专题4.10圆的基本性质—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-29 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列说法正确的个数是（     ）
①平分弦的直径，必垂直于这条弦；          ②长度相等的弧叫做等弧；
③三点确定一个圆；                                 ④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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2. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车 $⊙ O$ 与水面分别交于点 $A$ ， $B$ ，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点 $P$ 表示筒车的一个盛水筒， $P C$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $P A$ ， $P B$ ，点 $M$ 在 $A B$ 的延长线上．若 $∠ P B M = 110 °$ ，则 $∠ A P C =$ （）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $55 °$ D、 $70 °$

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3. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $A C$ ， $O B$ 交于点 $D$ ．若 $A D = C D = 8$ ， $O D = 6$ ，则 $⊙ O$ 半径的长为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、6 C、8 D、10

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4. 如图，已知CD是⊙O的直径，⊙O的弦AB⊥CD于点E，若∠AOD=62°，则∠DCB的度数为（）

A、31° B、28° C、62° D、60°

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5. 如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的弦，连接 $O B$ ， $O C$ ， $∠ A$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆周角，则 $∠ A + ∠ O B C$ 等于（）

A、 $70 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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6. 如图，在 $2 \times 2$ 的网格中，每个小正方形的边长均为 $1, A, B, C, E$ 为格点． $⊙ O$ 为大正方形的内切圆， $B C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，则 $c o s ∠ A E D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、3

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8. 如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O ， AD和EF相交于点M ，则∠AMF的度数为（）

A、26° B、27° C、28° D、30°

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9. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为 $2$ ，则它的“半径三角形”面积最大值为 $2 \sqrt{3}$ ．
上述结论中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

10. 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点， $∠ A C B$ 就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为 $α$ ，若 $∠ A C B = 55 °$ ，则船P位于安全区域时， $α$ 的大小可能为°．（写出一个即可）

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11. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形 $A B C D E F$ ，若 $⊙ O$ 的内接正六边形为正六边形 $A B C D E F$ ，则 $B F$ 的长为．

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12. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，点B是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，延长 $B C$ 至点D，连接 $A D$ ，若 $∠ D = 2 ∠ C A D$ ， $B C = 2$ ，则 $A D$ 的长为．

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13. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，将 $\overset{⌢}{A B}$ 沿着弦 $A B$ 折叠，点 $P$ 是折叠后的 $\overset{⌢}{A B}$ 上一动点，连结 $A P$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，点 $C$ 是 $P Q$ 的中点，连结 $O C$ ．若半径 $r = \sqrt{10}, A B = 6$ ，则 $O C$ 的最小值为．

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14. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为 $12cm$ ；当重物上升 $4 πcm$ 时，滑轮上点A转过的度数为．

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15. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为．

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，它的3个外角 $∠ E A B$ ， $∠ F B C$ ， $∠ G C D$ 的度数之比为 $1 : 2 : 4$ ，则 $∠ D =$ ．

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17. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一点， $\overset{⏜}{C D} = \overset{⏜}{B E}$ ，连结DE交AB于点F.若AH=1，AB=10，则HF的长为.

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三、解答题

18. 下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
$∵ O B = O C$ ， $B D = C D$ ，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
$∵ O D ⊥ B C$ ，即 $O P ⊥ B C$ .
$∴ \overset{⌢}{B P}$ =（填推理的依据）.
∴∠BAP=.
$∴ A P$ 是 $∠ M A N$ 的角平分线

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19. 如图①将水槽放置在水平桌面 $G H$ 上，水槽的横截面为半圆 $O$ ， $A B$ 为直径， $M N$ 为水面， $M N ∥ G H$ ，测得 $A B = 60 cm$ ， $M N = 30 \sqrt{3} cm$ ．

(1)、如图①，圆心 $O$ 到水面 $M N$ 的距离为 $O C$ ，求 $O C$ 的长．

(2)、将如图①的水槽向右倾斜得到如图②，此时，水面 $M N$ 与点 $B$ 在同一水平线上，求 $sin ∠ A N M$ 的值．

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20. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点，连接AD，BD，CD，CD交AB于点 E.

