专题4.6相似三角形—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{b}{a - b}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 如图，已知 $D E ∥ B C$ ， $A B : A D = 4 : 3$ ，若 $D E = 12$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、16 B、12 C、4 D、3

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3. 如图是某景区大门部分建筑，已知 $A D ∥ B E ∥ C F$ ， $A C = 16 m$ ，当 $D F : D E = 4 : 3$ 时，则 $A B$ 的长是（）

A、 $10 m$ B、 $11 m$ C、 $12 m$ D、 $13 m$

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4. 如图，点M是 $△ A B C$ 内一点，过点M分别作直线平行于 $△ A B C$ 的各边，所形成的三个小三角形 $Δ_{1}, Δ_{2}, Δ_{3}$ （图中阴影部分）的面积分别是4， $9$ 和 $49$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、81 B、121 C、124 D、144

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5. 如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点， DE∥BC且 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}, △ A D E$ 的周长2，则△ABC的周长为( )

A、4 B、6 C、8 D、18

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6. 有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ．
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=﹣1．
其中正确的判断有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150 cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（）

A、80cm B、60cm C、50cm D、40cm

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8. 定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ，下列条件能使四边形 $A B C D$ 成为“全相似四边形”的是（）

A、 $∠ A = 90 °$ B、 $∠ B = 90 °$ C、 $∠ C = 90 °$ D、 $∠ D = 60 °$

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9. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒 $A B$ 与它的物像 $A^{'} B^{'}$ 平行，已知玻璃棒 $A B = 18$ 厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像 $A^{'} B^{'}$ 的长是（）厘米．

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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10. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（）

A、（ $\frac{4}{3}$ ）³ B、（ $\frac{4}{3}$ ）⁷ C、（ $\frac{4}{3}$ ）⁶ D、（ $\frac{3}{4}$ ）⁶

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二、填空题

11. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠ACD=∠B，∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F，则 $\frac{E F}{A E}$ 的值为.

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12. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为步．

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13. 如图，在 $∆ A B C$ 中，∠C=90⁰ ， AC=10cm，BC=8cm，点P从点C出发，以 $2 c m / s$ 的速沿着 $C A$ 向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以 $1 c m / s$ 的速度沿 $B C$ 向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过秒后， $△ P C Q$ 与 $△ A B C$ 相似.

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14. 定义：有两个内角的差为 $9 0^{°}$ 的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5,$ $B C = 8$ ，点 $P$ 为边BC上一点，若 $△ A P C$ 为“反直角三角形”，则BP的长为．

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，连结CD，过D作DH⊥BC于点H；D₁是BD的中点，连结HD₁ ，过D₁作D₁H₁⊥BC于点H₁；D₂是BD₁的中点，连结H₁D₂ ，过D₂作D₂H₂⊥BC于点H₂；…………如此继续下去，分别记四边形CDD₁H、四边形HD₁D₂H₁、四边形H₁D₂D₃H₂…………四边形H_n-2D_n-1D_nH_n-1的面积为S₁ ， S₂ ， S₃ ， ……，S_n ．若S_△ABC=2，则S₂₀₂₂ ．

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16. 图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具———桔槔(jié gāo)的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，OM 代表固定支架，点C，点D分别代表水桶和重物，AC，BD是固定长度的麻绳，绳长AC=3米，杠杆AB=6米， OB：OA=1：3，当水桶C的位置低于地面0.5米时(如图3)，支架OM 与绳子BD之间的距离OH是1.2米，则这个桔槔支架OM 的高度为米.

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三、解答题

17. 如图，E，F 是菱形ABCD 边AB，AD上的点，连接DE，点G 在DE 上，连接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE.

(1)、求证：△ADE∽△GDA；

(2)、求证： $\frac{C D}{A F} = \frac{C G}{G F} .$

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18. 图1图2均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．

(1)、观察：如图1， $\frac{A B}{C D} =$ ， $\frac{B E}{C E} =$ ；

(2)、探究：如图2，仅用无刻度的直尺在 $A C$ 上找一点M，连接 $B M ， D M$ ，使得 $△ A B M ∽ △ C D M$ ；小军说：作点B关于 $A C$ 的对称点 $B^{'}$ ，连接 $B^{'} D$ 与 $A C$ 交于点M…请根据小军的方案在图2中画出点M的位置，并证明是否可行．

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19. 图①、图②、图③均是 $6 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．

(1)、在图1中，作 $△ A B C$ 的中线 $A D$ ；

(2)、在图2中，在 $A C$ 上找一点E，使 $A E = \frac{2}{3} A C$ ：

(3)、在图3中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接 $C P$ ，并在线段 $A C$ 上找到一点Q，连接 $P Q$ ，使 $△ A B Q ∽ △ C P Q$ ．

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20. 如图，已知线段AB上有一点P，C，D为线段AB外两点，连接AC，BD，CP，PD.若∠1=∠2=∠3.

