特殊平行四边形·动点问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-04-28 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，点C，D在线段AB上，射线DP⊥AB，连结PB，以BC，BP为邻边作□CBPE，连结AE，CP，记AE的长为m，CE的长为n.若AC=4，AD=5，BD=3，则在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是（）

A、mn B、m-n C、m²+n² D、m²-n²

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2. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是边 $C D ， B C$ 上的动点，连结 $A E ， E F ， G ， H$ 分别为 $A E ， E F$ 的中点，连结 $G H$ ．若 $∠ B = 45^{\circ} ， B C = 2 \sqrt{10}$ ，则 $G H$ 的最小值为( )

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 D、3

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3. 如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠ADC=120°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t(s)△DEF是等边三角形，则t的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是边BC上的一点且CE=3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动.设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（）

A、3.5 B、4.5 C、3.5或5.5 D、3.5或6.5

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5. 如图所示，正方形ABCD的边长为4，E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点 $E$ 顺时针旋转 $90^{°}$ 至EF，连结BF，取BF的中点 $M$ ，若点 $E$ 从点 $B$ 运动至点 $C$ ，则点 $M$ 经过的路径长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6. 如图， $E$ 是平行四边形ABCD内一点，且 $C D = C E, F, G$ 分别为AE ， BC的中点，若 $∠ G F E = 1 5^{°}$ ，则 $∠ A E D =$ （）

A、 $8 5^{°}$ B、 $9 5^{°}$ C、 $10 5^{°}$ D、 $11 5^{°}$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $E$ ， $F$ 是对角线 $A C$ 上的两点， $A E = C F = 2$ ，点 $P$ 在边 $A D$ 上运动（不与点 $A$ ， $D$ 重合），连结点 $P$ 与 $A C$ 的中点 $O$ 并延长交 $B C$ 于点 $Q$ ，连结 $P E$ ， $P F$ ， $Q E$ ， $Q F$ ．在点 $P$ 从点 $D$ 运动到点 $A$ 的整个过程中，四边形 $P E Q F$ 的形状变化依次是（）

A、平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B、平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D、平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形

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8. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E₁ ， E₂；点F关于BC，CD的对称点为F₁ ， F₂_，在整个过程中，四边形E₁E₂F₁F₂形状的变化依次是（）

A、菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B、菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C、平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D、平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形

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二、填空题

9. 学校的数学思维节活动中，既爱思考，又勤于动手的小青同学借助电脑技术创造出了如图所示的非常又创意的几何图案，他在和同学们分享的时候介绍了其中的数学原理：在 $▱ A B C D$ 的两条对角线上分别取两个动点E、F ，始终保持EF= $\sqrt{3}$ ，然后让这两个动点在各自的对角线上运动，将线段EF的轨迹呈现出来，就得到了如图所示的图形。小青同学在探索的过程中发现，两个动点的运动范围都是受限的，称各点运动范围的两个端点为“极限位置”，分别记为 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ 和 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若F点的“极限位置”恰好是A、C ，当AB= $2 \sqrt{3}$ ，且AC与BD的夹角为 $60 °$ ，则当点E处于“极限位置”时， $B E_{1}$ 的长为．

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10. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B C = 5 cm$ ，射线 $A G ∥ B C$ ，点E从点A出发沿射线 $A G$ 以 $1 cm / s$ 的速度运动，点F从点B出发沿射线 $B C$ 以 $2 cm / s$ 的速度运动，如果点 $E 、 F$ 同时出发，设运动时间为 $t (s)$ ．当 $t =$ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

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11. 如图，在 □ABCD 中，AD=10 cm，点 P 在AD边上以1 cm/s的速度从点 A 向点 D 运动，点Q 在 BC边上以4 cm/s的速度从点 C 出发，在 C，B 间往返运动，两点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止运动，同时点 Q 也停止运动.设运动时间为 ts(t>0)，当t=时，以点 P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3，点 $E$ 在 $C D$ 上且 $C E = 1$ ，点 $F$ 、 $P$ 分别为线段 $B C$ 、 $A D$ 上的动点，连接 $B E$ ， $B P$ ， $F P$ ， $E F$ ．若在点 $F$ 、 $P$ 的运动过程中始终满足 $P F ⊥ B E$ ，则 $B P + E F$ 的最小值为.

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13. 如图，在矩形ABCD中，AD=8，DC=12，点H在AD上，AH=3，E，G是矩形ABCD的边AB、CD上的动点，以E，H，G，F四点构造菱形EFGH.在点E、G运动变化过程中，点F到CD的距离为；点F的运动轨迹（起点到终点）长度为.

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14. 如图，矩形 $O A B C$ 在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为 $(6, 8)$ ．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结 $E D$ ，将线段 $E D$ 绕点E按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到线段 $E F$ ，连结 $D F$ ，设点D、E运动的时间为t秒．
（1）当 $t = 2$ 时， $△ D E F$ 的面积为．
（2）记点G为线段 $E F$ 的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为．

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三、解答题

15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度在CB间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）.

(1)、 3.5秒钟后，AP与CQ的长度分别是多少?

(2)、当四边形APQB的面积为平行四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为多少秒.

(3)、几秒钟后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形?

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16. 已知 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为10cm的等边三角形，且点B，C，D，E在同一条直线上，连结AD，CF。若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以1cm/s的速度运动，设 $△ A B C$ 的运动时间为t（s)。

(1)、当t为何值时，四边形ADFC是菱形?请说明理由。

(2)、当t为何值时，四边形ADFC是矩形?求其面积。

(3)、当t为何值时，四边形ADFC的面积是 $80 \sqrt{3} c m^{2} ?$

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，4 $\sqrt{3}$ ）.

(1)、求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；

(2)、动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束.设点P运动的时间为t秒（t>0）.
①求当t=2时，△PQC的面积是多少?
②求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？（请直接写出答案!）

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18. 如图1，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $3 \sqrt{5}$ ，点 $E$ 是正方形内一动点，且 $C E = C B$ ，连结 $A E$ 、 $B E$ 、 $D E$ ，并延长 $D E$ 交 $A B$ 于 $F$ ．

(1)、求证： $∠ B E F = 45 °$ ；

(2)、若 $A E ⊥ B E$ 时，
①如图2，求 $A F$ 的长度；
②如图3，延长 $D F$ 至点 $G$ ，使得 $A G = A D$ ，连结 $B G$ ．求 $△ A G F$ 与四边形 $B C E F$ 的面积比；

(3)、在图1中， $E$ 在运动过程中，当 $\frac{A E}{D E}$ 的值最小时，求 $B E$ 的长．（直接写出答案）

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