专题4.7锐角三角形函数—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-27 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ，设 $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则（）

A、 $c = b s i n B$ B、 $b = c s i n B$ C、 $a = b t a n B$ D、 $b = c t a n B$

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2. 如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M ，则sin∠AMD=（　　）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$

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3. 如图，在 $2 \times 2$ 的网格中，每个小正方形的边长均为 $1, A, B, C, E$ 为格点． $⊙ O$ 为大正方形的内切圆， $B C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，则 $c o s ∠ A E D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知α、β均为锐角，且满足 $|sinα - \frac{1}{2}| + \sqrt{{(t a n β - 1)}^{2}} = 0$ ，则α+β=（）

A、45° B、60° C、75° D、105°

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5. 下列等式成立的是（）

A、 $s i n 45^{\circ} + c o s 45^{\circ} = 1$ B、 $2 t a n 30^{\circ} = t a n 60^{\circ}$ C、 $2 s i n 60^{\circ} = t a n 45^{\circ}$ D、 ${s i n}^{2} 30^{\circ} = \frac{1}{2} c o s 60^{\circ}$

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6. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足 $50 ° \leq α \leq 75 °$ ，如果现在想要安全地攀上 $5 m$ 高的墙，那么使用的梯子最短约为（） $m$ ．（结果精确到 $0.1 m$ ） $(sin 50 ° \approx 0.77,cos 50 ° \approx 0.64,sin 75 ° \approx 0.97,cos 75 ° \approx 0.26)$

A、4.9 B、5.2 C、6.5 D、19.2

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7. 如图，梯子 $($ 长度不变 $)$ 跟地面所成的锐角为 $∠ α$ ，叙述正确的是( )

A、 $s i n α$ 的值越大，梯子越陡 B、 $c o s α$ 的值越大，梯子越陡
C、 $t a n α$ 的值越小，梯子越陡 D、陡缓程度与 $∠ α$ 的函数值无关

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8. 锐角α满足 $\sin α > \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且 $\tan α < \sqrt{3}$ ，则α的取值范围为（　　）

A、30°＜α＜45° B、45°＜α＜60° C、60°＜α＜90° D、30°＜α＜60°

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9. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从 $3$ 层直达 $7$ 层，“飞梯”的截面如图 $1$ ，已知 $A B$ 的长为 $50$ 米，点 $A$ 处的仰角为 $24^{°}$ ，那么高 $B C$ 是（）

A、 $\frac{50}{\sin 24^{°}}$ 米 B、 $\frac{50}{\cos 24^{°}}$ 米 C、 $50 \sin 24^{°}$ 米 D、 $50 \cos 24^{°}$ 米

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10. 如图，点 $G$ ， $H$ ， $P$ ， $Q$ 分别在等腰 $△ A B C$ 的腰上，连接 $G H$ ， $P Q$ ，已知 $G H ∥ P Q ∥ B C$ ， $A G = B P$ ，且 $\sin A = a \sin B$ ， $P Q + G H = b$ ， $A B$ 的长为定值．当 $a$ 与 $b$ 发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $\frac{b}{a}$ B、 $a b$ C、 $a + b$ D、 $\frac{b}{a^{2}}$

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二、填空题

11. 若 $\sin 65^{°} = \frac{10}{11}$ ，则 $\cos 25^{°}$ = ．

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12. $c o s 57 °$ $s i n 53 °$ （选填“＞”或“＝”或“＜”）.

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13. 若∠A为锐角，且满足 $s i n^{2} A + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} s i n A$ ，则∠A的度数为.

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14. 如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则 $t a n ∠ A B C$ 的值为．

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15. 在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点 $O$ 处，经折射后到盆底点 $B$ 处，法线与盆底交于点 $A$ ．光线的入射角为 $α$ ，折射角为 $θ$ ．若规定“ $\frac{\sin α}{\sin θ}$ ”为折射率 $n$ ，则光在水中的折射率 $n$ 约为 $\frac{4}{3}$ ．当 $α = 30 °$ 时，测得 $A B = 30 cm$ ，则 $O B$ 的长为 $cm$ ．

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16. 如图，点P在线段 $B C$ 上， $A B ⊥ B C$ ， $A P ⊥ D P$ ， $C D ⊥ D P$ ，若 $B C = 18$ ， $A B = 4$ ， $\tan C = \frac{1}{2}$ ，则 $D P$ 的长是．

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17. 如图，在△ABC中， CA=CB=5， AB=6， D为AB边上一动点，连结CD，将CD绕点C逆时针旋转到CE，使∠ACB=∠DCE.连结DE交BC于点F，则CF的最小值为.

