专题4.5特殊三角形—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图， ∠AOB=150°， OC平分∠AOB， P为OC上一点， PD∥OA交OB于点 D， PE⊥OA 于点 E.若 PD=4，则 PE的长为( )

A、2 B、2.5 C、3 D、4

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2. 如图，在△ABC中，AB=AC ， D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=34°，则∠ADE的大小是( )

A、35° B、37° C、39° D、41°

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3. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 120 ° ， A B = 2 A C = 2 a$ ．某数学兴趣小组将三个与 $△ A B C$ 全等的三角形，摆放得到图2所示 $△ D B C$ ，连接 $C F$ ，则 $C F$ 的长度是（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ B、 $\sqrt{2} a$ C、 $\sqrt{3} a$ D、2 $\sqrt{2} a$

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4. 如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（）

A、 $C D = \sqrt{3} A E$ B、CD=2AE C、 $C D = \sqrt{2} A E$ D、CD=1.5AE

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5. 如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为( )

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 旋转至 $△ A^{'} B^{'} C$ ，使 $C B^{'} ⊥ A B$ ， $A^{'} B^{'}$ 交边 $A C$ 于点 $D$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、4 B、 $\frac{24}{5}$ C、6 D、5

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7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 $A B C$ ，其中 $A B = A C$ ， $∠ A B C = 27 °$ ， $B C = 36 cm$ ，则高 $A D$ 约为（）（参考数据： $\sin 27 ° \approx 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0.89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51$ ）

A、 $8.10 cm$ B、 $11.22 cm$ C、 $9.18 cm$ D、 $16.02 cm$

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8. 在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（）

A、x²=10²+（x-5-1）² B、x²＝（x﹣5）²+10² C、x²＝10²+（x+1-5）² D、x²＝（x+1）²+10²

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9. 如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为lₙ， l₂ ， l₄。对于lₙ， l₂ ， l₄ ，它们之间的关系正确的是（）

A、 $. l_{甲} > l_{乙} > l_{丙}$ B、 $l_{乙} > l_{甲} > l_{丙}$ C、 $l_{丙} > l_{甲} = l_{乙}$ D、 $l_{甲} = l_{乙} > l_{丙}$

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二、填空题

10. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是．

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11. 在 $△ A B C$ 中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作 $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点D；然后作线段 $B D$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点E，交 $B C$ 于点F．据此，我们可以推出：线段 $E F$ 与线段 $B D$ 的关系为．

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12. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 为 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ B D$ 交 $B D$ 的延长线于点 $F$ ，若 $A E = 3$ ， $C F = 2$ ，则 $B F$ 的长度为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ， $D$ 是 $B C$ 边上的任意一点，连接 $A D$ ， $E$ 是 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ，使得 $∠ 1 = ∠ 2$ ，连接 $C E$ ，则 $C E$ 的最小值是．

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14. 如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，分别以边AC， BC，AB为直径画圆. 记两个月牙形图案 ADCE和CGBF 面积之和（图中阴影部分) 为S₁ ， △ABC的面积为S₂ ，则S₁S₂（填“>”， “=”或“<”).

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15. 如图，点 D、E、F是等边三角形ABC边上的点，满足 $A D = B E = C F = \frac{1}{3} A B .$ 连接DE、EF、FD，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：.

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16. 约定：如果两个角的差的绝对值等于 $30^{\circ}$ ，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A D ⊥ B C$ 于点 $D ， ∠ A B C$ 的平分线分别与 $A D ， A C$ 交于点 $F ， E$ ．若 $∠ A F E$ 与 $∠ C$ 互为“完美关联角”，则 $∠ D A C$ 的度数为．

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17. 南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°，则EF的长为 m．

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18. 一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P ，离地面高度 $P B = 4.7 m$ ，当人从门外走到离该传感器 $4 m$ 及 $4 m$ 以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高 $1.7 m$ 的小明走到 $D$ 处时，恰好响起“欢迎光临”，则 $B D$ 的长为 $m$ ．

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三、解答题

19. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 $x O y$ ，已知格点（网格线的交点） $△ A B C$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在所给的网格图中确定格点 $D$ ，使得点 $A, C_{1}, D$ 组成以 $A C_{1}$ 为直角边的直角三角形，并写出所有点 $D$ 的坐标．

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20. 如图， BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC，且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.

(1)、求证： CE=BD.

(2)、若 $A C = A D = 4 \sqrt{5},$ 求BD的长.

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21. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：
⑴在图中画出 $△ A B E$ ，其面积为5，且 $∠ A B E = 4 5^{°}$ ，点E在小正方形的顶点上；
⑵在图中画出以CD为腰的等腰 $△ C D F$ ，面积为 $\frac{7}{2}$ ，点F在小正方形的顶点上；
⑶连接EF，直接写出线段EF的长.

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22. 小星、小红学习三角形证明后，对三角形的性质进行了探究：如图， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ C = 90 °, ∠ A = 30 °$ ．求证： $B C = \frac{1}{2} A B$

(1)、请你选择其中一人的证法进行证明．

(2)、过点B作 $B N$ 平分 $∠ A B C$ ，与 $A C$ 相交于点N，若 $A B = 4 cm$ ，求三角形 $B C N$ 的面积．

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23. 阅读理解
【材料阅读】赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明勾股定理的准确性.如图①所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形.证明方法如下：
设直角三角形的三边中较短的直角边长为a，另一直角边长为b，斜边长为c，朱实面积=2ab，黄实面积： $= {(b - a)}^{2} = b^{2} - 2 a b + a^{2},$ 朱实面积+黄实面积： $= a^{2} + b^{2} =$ 大正方形面积： $= c^{2} .$
【实际应用】
若较短的直角边的长为6，另一条直角边长为8，求小正方形与大正方形的面积比；
【拓展延伸】
类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由 3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中，若 $A F = \sqrt{2}, F D = 2 \sqrt{2},$ 求AB 的长.

