专题4.4全等三角形—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径 $A B$ 的卡钳，卡钳交叉点O为 $A A^{'}$ 、 $B B^{'}$ 的中点，只要量出 $A^{'} B^{'}$ 的长度，就可以道该零件内径 $A B$ 的长度．依据的数学基本事实是（）

A、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C、两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D、两点之间线段最短

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2. 如图，在△ABC中， ∠ABC=68°， BD平分∠ABC， P为线段BD上一动点， Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为( )

A、34° B、68° C、56° D、90°

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3. 如图，在等边三角形ABC中，点 D，E 分别在边 AC，BC上，连结DE，∠ADE的平分线过△ABC的内心O，交AB 于点 F，连结 EF.若要知道△ABC的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长?该三角形是 ( )

A、△CDE B、△ADF C、△BEF D、△DEF

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4. 如图，已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $B E F G$ ，且A、B、E三点在一条直线上，以 $C E$ 为边构造正方形 $C P Q E$ ， $P Q$ 交 $A B$ 于点M， $∠ A P M = α$ ， $∠ B C M = β$ ．若点Q、B、F三点共线， $tan α = n tan β$ ，则 $n =$ （　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{12}{13}$

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5. 老师布置的作业中有这样一道题：
甲同学认为AB，AC，AD这三条线段不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需取 AB 的中点构造三角形的中位线，就可以解决.关于三位同学的思考过程，你认为正确的是 ( )

A、甲 B、乙 C、丙 D、乙和丙

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二、填空题

6. 如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=60°， CD=3， AD=BD=8，点 E在边AB上，连接CE.若∠ADE=2∠CBD，且BD平分∠CDE，则CE的长为.

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7. 如图，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内部的一点，点 $P$ 到三边 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 的距离 $P D = P E = P F$ ，若 $∠ B P C = 142 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为．

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8. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.其中结论正确的是 .（填序号）
①∠AFC=120°；②若AB=2AE，则CE⊥AB；③CD+AE=AC；④S_△_AEF：S_△_FDC=AF：FC.

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B - A C = 6$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ， $C D ⊥ A D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $D E$ ，则 $D E$ 的长为．

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10. 如图2是某款台灯（图 1）的示意图，处于水平位置的棤杆 E F 可以绕着点 $O$ 转动，当 O F 分别转到 O M， O N 的位置时，测得 $∠ M O N = 9 0^{°}$ ，点 M， N 的高度差为 $G H = 34 c m$ ，点 $N$ ， $F$ 的水平距离 $N H = 2 c m$ ，点 M， F 的水平距离 $M G = 16 c m$ ，若该台灯的底座高度 $A B = 3 c m$ ，垂直于底座的灯柱长 O A 与 O F 长度一样，从 $N$ 点射出的光线与桌面成 $6 0^{°}$ ，则光线所照区域最大范围 B P 为 cm .

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三、解答题

11. 如图，在菱形ABCD中，点E， F分别在BC， CD上，且CE=CF．求证： AE=AF．

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12. 已知如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 60 °$ ．

(1)、作 $∠ B$ 的平分线，交 $A C$ 于点 $D$ ；作 $A B$ 的中点 $E$ （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、连接 $D E$ ，求证： $△ A D E ≌ △ B D E$ ．

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13. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，分别以 $B, C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 长为半径画弧，两弧交于点D，连接 $B D, C D, A D, A D$ 与 $B C$ 交于点E．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C D$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 80 °$ ，求 $∠ A C E$ 的度数．

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14. “草长莺飞二月天，扶梯杨柳醉春烟，儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．星期天，小明和小伙伴准备自制风筝到公园去放，小明将正方形纸片 $A B C D$ 和菱形纸片 $E M F N$ 按照如图所示制作，顶点B和顶点N重合，菱形 $E M F N$ 的对角线 $M N$ 经过点D，点E，F分别在 $A D$ ， $C D$ 上．

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ C B E$ ；

(2)、若 $A B = 20 c m$ ，点E在 $C D$ 的中点上，求 $D M$ 的长度.

