【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题6 二次函数（1）

试卷更新日期：2026-04-28 类型：三轮冲刺

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一、中考中二次函数图象与性质

1. 已知抛物线y=ax²-2ax+a-3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，下列结论正确的是（　　）

A、图象的开口向下 B、当x＞0时，y随x的增大而增大 C、函数的最小值小于-3 D、当x=2时，y＜0

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2. 已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} - 2 a x + c$ （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 $y_{1} \leq 2 。$ 若抛物线 $y_{2} = a {(x + m)}^{2} - 2 a (x + m) + c$ 与y轴的交点位于最高位置时，则y₂的图像可能正确的是（ )。

A、 B、 C、 D、

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3. 已知二次函数 $y = {(x - m)}^{2} + k$ 的图象顶点为 M，图象上有一点 P (x₁ ， y₁)满足 $y_{1} - k = 3 (x_{1} - m) \neq 0,$ 若Q (x₂ ， y₂)是函数图象(PM段)上的一点(不与 P， M重合)，令 $t = y_{2} - k,$ 则t的范围是( )

A、t<3 B、t>9 C、0<t<3 D、0<t<9

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x=1.下列四个结论：①3a+b<0；②过点（0，c-a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若a>0，关于x的不等式 $a {(x + 1)}^{2} + b (x + 1) < 0$ 的解集为-1<1；④若a<0，点P（t，y₁），Q（t-1，y₂）在该抛物线上，当实数 $t < \frac{3}{2}$ 时， $y_{1} > y_{2} .$ 其中正确的结论是（）

A、①②③ B、②③④ C、③④ D、②④

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5. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x - 3$ (b为常数)经过点 A (2， - 3) ， B (x₁ ， t) .

(1)、求抛物线的函数表达式.

(2)、当 $0 \leq x_{1} \leq k$ 时，-4≤t≤-3，求k的最大值.

(3)、过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C (x₂ ， t)；若 $4 \leq x_{2} - x_{1} \leq 6,$ 求t的取值范围.

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6. 已知二次函数y=ax²+bx-3（a＞0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x
…
-1
2
4
m
…
y
…
y₁
-4
y₂
y₃
…

(1)、当y₂=-3时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②若y₁＜y₃ ，求m的取值范围；

(2)、求证： $a - b > \frac{1}{2}$ .

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7. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x - 5,$ 点 A(1，0)在此抛物线上．

(1)、求b的值；

(2)、若点 $B (5, y_{1}) ， C (m, y_{2})$ 在该抛物线上，且 $y_{1} < y_{2},$ 求m的取值范围；

(3)、将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为 $d_{1}, d_{2},$ 若 $d_{1} - d_{2} = 12,$ 求n的值．

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8. 已知二次函数 $y = {(x - m)}^{2} - 2 (x - m),$ m为实数.

(1)、若m=1，求该函数图象的对称轴.

(2)、当m+2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值.

(3)、若点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 且 $x_{1} < x_{2}, x_{1} + x_{2} = 4 m - 6,$ 试比较y₁与y₂大小.

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9. 设二次函数 $y = - x^{2} + 2 a x - 3 a + 1 .$

(1)、若该函数的对称轴为直线x =2.求该函数的顶点坐标；

(2)、判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(3)、已知点P(8，1-3a)， M(m，y₁)和N(n，y₂)在函数图象上，当2≤n≤5时，都有 $y_{2} > y_{1},$ 求m 的取值范围.

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10. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a⟩ 0)$ 上，设抛物线的对称轴为直线x=t（t>0）.

(1)、当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

(2)、点（x₀ ， m）（x₀≠1）在抛物线上.若m₀的取值范围；

(3)、当t-2≤x≤3t+2时，函数的最大值与最小值的差为16a，求t的值.

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二、中考中二次函数与几何变换

11. 二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的图象平移后经过点(1，5)，下列平移方式正确的是( )

A、向右平移1个单位，向下平移1个单位 B、向右平移1个单位，向下平移2个单位 C、向左平移1个单位，向上平移2个单位 D、向左平移2个单位，向上平移1个单位

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12. 同一平面直角坐标系中，抛物线 $y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(x - \frac{3}{2})}^{2}$ 与 $y = - {(x + m)}^{2} - {(x + n)}^{2}$ 关于原点成中心对称，则代数式 ${(m + 2)}^{2} + {(n + 2)}^{2}$ 的值为.

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13. 已知关于x的二次函数 $y = - x^{2} + 2 b x - 3 b .$

(1)、当函数图象经过点(2，5)时.
①求该二次函数的表达式.
②若将平面内一点A (p，q)向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数 $y = - x^{2} + 2 b x - 3 b$ 的图象上，求p的值.

(2)、设点M(x₁ ， y₁)， N(x₂ ， y₂)是该函数图象上的两点，且. $x_{1} + x_{2} = 3 .$ 求证： $y_{1} + y_{2} ⩽ - \frac{9}{2} .$

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14. 已知二次函数 $y = - (x + 1)^{2} + h$ （ $h$ 为常数）的图象经过点 $A (- 2, 3)$ .

(1)、求此二次函数的表达式.

(2)、将抛物线先向左平移 $n (n > 0)$ 个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求 $n$ 的值.

(3)、已知点 $(p, m), (q, m)$ 在二次函数 $y = - (x + 1)^{2} + h$ 的图象上，且 $- 7 < 2 p + 3 q < 2$ ，求 $m$ 的取值范围.