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ A D E$ 中， $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 60 °$ ， $A D < A C$ ．连接 $B D$ ，点 $F$ 是 $B D$ 的中点，连接 $C E, C F, E F$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在 $A C$ 上时，求证： $△ C E F$ 是等边三角形；

(2)、将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转．
①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE=3，则EM= ▲ ．

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25. 如图

(1)、【问题呈现】
如图 $①$ ， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 都是等边三角形，连接 $C F$ 、 $B E$ ．则 $C F$ 与 $B E$ 之间的数量关系为；

(2)、【类比探究】
如图 $②$ ， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 都是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ A F E = 90 °$ ，连接 $C F$ 、 $B E$ ．则 $\frac{C F}{B E} =$ ；

(3)、【拓展提升】
如图 $③$ ， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 都是直角三角形， $∠ A C B = ∠ A F E = 90 °$ ，且 $\frac{A C}{B C} = \frac{A F}{E F} = \frac{4}{5}$ ．连接 $C F 、 B E$ ，延长 $E B$ 交 $C F$ 于点 $G$ ，交 $A F$ 于点 $D$ ．
求 $\frac{C F}{B E}$ 的值；
若 $\frac{D F}{E F} = \frac{1}{5} ， A F = 4$ ，请求出 $D G$ 的长．

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26. 【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”。

(1)、【理解定义】如图1，在△ABC中， $A B = A C, ∠ B A C = 12 0^{\circ},$ D是线段BC上一点，连接AD，若AD=BD，那么线段AD （填“是”或“不是”) $△ A B C$ 的“奇妙分割线”.

(2)、【运用定义】
如图2，在平行四边形ABCD中， $A B = \sqrt{5}, B C = 5,$ 连接AC，若 $∠ B A C = 9 0^{\circ},$ E是线段BC上一点，CE=3，连接DE交AC与点F。求证：线段CF是 $△ D C E$ 的“奇妙分割线”。

(3)、【拓展提升】
如图3，在△ABC中， $A B = 5, B C = 3, s i n ∠ A B C = \frac{3}{5},$ 点 D 是线段 BC上的动点（点D不与B、C重合)，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，连接BE、CE，当ED是△BCE的“奇妙分割线”时，求线段BD的长。

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27. 阅读材料，并解决问题：
【思维指引】（1）如图1等边 $△ A B C$ 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 $∠ A P B$ 的度数.
解决此题，我们可以将 $△ A B P$ 绕顶点A旋转到 $△ A C P^{'}$ 处，此时 $△ A C P^{'} ≌ △ A B P$ ，连接 $P^{'} P$ ，借助旋转的性质可以推导出 $△ P A P^{'}$ 是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 $P A 、 P B 、 P C$ 转化到一个三角形中，从而求出 $∠ A P B =$ ______ $^{\circ}$ ；
【知识迁移】（2）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A B = A C$ ， E、F为 $B C$ 上的点且 $∠ E A F = 45 °$ ，请判断 $E F$ ， $B E$ ， $F C$ 的数量关系，并证明你的结论.
【方法推广】（3）如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，点P为 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A 、 P B 、 P C$ ，直接写出 $P A + \sqrt{2} P B + P C$ 的最小值.

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28. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D$ 是斜边 $A C$ 上的中线．求证： $B D = \frac{1}{2} A C$ ．
分析：如图 $2$ ，要证明 $B D$ 等于 $A C$ 的一半，可以用“中线倍长法”延长 $B D$ 到 $E$ ，使得 $D E = B D$ ，连接 $A E$ ，可证 $△ A D E ≌ △ C D B$ ，再证明 $△ A B E ≌ △ B A C$ ，最后得到： $B D = \frac{1}{2} A C$ ．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，延长 $B C$ 到 $E$ ，使得 $C E = \frac{1}{2} A B$ ， $D$ 是 $A B$ 边的中点，连接 $E D$ ，求证： $∠ B = 2 ∠ E$ ；
【模型构造】如图4，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 ° ∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ B$ ，延长 $B C$ 到 $D$ ，使得 $C D = B C$ ，连接 $A D$ ，求 $∠ D$ 的度数．

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29.
劳动课上，老师给同学们布置了任务：利用边角料加工成一批等腰三角形的部件．

问题提出：
（1）如图1，是一块三角形板材（ $△ A B C$ ），希望能够裁出一块以 $B C$ 为底边的等腰三角形部件．请在图中画出切割线（要求：利用尺规作图．保留作图痕迹，不写作法）
问题探究：
（2）如图2，是一块四边形板材（四边形ABCD），其中 $∠ C = 90 °$ ， $∠ A D C = 150 °$ ， $B C = 12$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ， $D A = 6$ ．小明和小丽通过测量和计算发现：若连接 $B D$ ，则 $△ A B D$ 就是一个等腰三角形，请你说出其中的道理，并求出 $△ A B D$ 的面积．
问题解决：
（3）小华对他俩的研究很感兴趣，于是也加入了进来．他们进一步发现（2）中的四边形ABCD恰好可以分割为三个等腰三角形．你知道他们是如何分割的吗？请你设计一种分割方式，说明理由．

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