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15. 如图， $O$ 是正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ ， $B D$ 的交点， $A F$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B D$ 于点 $M$ ， $D E ⊥ A F$ 于点 $H$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $G$ ．

(1)、证明 $△ A E D ≌ △ B F A$ ；

(2)、 $△ A D M$ 是等腰三角形吗？请说明理由；

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16. 在如图所示的方格纸中， $△ A B C$ 是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．

(1)、在图1中画一个 $△ A B D$ ，使得 $△ A B D$ 和 $△ A B C$ 全等．

(2)、在图2中画一个等腰 $△ A B E$ ，使得 $△ A B E$ 和 $△ A B C$ 的面积相等．

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17. 已知，如图， $A B = A C, B D = C D, D E ⊥ A B$ 于点 $E, D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ A B D = ∠ A C D$ ；

(2)、求证： $B E = C F$ ．

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别为 $B C$ 和 $C D$ 上的点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $G$ ，现提供三个关系：① $B E = C F$ ；② $A E = B F$ ；③ $A E ⊥ B F$ ．

(1)、从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；

(2)、选择其中的一个真命题进行证明．

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19. 如图，已知 $A B = C D$ ，点 $E$ ， $F$ 在线段 $B D$ 上，且 $A F = C E$ ．
请从① $B F = D E$ ；② $∠ B A F = ∠ D C E$ ；③ $A F = C F$ 中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得 $△ A B F ≌ △ C D E$ ．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明 $A E ∥ C F$ ．

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20. 课本56页中有这样一道题：证明．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，
（1）小玲在思考这道题时．画出图形，写出已知和求证．
已知：在 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A B = A^{'} B^{'}$ ， $A C = A^{'} C^{'}$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的中线， $C^{'} D^{'}$ 是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 边 $A^{'} B^{'}$ 上的中线， $C D = C^{'} D^{'}$ ．
求证： $△ A B C ≌ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．
请你帮她完成证明过程．
（2）小玲接着提出了两个猜想：
①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；
②如果两个三角形有两条边和第三边上的高分别相等，那么这两个三角形全等；
请你分别判断这两个猜想是否正确，如果正确，请予以证明，如果不正确，请举出反例．

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21. 如图是由边长为 $1$ 的小正方形构成的 $6 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， $△ A B C$ 的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．

(1)、在图 $1$ 中，作 $△ A B C$ 的高线 $C D$ ；

(2)、在图 $2$ 中．
$①$ 在 $A B$ 边上画一点 $E$ ，使 $C E$ 平分 $△ A B C$ 的面积；
$②$ 点 $M$ 是边 $A C$ 上任意一点，在 $①$ 的条件下，在 $B C$ 上画一点 $N$ ，使 $∠ E N B = ∠ M N C$ ，并说明理由．

(3)、在图 $3$ 中，在 $A C$ 边上画一点F，使 $∠ A F B = ∠ A B C$ ．

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22. 图①、图②、图③均是 $6 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：

(1)、在图①中画一个 $△ B C D$ ，使 $△ B C D$ 是一个轴对称图形；

(2)、在图②中画一个 $△ B C E$ ，使它与 $△ A B C$ 全等；

(3)、在图③中画一个 $△ A C F$ ，使它与 $△ A B C$ 的周长相等．

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23. 在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．

(1)、在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1）

(2)、 $△ A B C$ 是格点三角形．
①在图2中画出2个与 $△ A B C$ 全等且有一条公共边 $B C$ 的格点三角形；
②在图3中画出2个与 $△ A B C$ 全等且有一个公共点 $A$ 的格点三角形．

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24. 小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题：
如图1， $D$ 是 $∠ B A C$ 平分线上一点， $E$ 是AB上一点。用直尺和圆规作 $∠ A D E = ∠ A D F$ ，其中点 $F$ 在AC上。
小嘉：如图2，以 $A$ 为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点 $F$ ，连接DE，DF，则 $∠ A D E = ∠ A D F$ 。
小兴：以 $D$ 为圆心，DE长为半径作弧，交AC于点 $F$ ，连接DE，DF，则 $∠ A D E = ∠ A D F$ 。小嘉：小兴，你的作法有问题。
小兴：哦……我明白了！

(1)、给出小嘉作法中 $∠ A D E = ∠ A D F$ 的证明。

(2)、指出小兴作法中存在的问题。

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25. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点 P，连结PB， PD.

