【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题9 平行线，尺规作图与三角形判定与性质

试卷更新日期：2026-04-29 类型：三轮冲刺

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一、中考中的平行线与相交线

1. 如图，下列条件能推出a∥b的是( )

A、∠1=∠3 B、∠1=∠4 C、∠2=∠3 D、∠2=∠4

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2. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)，现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=( )

A、30° B、40° C、50° D、60°

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3. 如图， AB∥DC， BC∥DE， ∠B=145°，则∠D的度数为( )

A、35° B、40° C、45° D、55°

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4. 如图，两条直线l₁ ， l₂分别经过正六边形ABCDEF 的顶点B 、C，且l₁//l₂ ．当∠2=95°时，则∠1=°.

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5. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（）.

A、130° B、140° C、150° D、160°

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6. 尺规作图问题：已知 $△ A B C$ ，过点 $A$ 作直线 $A P$ ，使得 $A P ∥ B C$ ．
如图是小聪同学的作法：
①作 $A B$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于点 $Q$ ，交直线 $B C$ 于点 $G$ ；
②以 $A$ 为圆心， $A G$ 长为半径作弧，交直线 $Q G$ 于点 $P$ ，连结 $A P$ ，则 $A P ∥ B C$ ．

(1)、请说明 $A P ∥ B C$ 的理由；

(2)、小聪在作图时发现以 $A$ 为圆心， $A G$ 长为半径的弧会过点 $C$ ，若 $∠ B = 35 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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二、中考中的尺规作图

7. 尺规作图问题：
已知 $△ A B C, ∠ A B C$ 是钝角， $A B > B C$ ，请用尺规作AC的中点 $P$ .
小聪：如图1，以点 $A$ 为圆心，BC长为半径作弧，以点 $C$ 为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点 $Q$ ，连结BQ交AC于点 $P$ ，则点 $P$ 为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点 $M$ ，作BC的中垂线，垂足为点 $N$ ，以点 $M$ 为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点 $P$ ，则点 $P$ 为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦……我明白了.

(1)、证明：小聪的作法是正确的.

(2)、指出小明作法中存在的问题.

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8. 已知 $R t △ A B C$ ， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ，为了得到矩形ABCD，甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点A为圆心，BC长为半径画弧，再以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点D与B位于AC的异侧，连结AD，CD，得四边形ABCD.
乙：如图2，分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的相同长为半径画弧，连结两弧交点的直线交AC于点O，连结BO；再以点O为圆心，OB长为半径画弧，交线段BO的延长线于点D，连接AD，CD，得四边形ABCD.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由.

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9. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ．
求作：Rt $△ A B C$ 的外接圆．
作法：
⑴分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $P ， Q$ 两点；
⑵作直线 $P Q$ ，交 $A B$ 于点 $O$ ；
⑶以 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径作 $⊙ O$ ．
如图 $2 ， ⊙ O$ 即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（）

A、两点确定一条直线 B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

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10. 小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点P作已知直线l的平行线．

如图1，①在直线l上取一点A，连接 $A P$ 并在 $A P$ 延长线上取一点O（ $A P$ 与l不垂直）．

②以O为圆心， $O A$ 为半径画弧交直线l于另一点B，连接 $O B$ ．

③再以O为圆心， $O P$ 为半径画弧交线段 $O B$ 于点Q，作直线 $P Q$ 即可．

如图2，①在直线l上取两点C，D，作 $∠ P C D$ 的角平分线 $C E$ ．

②以P为圆心， $P C$ 为半径的圆弧交 $C E$ 于点Q，作直线 $P Q$ 即可．

(1)、给出小温作法中

P Q ∥ l

的证明．

(2)、在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹．

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11. 如图，在4×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格的格点上。

(1)、请在答题卷图19-1中仅用一把无刻度的直尺画出等腰△ABP（P为格点）；

(2)、请在答题卷图19-2中仅用一把无刻度的直尺画出∠ABC的角平分线BQ，并加以证明。

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， A C = 3 ， B C = 4$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上的任意一点，将 $∠ C$ 沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $C$ 落在边 $A B$ 上的点 $E$ 处，探究：是否存在点 $D$ ，使得 $△ B D E$ 为直角三角形？

(1)、请仅用无刻度的直尺和圆规作出所有可能的点 $D$ ，不同的折叠方式确定的点 $D$ 请在不同的图中作出来 (不写作法，保留作图痕迹)．

(2)、直接写出对应的线段 $C D$ 的长．

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13. 如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格图中，小正方形的边长都为1， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹.

(1)、在线段 $A C$ 上画出点 $D$ ，使 $△ A B D ∽ △ A C B$ .

(2)、画出 $△ A B C$ 的外接圆圆心 $O$ ，并连结 $O B$ ， $O C$ ，求弧 $B C$ 的长

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三、中考中三角形的相关性质

14. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6和4，则边 BC长的范围是.

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15. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，AG是BC上的高线，点D是AG上的一点，BD交AC于点F.过点D作DE∥AB交AC于E，联结CD，若CF=2EF，△ABC的面积为2，则△ADF的面积为.

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16. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为。

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17. 【阅读理解】
我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法.如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]} .$
【推导验证】
已知：如图，在△ABC中，记AB=c， BC=a， AC=b.
求证：△ABC的面积 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]} .$
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
设CD=x，则BD=a-x，
$∴ A D^{2} = b^{2} - x^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2},$
……

(1)、请你继续完成上述推导.

(2)、【尝试应用】
已知△ABC的三边长分别为 $\sqrt{5}$ ， 2， $\sqrt{3}$ ，请用“三斜求积术”求△ABC的面积.

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四、中考中的三角形全等判定及性质

18. 如图所示， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形， $∠ B E C = 40 °$ ，则 $∠ D B E$ 的度数为（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $120 °$ D、 $160 °$

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19. 如图，E 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连结AE 并延长，交 CD 于点 F.若CF=EF，则∠DAE 的度数为 ( )

A、15° B、25° C、30° D、45°

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20. 如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连结EA，EC.

(1)、求证：△EAB≌△ECB.

(2)、若BD=6，若∠AEC=45°，求DE的长.

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21. 如图， BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC，且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.

(1)、求证： CE=BD.

(2)、若 $A C = A D = 4 \sqrt{5},$ 求BD的长.

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22. 如图，在菱形ABCD中，点E， F分别在BC， CD上，且CE=CF．求证： AE=AF．

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23. 已知，如图， $A B = A C, B D = C D, D E ⊥ A B$ 于点 $E, D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ A B D = ∠ A C D$ ；

(2)、求证： $B E = C F$ ．

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