【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题14 数学思想与方法

试卷更新日期：2026-05-04 类型：三轮冲刺

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一、中考数学思想与方法-分类讨论

1. 抛物线 $y = a {(x - 1)}^{2} - 3 (a \neq 0),$ 当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（）

A、1 B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ 或 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$ 或 $- \frac{7}{4}$

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2. 已知反比例函数 $y = \frac{3 - a}{x} (a \neq 3),$ 点M(x₁ ， y₁)和N(x₂ ， y₂)是反比例函数图象上的两点，若对于 $x_{1} = 2 a, 2 \leq x_{2} \leq 4,$ 都有 $y_{1} < y_{2},$ 则a的取值范围是( )

A、a<0或2<a<3 B、0<a<1 C、2<a<3 D、a>3或a<0

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3. 如果关于x的分式方程 $\frac{m x}{x + 2} + \frac{x}{x + 2} = 2$ 无解，那么实数m的值为( )

A、- 1 B、1或0 C、1 D、1或-1

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4. 如图1，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF=90°，EG=FG=10cm ， AB=16cm ， Rt△EFG以2cm/s的速度沿着BC方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动，在运动过程中，当Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分面积为18cm²时，其运动时间为（　　）

A、10 B、20 C、1或10 D、2或20

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5. 已知反比函数 $y = \frac{2}{x}$ 的两点A（2m+1，y₁），B（4-m，y₂），若. $y_{1} > y_{2},$ 则m的取值范围为.

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6. 已知二次函数 $y = {(x - m)}^{2} - 2 (x - m),$ m为实数.

(1)、若m=1，求该函数图象的对称轴.

(2)、当m+2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值.

(3)、若点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 且 $x_{1} < x_{2}, x_{1} + x_{2} = 4 m - 6,$ 试比较y₁与y₂大小.

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7. 已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + t^{2} - 10 t$ （t为常数）.

(1)、求该抛物线的对称轴.

(2)、若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + t^{2} - 10 t (m \leq x \leq n)$ 夹在两条均与x轴平行的直线l₁ ， l₂之间.若直线l₁ ， l₂之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.

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8. 如图， $△ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $O A = 5$ ， $O B = 8$ ，点M为 $A B$ 的中点，C为边 $O B$ 上一点，把 $△ A O C$ 沿直线 $A C$ 翻折得到 $△ A C D$ ．
（1）当点D恰好落在 $A B$ 边上时， $D M$ 的长为；
（2）当 $M D$ 与 $△ A O B$ 的边平行时， $O C$ 的长为．

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9. 综合与探究
菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，连接BD，P是BD上的动点，将CP绕点C顺时针旋转120°得到CQ。

(1)、如图19-1，连接DQ，求证： AD⊥DQ；

(2)、如图19-2，连接PQ交 CD于E，当△CEP是等腰三角形时，求BP的长度；

(3)、如图19-3，连接PQ交CD于E，连接AP，记△CEP的面积为S₁ ， △APD的面积为S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围。

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二、中考数学思想与方法-等积变换

10. 如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， ∠A=30°， AC=4， BD为AC边上的高线，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧分别交边AB，BC于点E，F，则 $\hat{E F}$ 的长为( )

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ C、 $\frac{3}{4} π$ D、π

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11. 在平面直角坐标系中，点P是直线 $y = - x + 4$ 上一点，O为坐标原点，则 $P O$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = 3, B C = 4$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，若点 $M$ 是 $A B$ 边上不与 $A, B$ 重合的一个动点，旋转后点 $M$ 的对应点为点 $M^{'}$ ，则线段 $M M^{'}$ 长度的最小值是（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{12 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{24 \sqrt{2}}{5}$

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13. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中（ $A B < B C$ ）， $B D ⊥ A C$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 上的动点，连接 $D E$ ， $D F$ ，点 $A$ 和 $A^{'}$ 关于 $D E$ 对称，点 $C$ 和 $C^{'}$ 关于 $D F$ 对称，且点 $A^{'}$ ， $C^{'}$ 都在 $B D$ 所在的直线上．已知 $B E = 4$ ，设 $A E = x$ ， $C F = y$ ．下列代数式的值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x - y$ C、 $x y$ D、 $\frac{x}{y}$