(1)、求证： PB=PD.

(2)、将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在 BA 的延长线上点 Q 处，求∠DPQ 的度数.

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上一点， $E$ 为 $△ A B C$ 外部一点，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点 $O$ ， $B C = D E$ ， $∠ C = ∠ E$ ， $∠ B A D = ∠ C A E$ ．

(1)、求证： $A D = A B$ ；

(2)、若 $∠ A D E = 74 °$ ，求 $∠ C D E$ 的度数．

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27. 如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，AP 为伞柄，伞圈D 能沿着伞柄AP 滑动，伞骨AB=AC，E，F分别是伞骨上两个定点，且满足 $A E = \frac{1}{3} A B, A F = \frac{1}{3} A C, D E = D F .$

(1)、求证： $△ A D E ≅ △ A D F;$

(2)、当伞完全撑开后，点B，D，C在同一条直线上，已知AB=55cm，AD=33cm，两个身体宽度40 cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10 cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到?

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28. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)、发现问题：如图①，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 30 °$ ，连接 $B E ， C F$ ．直接写出 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系是：______；

(2)、类比探究：如图②，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 120 °$ ，连接 $B E ， C F$ 请猜想 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、拓展延伸：如图③， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ E A F = 90 °$ ，连接 $B E 、 C F$ ，且点B、E、F在一条直线上，过点A作 $A M ⊥ B F$ ，垂足为M．请直接写出 $B F 、 C F 、 A M$ 之间的数量关系．

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29. 图1是一张三角形纸片 $A B C$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，沿垂直于斜边 $A C$ 的方向裁剪一刀（裁剪线为 $M N$ ），会分得两个图形．
情境：（1）当裁剪线 $M N$ 恰好经过顶点B时，如图2，直接写出 $M N$ 的长；
操作：（2）要使经过沿 $M N$ 裁剪的三角形纸片 $A B C$ ，分得的其中一个图形为轴对称图形，
①嘉嘉想出了如下作法：先作出了 $∠ C$ 的平分线 $C N$ 交 $A B$ 于N，如图3，再过点N沿垂直于 $A C$ 的方向裁剪，得到的四边形 $B C M N$ 一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出 $A C$ 的垂线 $M N$ ，垂足为点 $M$ （保留作图痕迹，不写作法）；
②试对 $C B$ 与 $C M$ 相等进行说理，并直接写出裁剪线 $M N$ 的长．
探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线 $M N$ 还应有另一个不同的值．”请直接写出淇淇所说的 $M N$ 的长．

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30. 【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”． $A M = A N$ ， $D M = D N$ ．求证： $∠ A M D = ∠ A N D$ ．
【模型应用】
（2）如图2， $△ A M C$ 中， $∠ M A C$ 的平分线 $A D$ 交 $M C$ 于点 $D$ ．请你从以下两个条件：
① $∠ A M D = 2 ∠ C$ ；② $A C = A M + M D$ 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B C}$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ ．求证： $A E = 2 C D$ ．

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31. 综合与实践

(1)、问题提出：
如图1，点E为等腰 $△ A B C$ 内一点， $A B = A C$ ，若另有一个以 $A D$ 、 $A E$ 为腰的等腰 $△ A E D$ 且 $∠ B A C = ∠ E A D$ ，求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ．

(2)、尝试应用：
如图2，点D为等腰 $Rt △ A B C$ 外一点， $A B = A C$ ， $B D ⊥ C D$ ，过点A的直线分别交 $D B$ 的延长线和 $C D$ 的延长线于点N、M， $B D$ 与 $A C$ 交于K，若 $∠ M = 60 °$ ， $∠ B A C = 90 °$ ．求证： $M C + N B = 2 A M$ ．

(3)、问题拓展：
如图3，P是 $△ A B C$ 内一点， $P A = P B$ ， D在 $B C$ 边上，连接 $P D$ ， $∠ P D B = ∠ P A B$ ，过P作 $P E ⊥ A C$ ，垂足为E，若 $∠ D P E + ∠ A P B = 180 °$ ， $A E = 6$ ，求 $E C$ 的长．

