【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题5 一次函数（2）

试卷更新日期：2026-04-28 类型：三轮冲刺

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一、中考中一次函数与几何

1. 定义：我们把一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与正比例函数 $y = - x$ 的图象的交点称为一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 图象的“亮点”．例如：求一次函数 $y = - 2 x - 1$ 图象的“亮点”时，联立方程得 $\{\begin{array}{l} y = - 2 x - 1 \\ y = - x \end{array}$ ，解得 $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array}$ ，则一次函数 $y = - 2 x - 1$ 图象的“亮点”为 $(- 1, 1)$ ．

(1)、一次函数 $y = 2 x - 3$ 图象的“亮点”为；

(2)、一次函数 $y = m x + n$ 图象的“亮点”为 $(2, n + 1)$ ，求m，n的值；

(3)、若一次函数 $y = k x + 4 (k \neq 0)$ 的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数 $y = k x + 4$ 的图象上没有“亮点”，点P在y轴上， $S_{Δ A B P} = \frac{3}{4} S_{Δ A O B}$ ，直接写出满足条件的点P的坐标．

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2. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 $y = \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ 交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E， $D O = 2 A O$ ， $C B = O B$ .

(1)、求直线CD的解析式.

(2)、点P在第三象限的直线AB上， $P Q ∥ x$ 轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t， $△ P Q E$ 的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围.

(3)、在(2)的条件下，点F在第四象限的 $△ P Q E$ 内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG(点F的对应点为G)，旋转角等于 $∠ A E D$ ，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF， $∠ P F E = 9 0^{°}$ ， $E F = P F$ ， $△ F G Q$ 的面积为8，求 $△ P Q E$ 的面积.

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3. 在平面直角坐标系中，直线 $y = - 2 x + 4$ 文 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 的坐标为 $(1, 0)$ .

(1)、求直线BC的函数表达式.

(2)、点 $D$ 是 $x$ 轴上一动点，连接BD、CD ，当 $△ B C D$ 的面积是 $△ A O B$ 面积的 $\frac{3}{2}$ 时，求点 $D$ 的坐标.

(3)、点 $E$ 坐标为 $(0, - 2)$ ，连接CE ，点 $P$ 为直线AB上一点，若 $∠ C E P = 4 5^{°}$ ，求点 $P$ 坐标.

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4. 【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数 $y = - x + 10$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B, A$ 两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证： $△ A O B$ 是等腰直角三角形．
（2）如图3， $M, N$ 是直线 $y = k x$ 上的两动点，连接 $B M, A N$ ．若 $B M ⊥ M N, B M = 6$ ，求 $A N$ 的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点 $B$ 的直线 $y = \frac{1}{2} x - 5$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $H$ 为线段 $O B$ 上的一点，作射线 $C H$ ．若 $∠ B C H = 45 °$ ，求直线 $C H$ 的函数解析式．

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5. 定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如： $(1, 1)$ ， $(- 2 ， 2)$ ， $(\sqrt{3}, - \sqrt{3}) \dots$ 都是“等距点”.

(1)、求反比例函数. $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 图象上的“等距点”坐标；

(2)、A、B是一次函数 $y = \frac{1}{2} x + m$ 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 $A O B$ 的面积为3，求一次函数的解析式；

(3)、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a、b、c为常数， $a b < 0$ ) 的图象经过点 $(- b, c),$ 且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3}),$ 求 $x_{1} + x_{3} - 2 x_{2}$ 的值或取值范围.

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二、中考中一次函数与图形变换

6. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 3, 1)$ ，点 $B (- 1, 1)$ ，若将直线 $y = x$ 向上平移d个单位长度后与线段 $A B$ 有交点，则d的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq d \leq - 1$ B、 $1 \leq d \leq 3$ C、 $- 4 \leq d \leq - 2$ D、 $2 \leq d \leq 4$

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7. 将直线 $y = 3 x - 1$ 向上平移 $m$ 个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则 $m$ 的值可以是（写出一个即可）．

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8. 如图，直线 $l_{1} : y = - x + 6$ 经过点 $A (1, a)$ ，将 $l_{1}$ 绕A点顺时针旋转，旋转角为 $α (45 ° < α < 135 °)$ ，得到直线 $l_{2}$ ．点 $B (m, n)$ 在 $l_{2}$ 上，若 $m > 1$ ，则n的值可以是．（填写一个值即可）

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9. 已知点A是正比例函数 $y = k x$ 图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移 $k (k > 0)$ 个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则 $k =$ ．

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10. 我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A (m，n)为平面直角坐标系内一点.

