专题4.9特殊平行四边形—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-29 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在矩形ABCD中， AB=3， AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D 恰好落在 BC 边上的点 F处，那么 sin∠EFC的值为 ( )

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 如图，将正方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使得点 $A$ 与对角线的交点 $O$ 重合， $E F$ 为折痕，则 $\frac{E F}{C G}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 如图，将矩形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B分别沿直线EN ， EM折叠，折叠后点A ， B的位置分别是点A'，B'.若∠A'EB'=α，则∠NEM的大小是（　　）

A、180°-2α B、180°-α C、 $90 ° - \frac{1}{2} α$ D、90°-α

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4. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $A C$ 剪开，再把 $△ A B C$ 沿着 $A D$ 方向平移，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ．若重叠部分为菱形，则菱形的边长是（）

A、 $\frac{15}{8}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 如图1，这是某展览馆展示的清代木花窗，其造型美观.如图2，经数学抽象、图形提取，然后测量发现，四边形ABCD 的四边相等，点 E，F，G，H 分别为其四边中点，则四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为 ( )

A、1：2 B、1：3 C、1：4 D、1：5

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6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD交于点E，∠DAB=60°，点 F，H分别为AD，BC上的点，且线段 FH过点 E，若四边形BFDH是矩形，则∠DEF的度数为 ( )

A、30° B、40° C、50° D、60°

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7. 如图，在菱形 ABCD 中， ∠D=60°， AB=4，以 B 为圆心、BC 长为半径画弧AC，点 P 为菱形内一点，连接 PA， PB， PC .当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为( )

A、 $\frac{8}{3} π - 2 \sqrt{3} + 2$ B、 $\frac{8}{3} π - 2 \sqrt{3} - 2$ C、8π D、 $8 π - 6 \sqrt{3} - 6$

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8. 如图1，有一张矩形纸片 $A B C D$ ，已知 $A B = 10$ ， $A D = 12$ ，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕 $B F$ 进行折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，点 $F$ 在 $A D$ 上（如图2）；然后将纸片沿折痕 $D H$ 进行第二次折叠，使点 $C$ 落在第一次的折痕 $B F$ 上的点 $G$ 处，点 $H$ 在 $B C$ 上（如图3），给出四个结论：
① $A F$ 的长为10；② $△ B G H$ 的周长为18；③ $\frac{B G}{G F} = \frac{3}{4}$ ；④ $G H$ 的长为5，正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，正方形 $A E F G$ 与正方形 $A B C D$ 的边长都为 $3$ ，正方形 $A E F G$ 绕顶点 $A$ 旋转一周，在此旋转过程中，线段 $D F$ 的长的取值范围是（）

A、 $3 \sqrt{2} - 3 \leq D F \leq 3 \sqrt{2} + 3$ B、 $3 \sqrt{2} \leq D F \leq 6$ C、 $3 \leq D F \leq 6$ D、 $3 \sqrt{2} - 3 \leq D F \leq 0$

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10. 为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图 $1$ ，固定展板 $A B C D$ （顶点 $A$ 、 $C$ 在直线展台 $M N$ 上）与移动展板 $E F G H$ （顶点 $E$ 、 $G$ 在直线展台 $M N$ 上），移动展板可沿 $M N$ 平移．设固定展板顶点 $C$ 与移动展板顶点 $E$ 的距离为 $x$ （单位： $m$ ）（ $0 \leq x \leq 8$ ），两个展板重叠部分的面积为 $y$ （单位： $m^{2}$ ）， $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图 $2$ 所示．下列选项正确的是（）

A、正方形的对角线长为 $2 \sqrt{5} m$ B、当 $x = 2$ 时，重叠面积 $y = 2 m^{2}$ C、当 $x = 5$ 时，重叠面积 $y = 6 m^{2}$ D、函数图象的最高点的坐标为 $(4, 10)$

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二、填空题

11. 四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $C D$ 的中点，连接 $A C$ 、 $E F$ ，已知 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = A D = C D = 4$ ，则 $E F$ 的长为．

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12. 如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为.

