专题4.2 图形的初步（2）—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（　　）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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2. 如图，下列条件中能判断直线l₁∥l₂的是（）

A、∠1=∠3 B、∠2=∠4 C、∠2=∠1 D、∠4=∠3

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3. 甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（）

A、丙家在甲家北偏西 $30 °$ 方向 B、甲家在丙家南偏东 $30 °$ 方向 C、甲家在乙家南偏西 $50 °$ 方向 D、丙家在乙家北偏东 $80 °$ 方向

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4. 如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（）

A、∠2与∠3 B、∠1与∠4 C、∠5与∠7 D、∠1与∠8

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5. 利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在 $A$ 处测得建筑物 $C$ 在南偏西 $60 °$ 的方向上，在 $B$ 处测得建筑物 $C$ 在南偏西 $20 °$ 的方向上．在建筑物 $C$ 处测得A，B两处的视角 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $60 °$ D、 $80 °$

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6. 如图，固定木条b， c，使∠1=85°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（ )

A、85° B、90° C、95° D、100°

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7. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段 $A B, C E, D E$ 分别为前叉、下管和立管（点 $C$ 在 $A B$ 上）， $E F$ 为后下叉．已知 $A B ∥ D E$ ， $A D ∥ F E$ ， $∠ B C E = 67 °$ ， $∠ C E F = 135 °$ ，则 $∠ A D E$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $67 °$ C、 $68 °$ D、 $74 °$

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8. 如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道 $A B ∥ C D$ ，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点 $E$ 在 $A B$ 上， $G$ 在 $C D$ 上，且 $E F ⊥ F G$ ，若 $∠ A E F = 25 °$ ，则 $∠ C G F$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $55 °$ C、 $65 °$ D、 $75 °$

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9. 机器狗（四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景.如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=125°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为（ )

A、80° B、85° C、90° D、95°

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10. 小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC ， DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（）

A、30° B、15° C、45° D、20°

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11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点A在直线a上，BC边在直线d上，直线b，c被AB所截.若∠1=60°，∠2=119°，∠3=59°，则（）

A、a∥b B、a∥c C、b∥c D、a∥d

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12. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= ( )

A、70° B、100° C、110° D、130°

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13. 如图是杠杆受力示意图， $G$ 为竖直向下的重力， $F$ 为竖直向下的拉力．若 $∠ 1 = 100 °$ ．则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $100 °$ B、 $90 °$ C、 $80 °$ D、 $60 °$

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14. 已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东 $50^{\circ}$ 的方向航行，当货轮在 $A$ 处时，测得灯塔 $C$ 在其北偏东 $70^{\circ}$ 的方向上，航行2小时后货轮到达 $B$ 处，此时测得灯塔 $C$ 在其北偏东 $10^{\circ}$ 的方向上，则货轮到达 $B$ 处时与灯塔 $C$ 的距离是（　　）

A、100海里 B、80海里 C、60海里 D、50海里

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15. 海平面上，有一个灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，则灯塔的位置可以是（）

A、点O₁ B、点O₂ C、点O₃ D、点O₄

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16. 如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”.如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O^'A^'水平射出，且OA∥O^'A^' ，已知入射波AO与法线的夹角∠1=25°，则∠A^'O^'F的度数为（　　）

A、55° B、50° C、60° D、65°

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17. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若 $∠ 1 = 45 °$ ， $∠ 2 = 116 °$ ，则 $∠ 3 + ∠ 4$ 的大小是（）

A、 $161 °$ B、 $116 °$ C、 $111 °$ D、 $109 °$

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18. 如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端 $A$ 点与时钟最低点 $B$ 之间的竖直距离为3厘米，如图①.3点50分时，分针尖端 $A$ 点与时钟最低点 $B$ 之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时钟的半径为（）

A、10厘米 B、13厘米 C、15厘米 D、 $(10 + 5 \sqrt{3})$ 厘米

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19. 如图，直线 $a ∥ b$ ，直线 $c$ 与直线 $a, b$ 分别相交于点 $A$ 和 $B$ ， $A M ⊥ b$ ，垂足为点 $M$ ，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $70 °$

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20. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线 $A B$ 与地面 $C D$ 所成夹角 $∠ A B C = 50 °$ 时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 $E F$ 与地面的夹角 $∠ E B C =$ （）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $85 °$

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21. 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（）

A、内错角相等，两直线平行 B、同旁内角互补，两直线平行 C、对顶角相等 D、两点确定一条直线

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22. 如图，已知 $A B ∥ E F$ ， $∠ A B D = \frac{1}{3} ∠ A B C$ ， $∠ E F D = \frac{1}{3} ∠ E F C$ ，若 $∠ B C F = 120 °$ ，则 $∠ D$ 的大小为（）

A、 $80 °$ B、 $85 °$ C、 $90 °$ D、 $75 °$

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23. 深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务。图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=45°，当∠MAC为（ )度时， AM∥BE.