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18. 如图，一艘海轮位于灯塔 $P$ 的北偏东 $37 °$ 方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $45 °$ 方向上的 $B$ 处．这时， $B$ 处距离A处的距离是海里．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ）

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19. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字 $1 - 12$ 对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字 $0 - 12$ 对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为．
（参考数据： $s i n 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ， $s i n 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ）

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20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG ， GHIJ的顶点D ， E ， F ， I ， J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令 $\frac{S_{△ D G J}}{S_{△ A D E}}$ =n，当α=60°时，n= ；当n= $\frac{2}{5}$ 时，S_△_ABC= .

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三、解答题

21. 计算： $\sqrt{12} + {(s i n 7 5^{\circ} - 2025)}^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{- 2} - 4 c o s 3 0^{\circ}$ .

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22. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

(1)、在图中找到 D 点，连接AD，使 AD//BC(D 为格点)；

(2)、连接 CD，则线段 CD 的长为；

(3)、若E为BC的中点，求 tan∠CAE的值.

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23. 实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图.已知试管AB=24cm， $B E = \frac{1}{3} A B$ ，试管倾斜角∠ABG为12°，实验时，导管紧贴水面MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE=28cm，MN=8cm，MN=NF，求DN的长.（结果保留整数）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）

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24. 一酒精消毒瓶如图1， $A B$ 为喷嘴， $△ B C D$ 为按压柄， $C E$ 为伸缩连杆， $B E$ 和 $E F$ 为导管，其示意图如图2， $∠ D B E = ∠ B E F = 108 ° ， B D = 6 c m ， B E = 4 c m$ ．当按压柄 $△ B C D$ 按压到底时， $B D$ 转动到 $B D^{'}$ ，此时 $B D^{'} ∥ E F$ （如图3）．

(1)、求点D转动到点 $D^{'}$ 的路径长；

(2)、求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据： $s i n 36 ° \approx 0.59 ， c o s 36 ° \approx 0.81 ， t a n 36 ° \approx 0.73 ， s i n 72 ° \approx 0.95 ， c o s 72 ° \approx 0.31 ， t a n 72 ° \approx 3.08$ ）

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25. 涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔十塔高）超过97米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑.某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正南方向航行.欲前往位于涠洲灯塔P南偏西75°方向的作业点C，渔船的航行速度为8海里/小时.当天该艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下：
①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西30°方向上的点A处；
②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西45°方向上的点B处；
③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散.
请根据以上信息，解决下列问题：

(1)、求涠洲灯塔P到航线AC的距离；

(2)、若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾?请说明理由（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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26. 为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验.
【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转.上臂AB，下臂BC长均为25cm.双臂对称张开时，AC始终保持水平，即AC∥MN.
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径 r与转动速度ν的乘积为定值，即k=vr，k为常数.(图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，ν为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计)
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度ν部分数据如下表：
旋转半径r(cm)
30
40
50
动速度v(cm/s)
200
150
120

(1)、请根据以上信息，求k的值(单位：( $c m^{2} / s)$

(2)、为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300cm/s，则旋转半径r至少为多少 cm?

(3)、某动作设计需要机械双臂的转动速度ν为160cm/s，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r.求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角∠BAD的正弦值.

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27. 如图①，郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中最宽的结合梁斜拉桥，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：
方案设计：如图②，分别在A，B两点放置测角仪测得 $∠ C D E$ 和 $∠ C E D$ 的度数；
数据收集：A，B两点的距离为260米，测角仪 $A D$ 和 $B E$ 的高度变为1.5米， $∠ C D E = 53 °$ ， $∠ C E D = 45 °$ ；
问题解决：求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面 $A B$ 的距离．（结果保留整数．参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ）

(1)、根据上述方案及数据，请你完成求解过程；

(2)、你认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项有哪些（写出一条即可）．

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28. 综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁 $A C$ 的夹角为 $∠ C A B$ ；
第二步：向水槽注水，水面上升到 $A C$ 的中点E处时，停止注水；（直线 $M N$ 为法线， $A O$ 为入射光线， $O D$ 为折射光线， $M N$ 交 $B C$ 于点G，且 $M N ∥ A C$ ．）
第三步：在 $C A$ 的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线 $P Q ∥ A O$ ，折射光线恰好经过点B．
【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得 $B Q ∥ D O$ ， $A C = 40 cm$ ， $∠ A C B = ∠ A E O = 90 °$ ， $∠ C A B = 59 °$ ，折射角 $∠ D O M = 40 °$ ．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

(1)、求 $∠ B O D$ 的度数．

(2)、求点B，D之间的距离．（结果精确到 $0.1 cm$ ）

(3)、求 $P A$ 的长．（结果精确到 $0.1 cm$ ）
（参考数据： $\tan 59 ° \approx 1.664$ ， $\sin 59 ° \approx 0.857$ ， $\tan 40 ° \approx 0.839$ ， $\sin 40 ° \approx 0.643$ ， $\tan 31 ° \approx 0.601$ ， $\sin 31 ° \approx 0.515$ ）

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29. 通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1，在△ABC 中，AB=AC，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 $s a d A = \frac{底}{B} = \frac{B C}{A B} .$ 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述角的正对定义，解答下列问题：

(1)、填空：sad60°的值为， sad120°的值为；

(2)、对于0°<A<180°，∠A 的正对值 sadA 的取值范围是；

(3)、【理解运用】如图2，在菱形 ABCD 中， $s i n B = \frac{4}{5},$ 求 sadA 的值；

(4)、【问题解决】如图3，在 Rt△ABC 中， $∠ C = 9 0^{\circ}, s a d A = \frac{\sqrt{10}}{5}, A B = 4,$ 求 $△ A B C$ 的面积.