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32. 已知线段 $B D$ 是正方形 $A B C D$ 的一条对角线，点E在射线 $B D$ 上运动，连接 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $C F$ ，连接 $D F$ ．

（1）如图1，若点E在线段 $B D$ 上，请直接写出线段 $B E$ 与线段 $D F$ 的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段 $B D$ 的延长线上运动，请写出线段 $C D$ ， $D E$ ， $D F$ 之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段 $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的一条对角线， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点E在射线 $B D$ 上运动，连接 $C E$ ，将 $C E$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $C M$ ，在 $C M$ 上截取线段 $C F = \frac{3}{4} C E$ ，连接 $E F$ ，若 $D E = 1$ ，直接写出线段 $E F$ 的长．

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33. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D$ 是斜边 $A C$ 上的中线．求证： $B D = \frac{1}{2} A C$ ．
分析：如图 $2$ ，要证明 $B D$ 等于 $A C$ 的一半，可以用“中线倍长法”延长 $B D$ 到 $E$ ，使得 $D E = B D$ ，连接 $A E$ ，可证 $△ A D E ≌ △ C D B$ ，再证明 $△ A B E ≌ △ B A C$ ，最后得到： $B D = \frac{1}{2} A C$ ．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，延长 $B C$ 到 $E$ ，使得 $C E = \frac{1}{2} A B$ ， $D$ 是 $A B$ 边的中点，连接 $E D$ ，求证： $∠ B = 2 ∠ E$ ；
【模型构造】如图4，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 ° ∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ B$ ，延长 $B C$ 到 $D$ ，使得 $C D = B C$ ，连接 $A D$ ，求 $∠ D$ 的度数．

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34. 【阅读材料】

问题

如图，AB，CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，AC∥BD，求证：O是CD 的中点.

问题分析

由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD 的中点.

方法提取

构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.

【基础应用】

已知在△ABC中，. $∠ B = 9 0^{\circ} ，$ 点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.

(1)、如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；

(2)、如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；

(3)、【灵活应用】

如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， $A B = 8 ， A E = 2 ， \frac{A E}{C F} = \frac{A B}{B C} ，$ 当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为， CF 扫过的面积为.

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35. 请阅读下面的材料.

(1)、问题：如图1，若∠A =60°，∠ACB =90°，CD平分∠ACB，探究图中线段BC，AC，AD之间的数量关系.
小明同学的思路是：如图2，在BC上截取CE =CA，连接DE，先证 $△ A C D ≅ △ E C D ，$ 可得AD=DE，再证BE=DE，可得出结论，他的结论是(直接写出结论，不需要证明).

(2)、变式：如图3，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，若AE平分 $∠ B A D ， ∠ A E D = 9 0^{\circ} ，$ 请你探究图中线段AB，AD，CD之间的数量关系并证明.

(3)、拓展：如图4，在△ABC中， $∠ A = 6 0^{\circ} ， ∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线交于点P，点M，N分别为AB，AC上的点，且点P为MN中点，若BM=8，CN=1.5，MN=7，求BC的值.

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36. 【阅读材料】
“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线，在 $A B$ 上截取 $A E = A C$ ，连接 $D E$ ．请写出线段 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 之间的数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ， $∠ C \neq 90 °$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线．请判断线段 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 之间的数量关系并说明理由；
（3）如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B ， ∠ A C B \neq 90 °$ ，当 $A D$ 为 $∠ B A C$ 的补角的角平分线时，（2）中 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 之间的新数量关系，不必说明理由．

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37. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置.如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A₁B₁C₁O₁的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转.

(1)、【问题发现】
①线段AE，BF之间的数量关系是.
②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是.

(2)、【类比迁移】
如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A₁B₁C₁O₁的一个顶点，A₁O与边AB相交点E，C₁O与边BC相交于点F，连接EF，延长C₁O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A₁B₁C₁O₁可绕点O旋转.判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明.

(3)、【拓展应用】
如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕点D旋转.当AE=4时，请直接写出线段BF的长.

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