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15. 已知二次函数 $y = (x - m) (x - m + 2)$ ，回答下列问题：

(1)、若该函数图象经过点 $(2, - 1)$
$①$ 求该函数图象与 $x$ 轴的交点坐标；
$②$ 点 $A (- 1, 1)$ 向上平移 $2$ 个单位长度，向右平移 $k (k > 0)$ 个单位长度后，落在二次函数 $y = (x - m) (x - m + 2)$ 图象上，求 $k$ 的值．

(2)、若该函数图象经过点 $(2 m - 1, a)$ 与点 $(3 m - 4, b)$ ，且与 $x$ 轴的两个交点到点 $(1, 0)$ 的距离均小于 $2$ ，求证： $b < a$ ．

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16. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 4 x$ 的顶点横坐标比二次函数 $y = - x^{2} + a x$ （a为常数）的顶点横坐标大1．

(1)、求a的值；

(2)、二次函数 $y = - x^{2} + a x$ （a为常数）的图象是否可以由 $y = - x^{2} + 4 x$ 平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由．

(3)、设点 $A (x_{1}, y_{1})$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 4 x$ 上，点 $B (x_{1} - m, y_{1} - n)$ 在抛物线 $y = - x^{2} + a x$ 上．若 $n = 3 m$ ，且 $x_{1} < 0$ ， $m > 0$ ，求n的值；

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17. 我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A (m，n)为平面直角坐标系内一点.

(1)、若将点A (m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A 的平移距离AA'的长度；

(2)、将直线l： y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A (m， n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离 $A A^{'} = 3 \sqrt{2},$ 且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线l'的函数表达式；

(3)、将抛物线 $y_{1} = x^{2} - 4 x$ 沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线 $y_{2} = x^{2} + b x + c,$ 当0≤x≤4时，抛物线 $y_{2} = x^{2} + b x + c$ 上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y₁的平移距离d的取值范围.

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a ＞ 0)$ 的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，且 AB=10，图象顶点的横坐标为4．

(1)、求A、B两点的坐标．

(2)、求方程 $a x^{2} - (6 a - b) x + 9 a - 6 b + c = 0$ 的解．

(3)、若a=1，将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象，若直线y=k与新图象有4个交点，从左至右依次为M、N、P、Q，当 $M N = \frac{1}{2} N P = P Q$ 时，求k的值．

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三、中考中二次函数与方程（不等式）

19. 已知点 $A (m, k), B (n, k + 1) (m > 0 > n)$ 是二次函数 $y = x^{2} + 1$ 函数图象上的两个点，若关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + n x + k = 0$ 有两根 $x_{1}, x_{2}$ ，则（）

A、 $0 < x_{1} + x_{2} < 1, x_{1} \cdot x_{2} > 0$ B、 $x_{1} + x_{2} < 0, x_{1} \cdot x_{2} > 0$ C、 $x_{1} + x_{2} > 1, x_{1} \cdot x_{2} > 0$ D、 $x_{1} + x_{2} = 0, x_{1} \cdot x_{2} < 0$

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20. 已知抛物线 $y = - {(x - m)}^{2} + 4, m > 0,$ O为坐标原点， $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 为该抛物线上的两点，且 $x_{1} < x_{2} 。$

(1)、已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。

(2)、记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。

(3)、若对于 $\frac{m}{2} < x_{1} < x_{2} < m,$ 都有 $y_{2} < 4 y_{1},$ 求m的取值范围。

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21. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ (a，b，c是常数，且a≠0)，a+b+c=2.

(1)、若抛物线过点(-3，2)，求a，b之间的关系.

(2)、在(1)的条件下，判断抛物线与直线y=2的交点个数，并说明理由.

(3)、点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线上，若a>c-2>0，当 $x_{1} > x_{2} > 1$ 时，求证： $y_{1} > y_{2} .$

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22. 已知二次函数y=ax²-2ax+4，其中a≠0。

(1)、求该二次函数图象的对称轴；

(2)、无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x₁ ， y₁），B（x₁ ， y₂）两个定点，其中x₁<x₂ ，求x₁+2x₂的值；

(3)、若a=1，当t-1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值。

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23. 已知二次函数 $y = {(x - m)}^{2} - 2 (x - m)$ ， m为实数．

(1)、若 $m = 1$ ，求该函数图象的对称轴．

(2)、当 $m + 2 \leq x \leq 3$ 时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．

(3)、若点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 4 m - 6$ ，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 大小．

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24. 已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + t^{2} - 10 t$ （t为常数）.

(1)、求该抛物线的对称轴.

(2)、若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + t^{2} - 10 t (m \leq x \leq n)$ 夹在两条均与x轴平行的直线l₁ ， l₂之间.若直线l₁ ， l₂之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.

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25. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3$ 的图象与轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求二次函数解析式和顶点坐标．

(2)、坐标平面内存在点P，满足向左、向右或向下平移 $m$ 个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离 $m$ ．

(3)、在二次函数图象上取点 $D$ （不与点 $C$ 重合），使得在 $C ， D$ 之间的图象上（含 $C ， D$ 两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点 $D$ 的坐标．

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26. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 k x + k$ （k为常数）．

(1)、用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标；

(2)、当 $x \leq 5$ 时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；

(3)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时，该函数有最小值 $- 1$ ，求k的值．

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x	…	-1	2	4	m	…
y	…	y₁	-4	y₂	y₃	…