(1)、如图 1，∠ADB=度，写出图中一对相似三角形：：

(2)、如图2，若点D为劣弧AB的中点时，试判断线段CD与AB的位置关系：

(3)、在图1中，若AB=2，求△ABD周长的最大值.

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21. 如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.

(1)、作圆心O和 $\hat{A B}$ 的中点 M.

(2)、连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径.

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22. 如图，在 $⊙ O$ 上有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点， $∠ A = 70 °$ ，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．

(1)、请在图中作一个 $110 °$ 的圆周角，记为 $∠ 1$ ．

(2)、请在图中作一个 $40 °$ 的圆心角，记为 $∠ 2$ ．

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23. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵ $\frac{A B}{A C} = \frac{B E}{C D}$ ∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD
∴ $\frac{A B}{A C} = \frac{B E}{C D}$ ∴AB•CD＝AC•BE
∵ $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A B}$ ∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD ∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD•BC＝AC•ED ∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED） ∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD
任务：

(1)、上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

(2)、当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．（请写出）

(3)、如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，求AC的长．

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24. “连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．

(1)、若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜”；

(2)、请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）

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25. 【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做“圆美四边形”，其中这个角叫做“美角”.

(1)、【初步应用】
如图①，四边形ABCD 是“圆美四边形”，∠A 是“美角”.
①∠A 的度数为 ▲ .
② 连结 BD，若⊙O 的半径为5，求线段 BD的长.

(2)、【拓展提升】
如图②，四边形ABCD 是“圆美四边形”，∠BAD 是“美角”，连结 CA. 若 CA 平分∠BCD，请判断 BC，CD 与AC 之间的等量关系，并说明理由.

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26. 如图1，正五边形 $A B C D E$ 内接于⊙ $O$ ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径 $A F$ ；②以F为圆心， $F O$ 为半径作圆弧，与⊙ $O$ 交于点M，N；③连接 $A M, M N, N A$ ．

(1)、求 $∠ A B C$ 的度数．

(2)、 $△ A M N$ 是正三角形吗？请说明理由．

(3)、从点A开始，以 $D N$ 长为半径，在⊙ $O$ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．

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27. 如图，已知四边形 $A B C D$ 内接于半径为 $r$ 的圆 $O$ ，且 $A C ⊥ B D$ 于 $P$ ， $O E ⊥ C D$ 于 $E$ ．

(1)、求证： $O E = \frac{1}{2} A B$ ．

(2)、设 $Q$ 是圆 $O$ 上不同于四边形顶点的一点，过 $Q$ 作 $Q H_{1} ⊥ A B$ 于 $H_{1}$ ， $Q H_{2} ⊥ B C$ 于 $H_{2}$ ， $Q H_{3} ⊥ C D$ 于 $H_{3}$ ， $Q H_{4} ⊥ D A$ 于 $H_{4}$ （其中 $H_{2}$ ， $H_{3}$ ， $H_{4}$ 未画出）．
（2.1）求证： $Q A \cdot Q B = 2 r \cdot Q H_{1}$ ．
（2.2）求证： $Q H_{1} \cdot Q H_{3} = Q H_{2} \cdot Q H_{4}$ ．

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28. 如图，在四边形ABCD中， $A D ‖ B C,$ 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.

(1)、求证：四边形ABCD 是平行四边形.

(2)、若 $\hat{A B} = \hat{A C}, A B = 3 \sqrt{17}, A E = 6 .$
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 $t a n ∠ D G B = \frac{3}{2} .$ 在线段CG上取点 F，过点 F作 $F H ⟂ A F$ 交DG于点 H，求 GH的最大值.

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29. 【学习心得】学习完《圆的基本性质》这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以变得很容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.

(1)、①类型一，“定点+定长”.如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，D是△ABC外的一点，且AD=AC，则∠BDC的度数为.
②类型二，“定角+定弦”.如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值.
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB= ，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上.易求得CP长的最小值为.

(2)、【问题解决】
如图③，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连结AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC长的最小值为.

(3)、【问题拓展】
如图④，在正方形ABCD中，AD=10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF，连结AE，DF，交于点P.
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长.

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