(1)、若将点A (m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A 的平移距离AA'的长度；

(2)、将直线l： y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A (m， n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离 $A A^{'} = 3 \sqrt{2},$ 且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线l'的函数表达式；

(3)、将抛物线 $y_{1} = x^{2} - 4 x$ 沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线 $y_{2} = x^{2} + b x + c,$ 当0≤x≤4时，抛物线 $y_{2} = x^{2} + b x + c$ 上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y₁的平移距离d的取值范围.

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11. 若函数“ $Y$ ”图象上存在一点向左平移2个单位长度，正好落在函数“ $X$ ”图象上，则称函数“ $Y$ ”是函数“ $X$ ”的“遥感函数”，这个点称为函数“ $Y$ ”关于函数“ $X$ ”的“遥感点”．

(1)、点 $(2, p)$ 是函数“ $Y$ ”： $y = x + 1$ 关于函数“ $X$ ”： $y = - x + b$ 的“遥感点”，求函数“ $X$ ”的解析式．

(2)、函数“ $Y$ ”： $y = k x + b$ 是函数“ $X_{1}$ ”： $y = x + m$ 的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“ $Y$ ”： $y = k x + b$ 关于函数“ $X_{2}$ ”： $y = \frac{b}{x}$ 有两个不同的“遥感点”，设它们为 $A$ ， $B$ ．当 $△ A O B$ 为等边三角形时，求 $△ A O B$ 的面积．

(3)、函数“ $Y$ ”： $y_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + t x - 2$ （其中 $t$ 为常数，且 $t > 2$ ）的顶点 $P$ 恰为函数“ $Y$ ”关于函数“ $X$ ”： $y = x - 3 b$ 的“遥感点”．设抛物线 $y_{2} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ 与函数“ $Y$ ”： $y_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + t x - 2$ 的交点为 $C$ ， $D$ ，抛物线 $y_{2} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ 顶点为 $Q$ ．当四边形 $P C Q D$ 为矩形时，求函数“ $X$ ”的解析式．

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三、中考中一次函数与动态几何

12. 如图1，在 $△ A B C$ 中，点D是边 $A B$ 的中点，动点E从点A出发，沿 $A \to C \to B$ 运动，设点E运动的路程为x， $△ B E D$ 的面积为y，y与x之间的函数图象如图2所示．有下列结论：① $A C = 2$ ；② $△ A B C$ 的面积为1；③当 $x = 3$ 时， $y = \frac{1}{2}$ ．其中正确的有（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E。设点B的坐标为（m，n)，若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（ )

A、当点A在y轴上时，点 C的坐标为（4， 2) B、mn=4 C、OE的长始终为4 D、n的取值范围为-2≤n≤2

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14. 如图，点 $A$ 是坐标原点，点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $C$ 在第一象限． $A B = 4$ ， $∠ C A B = 30 °$ ， $∠ C B A = 120 °$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、点P是 $y$ 轴上的一个动点，当点 $P$ 处于何位置时， $P B + P C$ 的值最小？

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15. 如图，已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $∠ A O B$ 的平分线交 $A B$ 于 $C$ ，一动点 $P$ 从 $O$ 点出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度，沿 $y$ 轴向点 $B$ 作匀速运动，过点 $P$ 且平行于 $A B$ 的直线交 $x$ 轴于 $Q$ ，作点 $P$ 、 $Q$ 关于直线 $O C$ 的对称点 $M$ 、 $N$ ．设点 $P$ 运动的时间为 $t (0 < t < 2)$ 秒．

(1)、用含 $t$ 的代数式表示点 $M$ ， $N$ 的坐标， $M$ 点的坐标为， $N$ 点的坐标为．

(2)、求 $C$ 点的坐标．

(3)、设 $△ M N C$ 与 $△ O A B$ 重叠部分的面积为 $S$ ．试求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式．

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16. 如图， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $A C － C B$ 向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作 $P M ⊥ A D$ 于点M，连接 $Q M$ ，以 $P M$ 、 $Q M$ 为边作 $▱ P M Q N$ ．设矩形 $A B C D$ 与 $▱ P M Q N$ 重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒） $(x > 0)$

