【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题7 二次函数（2）

试卷更新日期：2026-04-28 类型：三轮冲刺

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一、中考中二次函数与特殊图形存在性

1. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $A$ 、 $B$ 在抛物线 $y = x^{2}$ 上，点 $C$ 在 $y$ 轴上， $A$ 、 $B$ 两点的横坐标分别为1和 $b (b > 1)$ ， $b$ 的值为．

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2. 【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ， D为AC上一点， $C D = \sqrt{2}$ ，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿 $C \to B \to A$ 匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.

(1)、初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当 $t = 1$ 时， $S =$ .②S关于t的函数解析式为.

(2)、当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.

(3)、延伸探究：若存在3个时刻 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ $($ $t_{1} < t_{2} < t_{3}$ ）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① $t_{1} + t_{2} =$ ；
②当 $t_{3} = 4 t_{1}$ 时，求正方形DPEF的面积.

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3. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)、如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作 $M N ∥ y$ 轴，交AC于点N，过N作 $N D ∥ B C$ 交x轴于点D，求 $M N - \frac{\sqrt{2}}{2} N D$ 的最大值及此时点M的坐标；

(3)、如图2，在（2）的条件下，当 $M N - \frac{\sqrt{2}}{2} N D$ 取最大值时，将抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 沿射线AC方向平移 $3 \sqrt{5}$ 个单位，得到新抛物线 $y^{'}$ ，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作 $P Q ∥ y$ 轴交射线MK于点Q，连接PK，当 $△ P Q K$ 为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

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4. 已知二次函数 $y = m x^{2} + 2 x - 1$ ，其中 $m \neq 0$ .

(1)、若该二次函数的图象与 $x$ 轴仅有一个公共点 $A$ ，求实数 $m$ 的值.

(2)、在(1)的条件下，若直线 $y = k x - 1$ 的图象与二次函数的图象交于两点 $B (x_{1}, y_{1}), C (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .请直接写出当 $k$ 的值为多少时， $△ A B C$ 为直角三角形.

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5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + m x + n$ 经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.

(1)、分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.

(2)、若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求 $△ A B M$ 的面积.

(3)、是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

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6. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A和点B (3，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB.

(1)、求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)、点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m.
①当∠MBA=∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N， P为x轴上一点，连接PM， PN，将 $△ P M N$ 沿着MN翻折，得 $△ Q M N,$ ，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值.

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7. 如图，已知抛物线 $C_{1}$ ： $y = - x^{2} + b x + c$ 与y轴相交于点C（0，1），对称轴为直线x=2．坐标原点为O点，抛物线 $C_{1}$ 的对称轴交x轴于A点．

(1)、抛物线的关系表达式；

(2)、若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当PB=2BO时，求点P的坐标；

(3)、将抛物线 $C_{1}$ 向左平移2个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ ， $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 相交于点E，点F为抛物线 $C_{1}$ 对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．

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8. 如图1，若二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $2$ ，连接 $B C$ ，点 $P$ 为直线 $B C$ 下方抛物线上的动点，求 $△ P B C$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、如图3，将抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c (a \neq 0)$ 先向右平移 $1$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度得到新的抛物线 $y^{'}$ ，在 $y^{'}$ 的对称轴上有一点 $D$ ，坐标平面内有一点 $E$ ，使得以点 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的四边形是矩形，求点 $E$ 的坐标．

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9. 如图，已知抛物线 $L : y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + 2 (x \leq 0)$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，将抛物线 $L$ 绕着点 $H (0, m) (m < 2)$ 旋转 $180 °$ 得到新的抛物线 $L^{'}$ ，抛物线 $L^{'}$ 与 $y$ 轴相交于点 $B$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标及抛物线 $L$ 的顶点坐标；

(2)、在抛物线 $L^{'}$ 上取一点 $C$ ，连接 $B C$ ，且满足 $tan ∠ A B C = 4$ ．
①当 $O A = 2 O H$ 时，求点 $C$ 的坐标；
②定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点 $A$ ， $B$ ， $C$ 作平行四边形 $C A P B$ ，当平行四边形 $C A P B$ 是关于对角线 $A B$ 的对等平行四边形时，求此时 $m$ 的值．