A、45 B、60 C、75 D、105

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24. 如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为 $2 3^{\circ} 。$ 一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处。设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF=∠CBE=52°，则∠BCD的度数为（）

A、75° B、76° C、85° D、105°

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25. 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①②的边线是否平行，甲、乙采用了两种不同的方法：甲把纸带①沿 $A B$ 折叠，量得 $∠ 1 = ∠ 2 = 61 °$ ；乙把纸带②沿 $G H$ 折叠，发现 $G D$ 与 $G C$ 重合， $H F$ 与 $H E$ 重合，且点 $C, G, D$ 在同一直线上，点 $E, H, F$ 也在同一直线上．则下列判断正确的是（）

A、纸带①②的边线都平行 B、纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 C、纸带①②的边线都不平行 D、纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行

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二、填空题

26. 已知 $∠ A = 37 ° 1 6^{'}$ ，则 $∠ A$ 的余角的度数为．

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27. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏. 如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜. 若四位投壶者分别站在直线 1 上的点 A， B， C， D 处往点 P 处的壶内投箭矢，小明认为站在点 C 处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是.

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28. 如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东63°方向走到C处，则 $∠ A B C$ 的度数是.

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29. 如图，已知点O 在直线AB上，OC为一条射线，射线 OM 和 ON 分别平分∠AOC 和∠BOC. 若∠CON=68°，则∠AOM 的度数为.

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30. 如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠HCG=45°；③∠ECF与∠GCH互补；∠ACF-∠GCE=45°，则在下列选项中，正确的是．

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31. 如图，平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF 的反向延长线交于主光轴MN上一点 P .若∠ABE=138°， ∠CDF=162°，则∠EPF 的度数是 .

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32. 如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为°.

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三、解答题

33. 如图，已知 $∠ A O B = 50 °$ ，点 $C$ 在边 $O A$ 上．请用尺规作图法，在 $∠ A O B$ 的内部求作一点 $P$ ，使得 $∠ A O P = 25 °$ ，且 $C P ∥ O B$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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34. 如图， $O$ 为直线 $A B$ 上一点， $O D$ 平分 $∠ A O C$ ， $∠ D O E = 90 °$ .
(1)若 $∠ A O C = 50 °$ ，求 $∠ C O E$ 和 $∠ B O E$ 的度数；
(2)猜想： $O E$ 是否平分 $∠ B O C$ ？请直接写出你猜想的结论；
(3)与 $∠ C O D$ 互余的角有：______.

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35. 综合与实践
某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．

(1)、当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？

(2)、请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；

(3)、问长方形的长应为多少？

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36. 如图，码头 $B$ 在码头 $A$ 的正东方向，甲船从码头 $A$ 出发，沿北偏东 $40 °$ 的方向行驶可直达小岛 $C$ .若甲船与乙船分别从码头 $A$ ， $B$ 同时等速出发，均直接驶向小岛 $C$ ，两船可以同时到达.

(1)、在图中，用尺规作图画出小岛 $C$ 的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的基础上，过点 $C$ 作正东方向 $C D$ ，乙船从点 $C$ 出发，沿 $C Q$ 行驶且始终保持到 $C D$ ， $C B$ 两边的距离相等，请用尺规法作出航向 $C Q$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(3)、以 $B C$ 为直径的半圆在 $B C$ 的右侧，若乙船沿 $C Q$ 运动不能到该半圆弧之外，当 $B C = 20 k m$ 时，求乙船运动的最远距离 $C P$ 的长（参考数据： $s i n 25 ° = 0.423$ ， $c o s 25 ° = 0.906$ ， $t a n 25 ° = 0.466$ ）.

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37. 如图1，已知 $∠ A O B = 15 0^{\circ},$ ，射线OP从OA位置出发，以每秒 $5^{\circ}$ 的速度按顺时针方向向射线OB旋转：与此同时，射线OQ以每秒1 $1 0^{\circ}$ 的速度，从OB位置出发按逆时针方向向射线OA旋转，到达射线OA后立即以同样的速度按顺时针方向返回，当射线OP与射线OB重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）.

(1)、当1=2时，求. $∠ P O Q$ 的度数.

(2)、当OP与OQ重合时，求t的值.

(3)、如图2，在旋转过程中，若射线OC始终平分. $∠ A O Q,$ 问：是否存在t的值，使得 $∠ P O Q - ∠ C O Q = 1 5^{\circ} ?$ 若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

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38. 阅读材料并回答问题：
数学课上，老师提出了如下问题：
已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD，当
∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数
甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图2，因为点O在直线AB上，
所以∠AOB=180°，
因为∠BOC=40°，
所以∠AOC =
因为∠AOC=2∠AOD，
所以OD平分∠AOC，
所以∠COD= ★ 。
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：

(1)、请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．

(2)、判断乙同学的说法是否正确，若正确，类比甲同学的解答过程，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由，

(3)、将题目中"∠BOC=40°”的条件改成"∠BOC=α”，其余条件不变，当在90°到180°之间变化
时，如图3所示，为何值时，∠COD=∠BOE成立?请直接写出此时A的值，

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