(1)、在下面证明△ACP∽△BPD 的过程中写出依据；
证明：∵∠APC+∠2+∠BPD=180°(依据：平角是180°)，∠APC+∠1+∠C=180°(依据：)，∠1=∠2(已知)，
∴∠BPD=∠C，
∵∠1=∠3(已知)，
∴△ACP∽△BPD(依据：)；

(2)、请添加一组条件，使得△ACP≌△BPD，并写出证明过程及依据.

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21. 小区内开车必须遵守限速 $5 m / s$ 安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在 $C$ 处玩要，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 $A$ 处驶来，经过2秒直行到 $B$ 处刚好观察到 $C$ 处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知 $C M = 3 m, O C = 5 m, O D = 3 m, ∠ O A D = 2 0^{°}$ ，试问该汽车是否遵守行车安全规范？
（参考数据： $c o s 2 0^{°} \approx 0.94, s i n 2 0^{°} \approx 0.34, t a n 2 0^{°} \approx 0.36$ ）

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上一点，点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $C^{'}$ 落在 $A B$ 边上．
【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与 $C^{'}$ ；
【推理与计算】（2）以 $D$ 为圆心， $C D$ 为半径作 $⊙ D$ ，若点 $A$ 恰好落在 $⊙ D$ 上，且 $A B = 10$ ， $B C = 13$ ，求 $⊙ D$ 的半径．

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23.

项目式学习

问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．

【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯 $A B$ 的影子为 $B C$ ，小明（ $D E$ ）站在路灯旁边，影子为 $E F$ ．经测量， $B C$ 长2米， $E F$ 长0.5米，小明的身高为1.5米．

【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯 $A B$ 的影子重合，测得小明的影子 $G H$ 的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）

【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下：

高度/米	4	6	8	10
照明亮度的平方/勒克斯 $^{2}$	450	300	225	180
照明范围/平方米	$\frac{16}{3} π$	$12 π$	$\frac{64}{3} π$	$\frac{100}{3} π$

（假设整个照明范围内的照明亮度相等）

同学们搜集了一则材料：

根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．

【问题探究】

(1)、在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯

A B

的高度：．

(2)、在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯

A B

的高度．

(3)、在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．

(4)、在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造个路灯．

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24. 【项目主题】合理设计，实用便民

【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：

素材1	图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为 $x$ 轴，以左侧墙面为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，则抛物线 $A B$ 符合 $y = a {(x - 4)}^{2} + k$ ．最高点 $A$ 离地面 $8 m$ ，照明灯安装 $y$ 轴右侧的 $C$ 点，距 $y$ 轴 $14 m$ ．
素材2	为测量素材1的点 $C$ 到地面的距离 $C G$ 的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆 $H I = J K = 1.5 m$ （标杆垂直于地面），两杆相距15步，从 $H I$ 退行10步到 $M$ 点，从 $J K$ 退行15步到 $N$ 点．（ $C 、 H 、 M$ 共线， $C 、 J 、 N$ 共线）
素材3	为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面 $4.5 m$ ．如图2所示，灯架 $D_{1} E_{1}$ ， $D_{2} E_{2}, D_{3} E_{3}$ ， $D_{4} E_{4}$ 均平行于 $y$ 轴， $D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}$ 共线，且所在直线平行于 $x$ 轴， $D_{1} D_{2} = D_{2} D_{3} = D_{3} D_{4} = 3.5 m$ ， $D_{1}$ 的坐标为 $(2, 4.5)$ ．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为 $1 m$ 的支架．记灯架和支架总长 $l = D_{1} E_{1} + D_{2} E_{2} + D_{3} E_{3} + D_{4} E_{4} + 8$ ．

根据提供素材，完成下列问题：

(1)、数学小组计算出

C G

的长度，具体如下：

解：设 $C G = s m$ ， $G I = t$ 步，

$∵ H I ∥ C G$ ，

$∴ △ C M G ∽ △ H M I$ ，

$∴ \frac{s}{1.5} =$ ______①，

又 $∵ J K ∥ C G$ ，

$∴ △ C N G ∽ △ J N K$ ，

$∴ \frac{s}{1.5} = \frac{15 + 15 + t}{15}$ ，

$∴ \frac{10 + t}{10} = \frac{15 + 15 + t}{15}$ ，

$∴ t =$ ______②，

$∴ s = \frac{1.5 (t + 10)}{10} =$ ______③．

请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：

(2)、根据已知条件，求出抛物线

A B

的解析式（不需要写出x的取值范围）．

(3)、求出素材3中l的值，并判断

20 m

长的材料能否完成灯架和支架的安装．

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25.

(1)、如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若 $D E = 1, B D = \frac{3}{2},$ 求BC的长；
②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(2)、如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S₁ ， △CDE的面积为S₂ ， △BDE的面积为 $S_{3}, S_{1} \cdot S_{3} = \frac{4}{9} S_{2}^{2},$ 求cos∠CBD的值.

