【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题13 数与式，图形与几何探究主题

试卷更新日期：2026-05-04 类型：三轮冲刺

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一、中考中数与式探究主题

1. 据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知 $a, b, c, d$ 都是正整数， $a < b < c < d$ ，且满足 $a + b + c + d = 10$ ，则其中 $m$ 的值为（）

a

c

m
d

b

A、6 B、7 C、8 D、9

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2. 在二维码中常用黑白方格表示数码 1 和 0，若图 R1-1 表示1011，则表示0110的图是( )

A、 B、 C、 D、

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3. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若 $x = - 3$ ， y比x大2，将x，y填入图②的幻方中，则 ${(b - a)}^{3} \cdot |c - d|$ 的值为（）

A、12 B、16 C、 $- 12$ D、 $- 16$

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4. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　）

A、 $- 1$ 或 $- 4$ B、1或 $- 4$ C、 $- 1$ 或4 D、1或4

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5. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何?”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为（）

A、120平方步 B、240平方步 C、 $\frac{32}{3} π$ 平方步 D、 $\frac{44}{3} π$ 平方步

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6. 2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
22＝1×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰＝10110₂ ．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
22＝2×3²+1×3¹+1×3⁰＝211₃ ．
将二进制数1011₂化为三进制数为（　　）

A、102₃ B、101₃ C、110₃ D、12₃

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7. 如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ 分别表示其中的一个数，则 $a + b - c - d - e$ 的值为．
$a$
$b$
0
$- 2$
3
$c$
$d$
$e$
1

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8. 综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如， ${(1011)}_{2}$ 就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当 $a \neq 0$ 时， $a^{0} = 1$ ．如： $3721 = 3 \times 10^{3} + 7 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 1 \times 10^{0}$ ； ${(421)}_{7} = 4 \times 7^{2} + 2 \times 7^{1} + 1 \times 7^{0}$ ．
【解决问题】

(1)、我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为： $4 \times 7^{1} + 2 = 30$ ），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天

(2)、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）
例如 ${(11011)}_{2} + {(1101)}_{2} = {(101000)}_{2}$ ；
写出 ${(11011)}_{2} - {(1101)}_{2} =$ ________________

(3)、小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．

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9. 我们已经学过完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2},$ 将它适当变形可以解决很多数学问题.

(1)、填空：已知a+b=5， ab=3，则 $a^{2} + b^{2} =$ .

(2)、“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一.在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等.
①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填 ▲ ， ▲ ；每个圆圈上的三个数字之和为 ▲ .
②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，a+b-3，请根据图3的对话内容，求a+b的值.
③在②的结论下，若 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + a^{2} + b^{2} + {(a + b - 3)}^{2} = 126,$ 求 ab的值.

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二、中考中图形与几何探究主题

10. 七巧板源于我国宋代，是广受欢迎的智力游戏．如图，用两副七巧板拼出一幅“勾股图”．若一副七巧板ABCD的面积为 $128 c m^{2}$ ，则 $△ A D E$ 的面积为（）

A、 $16 c m^{2}$ B、 $24 c m^{2}$ C、 $32 c m^{2}$ D、 $64 c m^{2}$

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11. 七巧板源于我国宋代，是广受欢迎的智力游戏.如图，用两副七巧板拼出一幅“勾股图”.若一副七巧板ABCD的面积为128cm² ，则△ADE的面积为（）

A、 $16 c m^{2}$ B、 $24 c m^{2}$ C、 $32 c m^{2}$ D、 $64 c m^{2}$

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12. 七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE．若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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13. “七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球(看作一点)在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部(阴影部分)的概率是 .

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14. 七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是由七巧板拼成的小船，若点 A的坐标为(-1，2)，点 B的坐标为(1，0)，则点 C的坐标为.

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15. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，若∠ABE=9°，OA=10，则图中 $\hat{A B}$ 的弧长为（结果用π表示）.

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16. 七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为 $4$ 的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点 $A$ 的坐标为．

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17. 数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰 $Rt △ A B E$ 和等腰 $Rt △ B C F$ ， ③和④分别是 $Rt △ C D G$ 和 $Rt △ D A H$ ， ⑤是正方形 $E F G H$ ．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙，且对角互补的四边形 $A B C D$ ．若 $\frac{D G}{H G} = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{A D}{C D}$ 的值为．

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18. 我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式 $S = π r^{2}$ ，可得 $π = \frac{S}{r^{2}}$ ，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得 $π$ 的估计值为（结果保留根号）．

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19. 七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的 $A, B, C$ 三个顶点作圆，则这个圆的半径长为．

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$a$	$b$	0
$- 2$	3	$c$
$d$	$e$	1