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14. 如图，在边长为 4的正方形 ABCD中，点 E、F分别是 BC、CD的中点，DE、AF交于点 G，AF的中点为 H，连接 BG、DH.给出下列结论：
①AF⊥DE； ②DG= $\frac{8}{5}$ ③HD||BG； ④△ABG∽△DHF.
其中正确的结论有.(请填上所有正确结论的序号)

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15. 如图，在直角三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ． D是 $A C$ 中点，将纸片沿 $B D$ 翻折，直角顶点A的对应点为 $A^{'}$ ， $A A^{'}$ 交 $B C$ 于E，则 $C E =$ ．

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16. 如图，在□ABCD中， AC， BD交于点O，且AO=BO。

(1)、求证：四边形ABCD是矩形；

(2)、①用圆规和无刻度直尺在图中作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，保留作图痕迹，不用写出作法和理由；
②在①的条件下，
当 $A D = 10, c o s ∠ A D B = \frac{5}{13}$ 时，求AE的长。

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17. 老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PEIIAB.

(1)、请判断小亮的作法是否正确，并说明理由。

(2)、连接PD，CE，交点为O，若PC=5，PD=6，求点P到直线AB的距离.

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18. 在四边形ABCD中， $A B ∥ C D$ ，点E在边BC上，连接DE， $D E = A D$ ，点F在DE上，连接AF， $A F = C D$ ，且 $∠ A F E = ∠ A D C$ .

(1)、如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)、如图2，连接AE，若 $B E = C E$ ，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图2中面积等于 $△ A D E$ 面积一半的所有三角形.

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三、中考数学思想与方法-数形结合

19. 如图，在平面直角坐标系中，正 $△ A B C$ 与正 $△ B D E$ 是以原点 $O$ 为位似中心的位似图形，且面积比为 $1 : 9$ ，点 $A$ ， $B$ ， $D$ 均在 $x$ 轴上，若点 $C$ 的坐标为 $(2, \sqrt{3})$ ，则点 $E$ 的坐标为（）

A、 $(4, 2 \sqrt{3})$ B、 $(5, 2 \sqrt{3})$ C、 $(6, 3 \sqrt{3})$ D、 $(8, 3 \sqrt{3})$

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20. 已知点 $A (3 - t, y_{1})$ 和点 $B (t + 2, y_{2})$ 都是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像上的两点，下列说法正确的是（）

A、当 $- 1 < t < 3$ 时， $y_{1} > y_{2}$ B、当 $3 < t < 5$ 时， $y_{1} < y_{2}$ C、当 $- 2 < t < 1$ 时， $y_{1} > y_{2}$ D、当 $- 5 < t < - 2$ 时， $y_{1} < y_{2}$

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21. 如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} > 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} > 0)$ 的图象交于 $A 、 B$ 两点，点 $A$ 的横坐标为 $1$ ，点 $B$ 的横坐标为 $- 2$ ，当 $y_{1} < y_{2}$ 时，则 $x$ 的取值范围是．

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22. 如图1，共享单车停放点 $A, B$ 和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．

(1)、求停放点 $A, B$ 之间的距离；

(2)、求甲追上乙的时间；

(3)、若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？

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23. 甲、乙两人分别驾车和骑车匀速从A地前往B地，甲到达B地后以原速度立马返回A地，在A地休息1小时后，又以原速度前往B地；乙从A地出发骑车5小时到达途中的景点C，停车在景点C游玩2小时，接着以原速度继续前往B地．甲、乙两人距离A地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．

(1)、分别求甲、乙的速度．

(2)、求甲从B地返回A地时路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式？

(3)、甲、乙两人第二次相遇时距离A地多远？

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24. 《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想，如图①，借助四边形ABCD的面积说明了等式（a+b)c=ac+bc成立.

(1)、观察图②，③，找出可以推出的等式：
等式A：（a+b)（a-b)=a²-b²：
等式B：（a+b)²=a²+2ab+b²：
可知，图②对应等式；图③对应等式.

(2)、如图④，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是边BC上一点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，过A作BC的平行线交直线EG于点H.分别记△ABD，△BEF，△EGC，△AGH的面积为S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄.求 $\frac{S_{1} + S_{2}}{S_{3} + S_{4}}$ 的值.

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