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26. 【阅读材料】

问题

如图，AB，CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，AC∥BD，求证：O是CD 的中点.

问题分析

由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD 的中点.

方法提取

构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.

【基础应用】

已知在△ABC中，. $∠ B = 9 0^{\circ} ，$ 点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.

(1)、如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；

(2)、如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；

(3)、【灵活应用】

如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， $A B = 8 ， A E = 2 ， \frac{A E}{C F} = \frac{A B}{B C} ，$ 当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为， CF 扫过的面积为.

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27. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设 $D$ ， $E$ ， $F$ 依次是 $△ A B C$ 的三边 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足 $\frac{A D}{D B} \cdot \frac{B E}{E C} \cdot \frac{C F}{F A} = 1$ ．
这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线 $D E$ 交 $△ A B C$ 的边 $A B$ 于点 $D$ ，交边 $A C$ 于点 $F$ ，交边 $B C$ 的延长线与点 $E$ ．过点 $C$ 作 $C M ∥ D E$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，则 $\frac{B E}{C E} = \frac{B D}{D M}$ ， $\frac{A D}{D M} = \frac{A F}{F C}$ （依据），
∴ $\frac{B E}{E C} \cdot \frac{A D}{D M} = \frac{B D}{D M} \cdot \frac{A F}{F C}$ ， ∴ $B E \cdot A D \cdot F C = B D \cdot A F \cdot E C$ ，即 $\frac{A D}{D B} \cdot \frac{B E}{E C} \cdot \frac{C F}{F A} = 1$ ．
情况②：如图2，直线 $D E$ 分别交 $△ A B C$ 的边 $B A$ ， $B C$ ， $C A$ 的延长线于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ． …

(1)、情况①中的依据指：；

(2)、请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；

(3)、如图3， $D$ ， $F$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $A D : D B = C F : F A = 2 : 3$ ，连接 $D F$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，那么 $B E : C E =$

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28. 综合与探究
【定义】如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 $A B = \sqrt{2} A C$ ，那么称点 C为线段 AB 的 $\sqrt{2}$ 分割点。

(1)、【理解】如图 2，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ， $C A = C B = 2$ ，点 P 是 AB 的 $\sqrt{2}$ 分割点，求 AP 的长；

(2)、【应用】如图 3，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ， $C A = C B$ ，点 P 是 AB 的 $\sqrt{2}$ 分割点，点 D 在 AB 的上方， $△ A P D ~ C P B$ ， AD 与 CP 相交于点 E，PD 与 BC 相交于点 F，求证： $△ C P B ~ C F P$ ；

(3)、【拓展】如图 4，点 G，H 同时从点 A 出发，分别以 1 个单位/秒和 $\sqrt{2}$ 个单位/秒的速度沿 AC，AB 方向运动，以 GH 为边向右作 $△ G H D ~ △ C P B$ ，直线 GD 与 CB，CH 分别交于点 M，N，当点 G 运动至 AC 的 $\sqrt{2}$ 分割点时，直接写出 $\frac{G D}{G M}$ 的值。

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29. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即 $\frac{C B}{A C} = \frac{A C}{A B}$ ，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．

(1)、【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵ $\frac{C B}{A C} = \frac{A C}{A B}$ ，
∴⋯⋯
请补全以上解题过程；

(2)、【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(3)、【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；

(4)、【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．

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30. 请阅读下列材料，完成相应的任务：

著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．

比如有这样一个题目：设有两只电阻，分到为 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ ，问并联后的电阻值 $R$ 是多少?

我们可以利用公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ 求得 $R$ 的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线 $l$ 上任取两点A，B，分别过点A，B作直线 $l$ 的垂线，并在这两条垂线上分别截取 $A C = R_{1}, B D = R_{2}$ ，且点C，D位于直线 $l$ 的同侧，连接AD，BC，交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥$ 直线 $l$ ，则线段EF的长度就是并联后的电阻值 $R$ ．

证明： $∵ E F ⊥ l, C A ⊥ l$ ，

$∴ ∠ E F B = ∠ C A B = 9 0^{°}$ ，

又 $∵ ∠ E B F = ∠ C B A$ ，

$∴ △ E B F ~ △ C B A ($ 依据1），

$∴ \frac{B F}{A B} = \frac{E F}{A C}$ （依据2）．

同理可得： $: \frac{A F}{A B} = \frac{E F}{B D}$ ，

$∴ \frac{B F}{A B} + \frac{A F}{A B} = \frac{E F}{A C} + \frac{E F}{B D}$
∴ $I = \frac{E F}{A C} + \frac{E F}{B D}$ ，
∴ $\frac{1}{E F} = \frac{1}{A C} + \frac{1}{B D}$ ，
即： $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ .

(1)、上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是谁：

依据1：.
依据2：.

(2)、如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R₁=3千欧，R₂=6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长．

(3)、受以上作图法的启发，小明提出了已知R₁和R，求R₂的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C=90°，AC=BC=R₁ ，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R₂ ．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．

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