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13. 如图所示，四边形 $A B C D$ ， $D E F G$ ， $G H I J$ 均为正方形，且 $S_{正方形 A B C D} = 10$ ， $S_{正方形 G H I J} = 1$ ，则正方形 $D E F G$ 的边长可以是（写出一个答案即可）．

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14. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为5，点 $E$ 在 $C D$ 边上，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折叠，使点 $D$ 的对应点 $F$ 恰好落在边 $B C$ 上，且 $C F = 2$ ，则 $D E$ 的长度为．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 与矩形 $E F G H$ 在直线l的同侧，边 $A D 、 E H$ 在直线l上．保持正方形 $A B C D$ 不动，并将矩形 $E F G H$ 以 $1 c m / s$ 的速度沿 $D A$ 方向移动，移动开始前点E与点D重合，当矩形 $E F G H$ 完全穿过正方形 $A B C D （$ 即点H与A点重合）时停止移动，设移动时间为 $t (s)$ ．已知 $A D = 5 c m$ ， $E H = 4 c m$ ， $E F = 3 c m$ ，连接 $A F 、 C G$ ．

(1)、矩形 $E F G H$ 从开始移动到完全穿过正方形 $A B C D$ ，所用时间为 $s$ ；

(2)、在矩形 $E F G H$ 移动的过程中， $A F + C G$ 存在最小值时相应的 $t =$ $s$ ；

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边的中点， $E$ 、 $F$ 分别在 $A D$ 及其延长线上， $C E ∥ B F$ ，连接 $B E 、 C F$ ．

(1)、求证： $△ B D F ≌ △ C D E$

(2)、若 $D E = \frac{1}{2} B C$ ，试判断四边形 $B F C E$ 的形状，并说明理由．

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17. “草长莺飞二月天，扶梯杨柳醉春烟，儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．星期天，小明和小伙伴准备自制风筝到公园去放，小明将正方形纸片 $A B C D$ 和菱形纸片 $E M F N$ 按照如图所示制作，顶点B和顶点N重合，菱形 $E M F N$ 的对角线 $M N$ 经过点D，点E，F分别在 $A D$ ， $C D$ 上．

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ C B E$ ；

(2)、若 $A B = 20 c m$ ，点E在 $C D$ 的中点上，求 $D M$ 的长度.

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 上，连接 $E G$ ， $F H$ ，若 $E G ⊥ F H$ ，求证： $E G = F H$ ．为了解决这个问题，两位同学分别给出了自己的方案：

(1)、请你选择一位同学的方案，并进行证明；

(2)、连接 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ ，若 $F H = 4$ ．求四边形 $E F G H$ 的面积．

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19. 综合与实践
学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究．
【模型感知】
（1）她把边长为3的正方形纸片 $A B C D$ 沿着对角线 $A C$ 剪开，如图1．然后固定纸片 $△ A B C$ ，把纸片 $△ A D C$ 沿剪痕 $A C$ 的方向平移得到 $△ A^{'} D^{'} C^{'}$ ，如图2．连接 $A^{'} B$ ， $D^{'} B$ ， $D^{'} C$ ，在平移过程中：
①四边形 $A^{'} B C D^{'}$ 的形状始终是________（点 $A^{'}$ 与点 $C$ 重合时除外）；
②求 $A^{'} B + D^{'} B$ 的最小值．
【拓展探究】
（2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形 $A B C D$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，将 $△ A D C$ 沿射线 $A C$ 的方向平移得到 $△ A^{'} D^{'} C^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ， $D^{'} B$ ， $D^{'} C$ ，请直接写出 $A^{'} B + D^{'} B$ 的最小值．

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20. 阅读短文，解决问题如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB．

(1)、求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；

(2)、当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积

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21. 请阅读下列材料，完成相应的任务．

×年×月×日星期日

只用卷尺也能判断矩形

今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ ， $A D = B C$ ， $A C = B D$ ．

求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

证明：……．

任务：

(1)、上述做法是依据了矩形的一个判定定理：________________；

(2)、补全材料中的证明过程；

(3)、利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（写出简要的测量方法）

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22. 已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．

(1)、判断小亮的作法是否正确，并说明理由．

(2)、小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗?请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．

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23. 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中，点E在 $A D$ 边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．

(1)、请在图中作出折痕，交 $A B$ 边于点F，交 $C D$ 边于点G，连接 $E F$ ，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形 $B F E M$ 是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，若折痕 $F G$ 交 $B E$ 于点H，连接 $A H$ ，若 $A H$ 长为6， $B F$ 为 $2 \sqrt{11}$ ，直接写出 $F M$ 的长．

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24. 如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点P为对角线 $B D$ 上一点，连接 $A P, C P$ ．

(1)、求证： $A P = C P$ ；

(2)、如图②，过P点作 $P E ⊥ P C$ ，交射线 $A D$ 于点E．求证： $P E = P C$ ；

(3)、在图③中，过P点作 $P E ⊥ P C$ ，交射线 $A D$ 于点E，猜想线段 $C D 、 D E 、 P D$ 之间的数量关系，并证明你的猜想．

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25. 在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上运动，连接 $D E$ ，把 $△ C D E$ 沿 $D E$ 所在直线折叠，点 $C$ 落在点 $C^{'}$ 处，连接 $A C^{'}$ 并延长与 $D E$ 的延长线交于点 $P$ ，沿 $D F$ 所在直线折叠使点 $A$ 与点 $C^{'}$ 重合，点 $F$ 在 $A C^{'}$ 上．