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30. 阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 $\frac{1}{s i n α}$ 的值叫做这个平行四边形的变形度.

(1)、若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是；

(2)、若矩形的面积为 S₁ ，其变形后的平行四边形面积为 $S_{2},$ 试猜想 $S_{1}, S_{2},$ $\frac{1}{s i n α}$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、如图2，在矩形ABCD中， E是AD边上的一点，且 $A B^{2} = A E \cdot A D,$ 这个矩形发生变形后为 $▱ A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, E_{1}$ 为E 的对应点，连接. $B_{1} E_{1}, B_{1} D_{1},$ 若矩形 ABCD 的面积为 $\sqrt{2 m} (m⟩ 0), A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积为 $\sqrt{m} (m⟩ 0),$ 求 $∠ A_{1} E_{1} B_{1} + ∠ A_{1} D_{1} B_{1}$ 的大小.

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31. 【问题提出】
已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E G F$ 共顶点A，把正方形 $A E G F$ 绕点A顺时针旋转一定的度数，连接 $B G$ ，探究 $B G$ 的长．
【问题探究】
（1）如图（1），若正方形 $A E G F$ 的边 $A F$ 落在正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上时，当 $A E = 5, A B = 7$ 时， $B G =$ _________；
（2）如图（2），当 $A E = 2$ ，正方形 $A E G F$ 的边 $G F$ 的中点刚好落在点D时，求 $B G$ 的长．
（3）阅读材料并解决问题：
在 $Rt △ A C B$ 中，设其中一个锐角 $∠ A$ 度数为 $α$ ，
则 $\sin α = \frac{a}{c}, \cos α = \frac{b}{c}$ ，
$∴ \sin^{2} α + \cos^{2} α = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}}$ ，
$∵ ∠ C = 90 °$ ，根据勾股定理：在 $Rt △ A C B$ 中： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，
$∴ \sin^{2} α + \cos^{2} α = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$
请运用以上材料的结论，完成以下探究：
一般情形，如图（3），当旋转度数为 $m (45 ° < m < 90 °), A B = a, A E = b$ ，请你用含有a，b，m的式子直接表示出 $B G$ 的长．
【拓展应用】
（4）如图（4），已知长方形 $A B C D$ 和长方形 $A E F G$ 全等，把长方形 $A E F G$ 绕点A顺时针旋转，当 $A E$ 所在的直线恰好过 $B G$ 的中点O时，当 $A B = 6, B C = 3$ 时，请直接写出 $B G$ 的长．

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32. 邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°， AB=AD，那么四边形ABCD称为“邻等对补四边形”。

(1)、【概念辨析】
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有（填序号).

(2)、【性质探究】
如图3，四边形 ABCD 是邻等对补四边形，其中AB=AD， ∠ABC+∠ADC=180°。
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若AD=4， ∠ABC=60°， ∠BCD=45°，求BC的长?

(3)、【拓展应用】
如图4，在 Rt△ABC中， ∠B=90°， AB=2， BC=3，分别在边BC， AC上取点M， N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，请直接写出tan∠NBM的值.

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33. 问题提出

(1)、如图①， $A B ⊥ B C, C D ⊥ B C, E$ 为 $B C$ 上一点，连接 $A E$ 、 $D E$ ，当 $∠ A E D = 90 °$ 时， $∠ A + ∠ D =$ $°$ ．

(2)、问题探究
如图②，在边长为6的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $B C$ 边上任意一点，连接 $D E$ ，并作 $∠ D E F = 60 °$ ，使得 $∠ D E F$ 的一边与 $A C$ 交于点 $F$ ，试求出 $C F$ 的最大值．

(3)、问题解决
如图③，四边形 $A B C D$ 为某美食商业区的平面示意图，其中 $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 80 m$ ， $B C = C D = 100 m$ ．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在 $B C$ 上选取一点M， $C D$ 上选取一点 $N$ ，连接 $A M$ 、 $A N$ 、 $M N$ ，构造 $△ A M N$ ．已知点 $A$ 为美食商业区的出入口， $t a n ∠ A M N = \frac{4}{3}$ ，设 $B M = x m, N C = y m$ ．
（i）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点 $N$ 与点 $C$ 的距离足够远，请你根据需求计算出当 $N C$ 最大时 $△ A M N$ 的面积．

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旋转半径r(cm)	30	40	50
动速度v(cm/s)	200	150	120