4月下旬之解直角三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2026-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄 $A D ⊥$ 滚轮连杆 $A B$ ，且 $A D = 20 c m, A B = 160 c m$ ，连杆 $A B$ 与底坐 $B C$ 的夹角为 $60 °$ ，则该椭圆机的机身高度（点 $D$ 到地面的距离）为（）

A、 $80 \sqrt{2} c m$ B、 $80 \sqrt{3} c m$ C、 $(80 \sqrt{2} + 20) c m$ D、 $(80 \sqrt{3} + 10) c m$

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2. 2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿.舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面夹角为θ（60°＜θ＜90°），与上半身AB夹角为120度（即∠ABC=120°）如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为（　　）

A、 $n s i n θ + \frac{m}{2} s i n θ$ B、nsinθ+msin（θ-60°） C、ncosθ+msin（θ+60°） D、nsinθ+mcos（θ-60°）

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3. 如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A 是风车中心，其中一个叶片中AD∥BC，CD⊥AC， AD⊥AB，已知AB长为3cm， $t a n ∠ A C B = \frac{3}{4},$ 则AD的长为( )

A、4 B、5 C、 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{25}{4}$

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4. 如图，手电筒的灯泡 $A$ 距离地面的高度 $A D$ 为 $h$ ，灯泡照亮范围的横截面是 $△ A B C$ ，且 $A B = A C$ ， $∠ B A C = 88 °$ ，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径 $B C$ 为（）

A、 $2 h \cdot t a n 44 °$ B、 $\frac{2 h}{t a n 44 °}$ C、 $2 h \cdot t a n 88 °$ D、 $\frac{2 h}{t a n 88 °}$

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5. 已知某仓储中心有一个斜坡AB，B，C在同一水平地面上，∠B=30°，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形DEFG的正方体货柜，其中 $D E = \frac{9}{5}$ 米，该货柜沿斜坡向下时，若点 D 的最大高度限制(即点 D 离BC所在水平面的高度DH的最大值)为 $3 \sqrt{3}$ 米，则BG的长度应不超过( )米.

A、6 B、 $\frac{32}{5}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{21 \sqrt{3}}{5}$

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6. 如图，△ABC在由大小相同的小正方形组成的8×8的网格中，其顶点均在该网格的格点上.若 $t a n A = \frac{2}{3},$ 则顶点C的位置可以在点( )处.

A、C₁ B、C₂ C、C₃ D、C₄

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = 4, A C = 6$ ，分别以 $A B, A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C G F$ ，连结 $C F, D F$ ，设 $∠ C F D = α$ ，则 $t a n α$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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8. 一辆卡车沿倾斜角为6.32°的斜坡向上行驶，已知sin6.32°≈0.11，当行驶1000m时，高度约上升了( )

A、11m B、89m C、100m D、110m

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9. 某学习小组分到如图1所示农耕地△ABC用于劳动课种植果蔬，已知 $s i n A = \frac{4}{5} .$ 小明(点D)从点A 出发，同时小红(点E)从点B 出发，以相同的速度按逆时针方向沿△ABC的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺(DE)保持笔直.当小明到达点B时，小红刚好到达点C；当小明到达点C时，小红到点A还差m米.在小明从点B到点 C的过程中，设BD为x米，四边形ABDE的面积为y平方米，如图2，y关于x的函数图象与y轴的交点为(0，48)，最低点的纵坐标为n.下列结论正确的是( )

A、m=3 B、n=38 C、△ABC的面积为49平方米 D、当四边形ABDE为梯形时， y=27

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10. 如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB=9，AE=3，则下列结论中：①∠BGF=∠CFB；② $\sqrt{2} D H = B H + F H$ ；③ $B H = \frac{3 \sqrt{10}}{5}$ ；④ $\frac{H M}{A E} = \frac{3}{5}$ .其中结论正确的是（　　）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题

11. 若∠A为锐角，且满足 $s i n^{2} A + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} s i n A$ ，则∠A的度数为.

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12. 如图，在矩形 MNPQ内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ABCD 是原立方体的一个面，点E，F，G是原立方体的顶点，展开后点A，E，F，G均在矩形 MNPQ的边上，若点C， D， Q在同一直线上，则tan∠AEM 的值是.

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13. 图，长尾夹的侧面是△ABC，当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知AB=AC=15mm，∠ACB=70°，则这个长尾夹最大夹纸厚度为mm.（结果精确到1mm）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

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14. 如图，AC，BD为菱形 ABCD 的对角线，将 $△ B O C$ 绕点 O 逆时针旋转至 $△ E O F$ ，使得点 E 在线段 CD 上，若 $\frac{D E}{C E} = k$ ，则 $t a n^{2} ∠ B C O =$ .（用含 k 的代数式表示）

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15. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH， ⑤是正方形EFGH，直角顶点 E， F， G， H分别在边BF， CG， DH， AE上.
⑴若EB =6cm， AE+FC =15cm，则EF的长是cm.
⑵若 $\frac{D G}{G H} = \frac{3}{2},$ 则tan∠DAH的值是.

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三、解答题

16. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点 B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点 B位于景点 D 的南偏西45°方向上.已知AB =600m.

(1)、求∠ACB的度数；

(2)、求景点C与景点 D之间的距离.(结果保留根号)

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17. 如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度.兴趣小组在海拔1080m的A 处，测得气象雷达站顶端 B的仰角为45°，气象雷达站底端C的仰角为36.9°，已知气象雷达站顶端B 点的海拔约为1200m，求气象雷达站 BC的高度.(参考数据： $s i n 36 . 9^{\circ} \approx 0.60, c o s 36 . 9^{\circ} \approx 0.80,$ tan36.9°≈0.75).