(1)、如图1， $∠ F D P$ 的度数不变，请你求出该角的度数；

(2)、如图2，连接 $B P$ ，发现三条线段 $A P, B P, D P$ 之间存在一定的数量关系，请证明你的发现；

(3)、如图3，连接 $A C$ ， $C C^{'}$ ，若正方形 $A B C D$ 的边长4，请直接写出 $△ A C C^{'}$ 面积的最大值．

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26. 问题情境：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边 BC，CD 上，且 AE⊥BF，垂足为 M，那么 AE 与BF 相等吗?

(1)、直接判断：AE BF（填“=”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：

(2)、问题探究：
如图②，在正方形ABCD中，点E，F，G分
别在边 BC，CD 和 DA 上，且 GE⊥BF，垂足为M，那么 GE 与 BF 相等吗?请证明你的结论；

(3)、问题拓展：
如图③，点 E在边 CD 上，且 MN⊥AE，垂足为H，当点 H在正方形ABCD 的对角线BD上时，连结AN，将△AHN沿AN 翻折，点 H落在点 H'处.四边形AHNH'是正方形吗?请说明理由.

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27. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究。
【图形定义】
若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形.且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”。
【概念理解】

(1)、如图1，在四边形ABCD中， ∠BAD=∠BCD=90°，连接BD，点E是BD的中点，连接AE， CE。
求：①四边形ABCE（填“是”或“不是”)腰分双等四边形；
②若∠AEC=90°， ∠ADC的度数为°，∠ABC的度数为。

(2)、【性质探究】
如图2，正方形ABCD边长为6，点F为其内部一点（不含中心)，四边形ABFD为腰分双等四边形，AF为腰分线，过点 D作直线BF的垂线，垂足为点E，连结CE，若CE=2，求△ABF的面积。

(3)、【拓展应用】
如图3，在矩形ABCD中， AD=5，点E是其内部一点，点F是边 CD上一点，四边形AEFD 是腰分双等四边形，DE为腰分线，延长AE交线段BC于点G，连接FG。若∠EFG $= 9 0^{\circ}, t a n ∠ C F G = \frac{3}{4},$ 请直接写出 BG的长。

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28. 综合与探究
【定义】如图 1，点O是▱ABCD的对角线的交点，过点O作OM⊥BC， ON⊥AB，垂足分别为M、N.若ON≥OM时，我们称 $λ = \frac{O N}{O M}$ 是▱ABCD的中心距比.

(1)、【概念理解】如图 2，当λ=1时，求证： ▱ABCD是菱形；

(2)、【性质探究】在图 1中， ▱ABCD的中心距比 $λ = \frac{O N}{O M}$ 与其相邻两边比 $\frac{B C}{A B}$ 是否存在某种关系?若有，求出这种关系；若没有，请说明理由；

(3)、【拓展应用】如图 3，在矩形ABCD中(AD>AB)，其中心距比 $λ = \frac{4}{3},$ O为对角线BD中点，E是BC边上一点，连接OE，作OF⊥OE交CD边于点F，若 $B D = 10, S_{△ C O F} = 2 S_{△ C O E},$ 求CE的值；

(4)、如图 4， $A B = 5, t a n ∠ P A B = \frac{4}{3},$ 点D是射线AP上一动点，点C是平面内一点.以A、B、C、D为顶点、AD为边的平行四边形的中心距比 $λ = 2 .$ 点E在射线AP上，连接AC、BE，当 $∠ A E B = ∠ A C D$ 时，直接写出AE的长.

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29. 综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
如图1，在四边形 $A B C D$ 中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形 $E F G H$ 是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 的中点，
∴ $E F$ 、 $G H$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 的中位线，
∴ $E F = \frac{1}{2} A C$ ， $G H = \frac{1}{2} A C$ （ ① ）
∴ $E F = G H$ ．
同理可得： $E H = F G$ ．
∴中点四边形 $E F G H$ 是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．

(1)、请你补全上述过程中的证明依据.

(2)、【探究二】
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
$A C = B D$
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(3)、【探究三】
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
$A C ⊥ B D$
    ②
从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是．

(4)、下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(5)、【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系
中点四边形形状
    ③
    ④
结论：原四边形对角线时，中点四边形是．

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原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形

原四边形对角线关系	中点四边形形状
③	④