值为 ▲ .

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13. 如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y₁ ， y₂.y₁ ， y₂与t的函数图象如图2所示.

(1)、求x的值.

(2)、当2≤t≤4时，求y₁关于t的一次函数表达式.

(3)、若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.

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14. 如图， AB为⊙O直径， C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC， BC，点M为 $\overset{⌢}{A C}$ 中点，连结BM，与AC相交于点 N．

(1)、如图1，连结OM，求证： OM∥BC；

(2)、如图2，连结 ON， AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值；

(3)、如图3，作 MH⊥AB于 H， ∠BMK=∠BAC，与⊙O交于点K(点K在AB下方)， MK与AB交于点E．若 $B C = \sqrt{3}, M H = \sqrt{6},$ 求： ①⊙O的直径； ②EK的长．

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15. 已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.

(1)、如图1，求证：∠BAC=∠DAC；

(2)、如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；

(3)、如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且 $A E = \frac{40}{3}$ ， CD=4，求线段CF的长.

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16. 如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交 CD于点E， F，连结OE，过点O作OG⊥OE交 $\hat{E F}$ 于点 G，过点G作GH⊥CD于点 H，连结GF， GC.

(1)、求证： GH=FH；

(2)、若FH=1， BC=2，求AB的长；

(3)、若CG是⊙O的切线，求证： $F H^{2} = B C \cdot C F .$

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17. 如图，在四边形ABCD中， $∠ B = 9 0^{\circ},$ 且 $A B ‖ C D,$ ，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连结AE， AC， ED，设AC， ED交于点F，且满足 $∠ B E A = ∠ A E D$

(1)、求证： $∠ A C D = ∠ A D C;$

(2)、若EC=2，EF=1，求圆的半径r；

(3)、若 $\frac{A D}{A B} = n (n > \sqrt{2}),$ 求 $\frac{E C}{E F}$ 的值(用含n的代数式表示)．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， D 是边AB上一点(不与点A， B 重合)， ⊙O经过点A， C， D.

(1)、如图1，连结OC， OD， CD，若 $∠ D O C = 15 0^{\circ}, C D = C A,$
① 求 $∠ A D O$ 的度数；
② 若又满足tanB=1，OD=2，求AB的长.

(2)、如图2，过点 D 作 $D E ‖ B C,$ 交⊙O于点E，连结OE，若 $∠ A C B = 2 ∠ A E O,$ 求证：DE=AC.

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19. 如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D.连结AO， AD， CD.

(1)、求证： ∠ABC=∠ADB.

(2)、若∠ACB=55°，求∠OAC的度数.

(3)、若 $A D = \sqrt{6}, \frac{S_{Δ A O S}}{S_{Δ C O E}} = \frac{9}{16};$ 求AE的长.

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20. 如图1，已知△ABC的高 $A D = 10, B C = \frac{55}{3}, t a n B = \frac{3}{4},$ 点E是边AB上的动点，以DE为直径作圆O，交边AB于F，交线段BD于N，交线段AD于M．

(1)、求证： ∠DAB=∠FDB．

(2)、如图2，连结CF，若CF恰好经过点M．
①求 $\frac{E F}{D M}$ 的值．
②求DN的长．

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21. 如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A， C，连结AB，BC， CD， AD，过点B作BF⊥AD于点 F，交AC于点G.

(1)、如图2，若BF经过点O.
①求证： BG=BC.
②若 $t a n ∠ G A F = \frac{1}{2}, C D = \sqrt{5},$ 求⊙O的半径.

(2)、若 $A C = B D, \frac{A G}{G E} = x, \frac{B E}{B D} = y,$ 求y关于x的函数表达式.

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22. 如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB 延长线于点 D，AE 垂直DC 的延长线于点 E，交半圆O于点 F，连结CF.

(1)、求证： ∠BAC=∠ECF.

(2)、若AE=3， DE=4，
①求半圆O的半径；
②若P是AC上一点，连结 PO， PB，求 PO+PB的最小值.

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23. 问题提出

(1)、如图①， $A B ⊥ B C, C D ⊥ B C, E$ 为 $B C$ 上一点，连接 $A E$ 、 $D E$ ，当 $∠ A E D = 90 °$ 时， $∠ A + ∠ D =$ $°$ ．

(2)、问题探究
如图②，在边长为6的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $B C$ 边上任意一点，连接 $D E$ ，并作 $∠ D E F = 60 °$ ，使得 $∠ D E F$ 的一边与 $A C$ 交于点 $F$ ，试求出 $C F$ 的最大值．

(3)、问题解决
如图③，四边形 $A B C D$ 为某美食商业区的平面示意图，其中 $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 80 m$ ， $B C = C D = 100 m$ ．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在 $B C$ 上选取一点M， $C D$ 上选取一点 $N$ ，连接 $A M$ 、 $A N$ 、 $M N$ ，构造 $△ A M N$ ．已知点 $A$ 为美食商业区的出入口， $t a n ∠ A M N = \frac{4}{3}$ ，设 $B M = x m, N C = y m$ ．
（i）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点 $N$ 与点 $C$ 的距离足够远，请你根据需求计算出当 $N C$ 最大时 $△ A M N$ 的面积．

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α	10°	$20 °$	$30 °$	α
∠DHC	$45 °$	$45 °$	① ▲	② ▲