(1)、当点N落在边 $B C$ 上时，求x的值；

(2)、求y关于x的函数解析式；

(3)、连接 $M N$ ，当直线 $M N$ 将矩形 $A B C D$ 的面积两等分时，直接写出x的值．

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17. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 分别交x轴和y轴于点 $A (4, 0)$ ， $B (0, 4)$ ．

(1)、如图1，已知 $⊙ M$ 经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且 $⊙ M$ 的直径为 $4 \sqrt{2}$ ，求证：直线 $l_{1}$ 与 $⊙ M$ 相切．

(2)、如图2，已知直线 $l_{2} : y = k x - 6$ 分别交x轴和y轴于点C、D，N是直线 $l_{2}$ 上的一个动点，以N为圆心， $3 \sqrt{2}$ 为半径画圆，当点N与点C重合时，直线 $l_{1}$ 与 $⊙ N$ 相切．
①求直线 $l_{2}$ 的解析式．
②设 $⊙ N$ 与直线 $l_{1}$ 相交于P、Q两点，连接 $P N$ 、 $Q N$ ，请问是否存在这样的点N，使得 $△ P Q N$ 是等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

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四、中考中一次函数与规律问题

18. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = 3 x$ 和 $y = - x$ 的图象分别为直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，过点 $(1 ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线交 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线交 $l_{2}$ 于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $l_{1}$ 于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作 $y$ 轴的垂线交 $l_{2}$ 于点 $A_{4}$ ， $⋯$ ，依次进行下去，则点 $A_{2023}$ 的坐标为（）．

A、 $(3^{1010} ， - 3^{1010})$ B、 $(- 3^{1010} ， - 3^{1011})$ C、 $(- 3^{1011} ， - 3^{1012})$ D、 $(- 3^{1010} ， - 3^{1010})$

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19. 如图，平面直角坐标系中，在直线 $y = x + 1$ 和 $x$ 轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在 $x$ 轴上，另一条直角边与 $x$ 轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是（）

A、 $2^{98}$ B、 $2^{99}$ C、 $2^{197}$ D、 $2^{198}$

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20. 在平面直角坐标系中，点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、 $A_{4}$ …在x轴的正半轴上，点 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ …在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x (x \geq 0)$ 上．若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，且 $△ A_{1} B_{1} A_{2}$ 、 $△ A_{2} B_{2} A_{3}$ 、 $△ A_{3} B_{3} A_{4}$ …均为等边三角形．则点 $B_{2024}$ 的纵坐标为．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} A_{2}$ 与正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} A_{3}$ 是以 $O$ 为位似中心的位似图形，且位似比为 $\frac{1}{2}$ ，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 在x轴上，延长 $A_{3} C_{2}$ 交射线 $O B_{1}$ 与点 $B_{3}$ ，以 $A_{3} B_{3}$ 为边作正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} A_{4}$ ；延长 $A_{4} C_{3}$ ，交射线 $O B_{1}$ 与点 $B_{4}$ ，以 $A_{4} B_{4}$ 为边作正方形 $A_{4} B_{4} C_{4} A_{5}$ ；…按照这样的规律继续作下去，若 $O A_{1} = 1$ ，则正方形 $A_{2021} B_{2021} C_{2021} A_{2022}$ 的面积为．

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22. 如图，在第一象限内的直线 $l$ ： $y = \sqrt{3} x$ 上取点 $A_{1}$ ，使 $O A_{1} = 1$ ，以 $O A_{1}$ 为边作等边 $△ O A_{1} B_{1}$ ，交 $x$ 轴于点 $B_{1}$ ；过点 $B_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l$ 于点 $A_{2}$ ，以 $O A_{2}$ 为边作等边 $△ O A_{2} B_{2}$ ，交 $x$ 轴于点 $B_{2}$ ；过点 $B_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l$ 于点 $A_{3}$ ，以 $O A_{3}$ 为边作等边 $△ O A_{3} B_{3}$ ，交 $x$ 轴于点 $B_{3}$ ；…，依次类推，则点 $A_{2024}$ 的横坐标为．

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23. 如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O₁ ，半圆O₂ ， …，半圆On与直线y= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x相切．设半圆O₁ ，半圆O₂ ， …，半圆On的半径分别是r₁ ， r₂ ， ⋅⋅⋅，rn，则当r₁=1时，r₂₀₂₂= ．

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