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二、中考中二次函数实际应用-抛物线结构

10. 冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为 $y = a x^{2} + b x + c,$ 平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（）

A、着陆坡的水平宽度OB=18.75米 B、点A的坐标为（0，12） C、 $b = - 20 a - \frac{3}{4}$ D、当CD的最大值为10米时， $a = - \frac{3}{20}$

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11. 某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．

调研主题	装饰舞台—安装电子屏幕
模型抽象	顶棚截面图如图 $②$ 所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线 $L_{1}$ 与抛物线 $L_{2}$ 关于点 $O$ 成中心对称，以点 $O$ 为原点，过点 $O$ 的水平直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 且垂直于 $x$ 轴的竖直直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系．舞台平面 $l$ 与 $x$ 轴平行，交 $y$ 轴于点 $C$ ．
安装方式	矩形电子屏幕 $M N P Q$ 如图 $②$ 所示悬挂，右端固定在抛物线 $L_{2}$ 的顶点 $F$ 处，左端从抛物线 $L_{1}$ 上的点 $D$ 处拉一条绳索 $D E$ 固定， $D E ∥ y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $G$ ，点 $E$ 、 $F$ 在边 $M Q$ 上，边 $M Q$ 与 $N P$ 平行于 $x$ 轴．
任务目标	1．为保证表演者的安全， $N P$ 与舞台平面 $l$ 之间的距离要不小于 $2$ 米； 2． $D E$ 与 $y$ 轴之间的距离为 $1 m$ ，需要的绳索长度 $D E$ 是多少？（打结处忽略不计）
数据采集	顶点F的坐标为 $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$ ， $M N = \frac{3}{2} m$ ， $O C = \frac{9}{2} m$

(1)、求抛物线

L_{1}

的函数表达式；

(2)、通过计算说明

N P

与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度

D E

．

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12. 【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线.
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离x(单位：m)和竖直高度y(单位：m)的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图.
设抛物线的表达式为 $y = a {(x - m)}^{2} + k .$
x
……
0.8
2.3
3.8
5.3
6.8
……
y
……
2.7
3.375
3.6
3.375
2.7
……

(1)、【建立模型】求出抛物线的函数表达式.

(2)、【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离.

(3)、【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为 $\frac{5}{6}$ a，顶点为(m-0.1， k-0.1)，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米.

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13.

《观景拱桥的设计》
项目背景	某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 $A B C$ ，其横截面如图所示：
任务1	建立模型	⑴在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点 $C (0, 5)$ ， $B (10, 0)$ （长度单位： $m$ ）．求出抛物线的解析式．
任务2	利用模型	⑵在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形 $E F G H$ （ $H$ 、 $G$ 分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面 $E G$ ．已知“脚手架” $E F G H$ 的三边所用钢材长度为 $18.4 m$ （ $E F$ 在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点 $E$ 与拱桥端点 $A$ 的距离．
任务3	分析计算	⑶在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点 $O$ 处 $12$ 米的地面 $M$ 、 $N$ 处安装射灯，射灯射出的光线与地面成 $45 °$ 角，如图 $3$ 所示，光线交汇点 $P$ 在拱桥 $O C$ 的正上方，其中光线 $N P$ 所在的直线解析式为 $y = - x + 12$ ，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）

