特殊平行四边形·十字架模型—浙教版数学八（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-05-03 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $C D ， B C$ 上（不与端点重合），且 $B F =$ $C E$ ，连结 $B E ， A F$ 相交于点 $G$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $B E = A F$ B、 $∠ A F B + ∠ B E C = 90^{\circ}$ C、 $∠ D A F = ∠ A B E$ D、 $A G ⊥ B E$

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2. 如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G.则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为 $\sqrt{13}$ ﹣2.其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，已知F、E分别是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 与 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $D F$ 交于P．则下列结论成立的是（）

A、 $B E = \frac{1}{2} A E$ B、 $P C = P D$ C、 $∠ E A F + ∠ A F D = 90 °$ D、 $P E = E C$

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4. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在AB，BC 上，连结 AF，过点 E 作 EG⊥AF 交CD 于点G，连结 FG.若 AE=2BF，∠BAF=α，则∠EGF 一定等于( )

A、45°+α B、 $4 5^{\circ} - α$ C、2α D、α

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5. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，点 $E$ 为 $C D$ 上一点，连接 $A E$ ，过点 $D$ 作 $A E$ 的垂线交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ．若 $D E = 2$ ，则 $A F$ 的长为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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6. 已知四边形 $A B C D$ 是边长为 $8 cm$ 的正方形， $P$ ， $Q$ 是正方形边上的两个动点，点 $P$ 从点A出发，以 $2 cm/s$ 的速度沿 $A \to B \to C$ 方向运动，点 $Q$ 同时从点 $D$ 出发以 $1 cm/s$ 速度沿 $D \to C$ 方向运动．设点 $P$ 运动的时间为 $t (0 < t < 8)$ ．当点 $P$ 在 $B C$ 边上， $A P$ 、 $B Q$ 相交于点 $H$ ，当 $A P ⊥ B Q$ 时， $t$ 的值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、6 D、7

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， E，F分别为边 $A B, B C$ 的中点，连接 $A F, D E$ ，点G，H分别为 $D E, A F$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E 、 F$ 分别为 $B C 、 C D$ 的中点， $A F 、 D E$ 交于点 $P$ ，连接 $B P 、 C P$ ．则下列结论中： $① A F ⊥ D E$ ； $② A D = B P$ ； $③ ∠ B P E = ∠ C D E$ ； $④ P E + P F = \sqrt{2} P C$ ，所有正确的结论是（只需填写序号）____

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $① ② ③$ D、 $① ② ③ ④$

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二、填空题

9. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD 上，BE⊥CF于点G，若BC=8，AF=2，则GF的长为.

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10. 如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠A+∠B 的度数为.

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11. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=2，BE与AF 相交于点G，H 为BF 的中点，连结GH，则GH 的长为.

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12. 如图，正方形ABCD的边长为a ，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF ， AE与BF相交于点G ，连接CG ，则CG的最小值为．

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为 12 ，将正方形沿 $M N$ 折叠，使点 $A$ 落在 $D C$ 边上的点 $E$ 处，且 $D E = 5$ ，则折痕 $M N$ 的长为

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14. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB 上的点，连接CE，过点D作 DF⊥CE，分别交 BC，CE于点 F，G.若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为4：9，则△DCG的面积为， CG+DG的长为.

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三、证明题

15. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，连结 AE，BF交于点 P，连结 PD.求证：

(1)、AE⊥BF；

(2)、PD=AB.

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16. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D，E分别是线段AC，BC上的点，且满足AD=CE，连接 DE，过点 C 作 DE 的垂线，垂足为点 F，交线段AB 于点 G.
求证：

(1)、CG=DE；

(2)、 $A G = \sqrt{2} B E .$

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17. 在正方形 ABCD 中，点 E 在CD 上，点 M，N 分别在AD，BC 上，连结AE，MN 交于点 P.甲小组同学根据 MN⊥AE 画出图形如图①所示，乙小组同学根据MN=AE 画出图形如图②所示.甲小组同学发现已知MN⊥AE 仍能证明MN=AE，乙小组同学发现已知MN=AE 无法证明MN⊥AE 一定成立.

(1)、在图①中，已知MN⊥AE 于点 P，求证：MN=AE；

(2)、在图②中，若∠DAE=α，则∠APM 的度数为多少?

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18. 如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG；②AF＝EG．

(1)、请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号）；

(2)、若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连接AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．

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