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18. 中国高速公路网是全球规模最大的公路网络。某地在修建高速公路时需要避开山体，在B点处规划两处绕行方案（该地高速公路的基础造价为每米4万元)：
方案一：设计37°的拐角，即∠CBF=37°，在C点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即CE∥BF；
方案二：设计14°的拐角，即∠DBF=14°，在 D 点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线BD会经过一片地质复杂区域（即 BD为地质复杂区域)，使每米的造价比基础造价增加25%。已知DE和BF之间的距离为60米。

(1)、求线段BD、BC、CD的长。

(2)、方案一和方案二哪一个造价更便宜?并说明理由。（参考数据： $s i n 3 7^{\circ} \approx 0 . 60, t a n 3 7^{\circ} \approx 0 . 75, s i n 1 4^{\circ} \approx 0 . 24, t a n 1 4^{\circ} \approx 0 . 25)$

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19. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2， $D, A, E$ 三点共线， $E - A - B - C$ 是水管， $A E ⊥$ 台面 $M N . A - D - F$ 是开关，可整体绕点 $A$ 上下旋转，且 $A D ⊥ D F, A E ⊥ A B$ ，连接 $A F, ∠ F A D = 71 °, A E = 14 cm, A D = 4 cm$ ．

(1)、求 $A F$ 的长度（结果保留整数）：

(2)、如图3，当开关开到最大时， $△ A D F$ 旋转到 $△ A D^{'} F^{'}$ 的位置上，旋转角 $∠ F^{'} A F = 41 °$ ，求此时点 $F^{'}$ 到台面 $M N$ 的距离（结果保留整数）．（参考数据： $sin 71 ° \approx 0.95$ ， $cos 71 ° \approx 0.33$ ， $tan 71 ° \approx 2.9$ ， $π$ 取 $3.14, \sqrt{2} \approx 1.4, \sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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20. 如图，某型号订书机的主要部件托板OA与手柄OB的长度相等，均为10.7cm，其中托板分为弹簧OD，长为1.2cm的推动器DE和书钉EA三段，连杆DF的一端通过销子F与手柄相连，另一端D可在OA 段滑动，当托板与手柄的夹角∠AOB张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端D 并随着∠AOB 的增大拉动推动器向销子O方向移动.现测得销子O，F之间的距离为3.5cm，连杆DF=6cm.

(1)、当连杆勾住点D时，若DF⊥OB，求此时书钉的长度(结果精确到0.1cm，参考数据： $\sqrt{48.25} \approx 6.946, \sqrt{23.75} \approx 4.873);$

(2)、已知一条新书钉的长度为3.5cm，当装好一条新书钉且连杆勾住点D时，求cos∠AOB.

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21. 跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”.如图，拉皮筋的两人位置为D、C，跳皮筋孩子脚踩位置为E点，点D、E、C在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度AD=CB=1米.（AD，BC垂直地面）若∠AED=45°， $∠ B E C = 3 0^{\circ} . \sqrt{2} \approx 1.41 \sqrt{3} \approx 1.73,$ 最后结果保留到0.1）

(1)、求拉皮筋的两个孩子之间AB的距离；

(2)、当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了多少米.

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22. 如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米． $(s i n 5 3^{\circ} \approx \frac{4}{5}, c o s 5 3^{\circ} \approx \frac{3}{5}, t a n 5 3^{\circ} \approx \frac{4}{3})$

(1)、求摄像头的安装高度 PH的长；

(2)、一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C₁恰好在 PA上时)的时间．

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23. 如图，半径为6的⊙O中，CD 为直径，弦 $A B ⟂ C D$ 且过半径OD 的中点G，E 为 $\overset{⏜}{B C}$ 上一个动点(不包括端点 B)，CF⊥AE 于点 F.

(1)、求线段 AB 的长和 cos∠AEC 的值.

(2)、当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，求点 F 经过的路径与线段 CG 所围成图形的面积.

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24. 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．

(1)、图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由 $\hat{A B}$ ， $\hat{D C}$ 和矩形ABCD组成，且 $\hat{A B} = \hat{D C}$ ，圆心是倒锁按钮点F ，若 $\hat{C D}$ 的弓形高EG＝2cm ， CD＝8cm ，请求出此时图③中圆心F到AB的距离．

(2)、图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边RP右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达K处，把手绕锁芯O旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边N点处，此时∠NOS＝20°．将ON绕点O顺时针旋转90°得到OQ ，过点Q作QM⊥PR于点M ．若 $\hat{Q N}$ 所在圆的半径ON＝10cm ，请求出此时MN的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）

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25. 如图，在矩形 ABCD 中， AE 平分∠BAD 交射线 BC 于点 E，过点 C 作 CF⊥AE 交射线 AE于点 F，连结 BD 交 AE 于点 G，连结 DF 交射线 BC 于点 H.

(1)、当AB<AD时，
①求证： BE=CD
②猜想∠BDF 的度数，并说明理由.

(2)、若 $\frac{A B}{A D} = k,$ 求tan∠CDF的值(用含k的代数式表示).

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26. 已知菱形ABCD的面积为 $40 \sqrt{6}, c o s ∠ A B C = \frac{1}{5} .$

(1)、如图1，求菱形ABCD的边长.

(2)、如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，BC.点A关于BE的对称点为点A'，BA'交射线AD于点F，
①当点A'落在线段EC上时，求AF的长.
$② \frac{F B}{F C}$ 的最大值为 ▲ .

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27.

(1)、如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若 $D E = 1, B D = \frac{3}{2},$ 求BC的长；
②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(2)、如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S₁ ， △CDE的面积为S₂ ， △BDE的面积为 $S_{3}, S_{1} \cdot S_{3} = \frac{4}{9} S_{2}^{2},$ 求cos∠CBD的值.

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