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14. 根据以下素材，探索完成任务

设计弹弹珠游戏
素材1：某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：(1)距离水平地面 $h$ 米处有一带弹簧的装置；(2)每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从 $A$ 点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1.	图1
素材2：某班进行试玩，发现：当弹珠从 $A$ 点飞出后形成的路径是抛物线的一半，并正好从挡板1的顶部经过，此时带弹簧的装置距离水平地面的高度 $h = 0.8$ 米，挡板1至 $O$ 点距离为0.6米，挡板1的高度为0.4米，如图2.	图2
素材3：弹珠游戏装置变化，如图3：(1)在距离 $O$ 点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2，挡板1与挡板2之间记为区域I：(2)在距离 $O$ 点1米处新增长度为0.1米的挡板3，挡板2与挡板3之间记为区域II.	图3
问题解决
任务1：确定弹珠路径.请在图2中以 $O$ 点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式.
任务2：确定移动方案.要想让弹珠飞出后落入区域I内，该弹簧装置向上移动的距离 $d$ 要满足什么条件？
任务3：灵活变通.根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整.现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动0.3米，再通过左右移动三块挡板(区域I和区域II的宽度不改变)，让弹珠落入得分更高的区域II内，请计算挡板3横坐标的取值范围。

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15. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 h(m) 满足关系式 $h = - 5 t^{2} + v_{0} t$ ，其中 t(s) 是物体运动的时间， $v_{0} (m / s)$ 是物体被发射时的速度.科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）.

(1)、当 $v_{0} = 12 (m / s)$ 时，
① 求小球离地面的最大高度；
② 经过多少时间小球的高度达到4m？

(2)、通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为 $v_{1}$ ， $v_{2}$ ，小球从发射到回到地面所需时间为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ，则 $\frac{v_{1} - v_{2}}{t_{1} - t_{2}}$ 的值为常数.判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明.

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16. 根据以下素材，探索完成任务.

乒乓球发球机的运动路线
素材一	如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网商度为14cm.乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方 25cm的点 P处.
素材二	假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离∞（m）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处.以O为原点，桌面中线所在直线为∞轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。
素材三	如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）.
问题解决
任务一	研究乒乓球的	（1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求飞行轨迹写出自变量的取值范围）.
任务二	击球点的确定	（2）当h=20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由。
任务三	击球点的距离	（3）若h=40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围。

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17. 根据下列素材，探索完成任务.

如何设计跳绳的方案
素材1	参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作-条抛物线．摇绳的两名队员水平间距AB为5米，他们的手到地面的高度AC=BD=1米，绳子最高点距离地面2米.
素材2	某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在1.70-1.80米，女生身高一人为1.7米高，两人都为1.65米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少0.5米.
问题解决
任务1	确定长绳在最高点时的形状	在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函致表达式.
任务2	探究站队的方式	若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？
任务3	设计位置方案	为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围.

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三、中考中二次函数实际应用-销售问题

18. 某商店出售一批进价为每件20元的日用品，经调查发现，该日用品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足y=-3x+120(20<x<40) .

(1)、求日销售利润w与销售单价x之间的函数关系式.

(2)、销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少元?

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19. 综合与实践：

背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还

能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处。

排球的购买与售卖

素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元，已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元.

素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个，经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个.

任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？

任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？

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20. 某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量 $y$ （箱）与销售单价 $x$ （元）（ $x$ 为正整数）是一次函数关系，如图所示．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价．

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21. “双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元和4200元购进 $A$ 型和 $B$ 型护眼灯的数量相同，其中每台 $A$ 型护眼灯比 $B$ 型护眼灯便宜9元．

(1)、求该商场购进每台 $A$ 型和 $B$ 型护眼灯的成本价．

(2)、该商场经过调查发现， $A$ 型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台 $A$ 型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？

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22. 依据下面的素材，完成表格中的任务。

提出问题	柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动。多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价?
调研项目	调查1：“柑橘完好率”调查
	采购的总质量m （kg)	50	100	200	400	500
	完好柑橘的质量n（kg)	44.5	90.1	180.5	360.8	450.5
	柑橘完好的频率π/	0.89	0.901	0.903	0.902	0.901
	调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元/kg：②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x（元/kg)与采购的总质量m（kg)之间的关系满足m+100x=3000（0<m≤2000)。
任务一（分析)	（1）可以估计柑橘完好的概率约为 ▲ （精确到0.1)。（2）由（1）知，用900元采购的柑橘量，进入市场后，实际可以销售的质量约为 ▲ kg（结果保留整数；损坏的柑橘不得销售)。
任务二（决策)	（3）若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少 kg的柑橘?售价应定为多少元/ kg?

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