4月下旬之图形的相似—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2026-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点P、点Q分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点O，位似比是1：2，则P（-2，1）的对应点Q的坐标是（　　）

A、（-2，4） B、（4，-2） C、（-4，2） D、（2，-4）

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2. 已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE 交FG 于点M.若 $S_{△ B F G} = a^{2}, S_{△ D C E} = 4 a^{2}, S_{△ D F M} = 1,$ 其中 $a \geq \sqrt{3},$ 则四边形 AGME 面积的最小值为 ( )

A、 $7 - 3 \sqrt{3}$ B、 $14 - 6 \sqrt{3}$ C、 $6 - 3 \sqrt{3}$ D、 $12 - 6 \sqrt{3}$

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3. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 $A B$ 的宽度为（）

A、 $3 c m$ B、 $2 c m$ C、 $1.5 c m$ D、 $1 c m$

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4. 如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A'的坐标分别为（-1，0）、（-2，0），△ABC的面积是6，则△A'B'C'的面积为（）

A、18 B、12 C、24 D、9

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5. 如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，则边BC的长等于（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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6. 如图，P是△ABC的重心，D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为4，则△ABC的面积为（）

A、8 B、12 C、16 D、24

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，若 $O A : O A^{'} = 1 : 3$ ，四边形 $A B C D$ 的周长是1，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的周长是（）

A、1 B、3 C、9 D、27

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8. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C, A E = \frac{1}{3} A B, D G = \frac{1}{3} D C,$ 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是( )

A、∠EFG的大小 B、四边形EFGH的周长 C、线段FH的长 D、四边形EFGH的面积

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二、填空题

9. 如图，矩形ABCD， A'B'C'D'是以点O 为位似中心的位似图形，已知OA：OA'=5：2， AD=10，则B'C'的长是.

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10. 直线 $l_{1} ‖ l_{2} ‖ l_{3},$ A，B，C分别为直线l₁ ， l₂ ， l₃上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l₂于点D。设直线l₁ ， l₂之间的距离为m，直线l₂ ， l₃之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且 $\frac{m}{n} = \frac{2}{3},$ 则m+n的最大值为

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11. 如图，在菱形ABCD 中，点E在AD上，连结BE，作点A 关于直线BE对称点A'，连结A'E 交BD 于点 F，若点A' 恰为CD 的中点，则△BEF与△ABE 的面积比为.

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12. 古书《墨子·天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为4的正方形ABCD对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB：A'B'=1：2，则A'， C两点之间的距离为．

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13. 如图是跷跷板示意图，支柱 $O M$ 经过 $A B$ 的中点O， $O M$ 与地面 $C D$ 垂直于点M， $O M = 40 c m$ ，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 $c m$ ．

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14. 如图，在正方形ABCD中分割出四个全等三角形与两个正方形，延长AE交GH于点 F，若矩形GEHC的面积为a，△GFE 的面积与△HFE的面积乘积为b² ，则阴影部分的面积之和用含a，b的代数式表示为.

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15. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，AG是BC上的高线，点D是AG上的一点，BD交AC于点F.过点D作DE∥AB交AC于E，联结CD，若CF=2EF，△ABC的面积为2，则△ADF的面积为.

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16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG ， GHIJ的顶点D ， E ， F ， I ， J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令 $\frac{S_{△ D G J}}{S_{△ A D E}}$ =n，当α=60°时，n= ；当n= $\frac{2}{5}$ 时，S_△_ABC= .

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三、解答题

17. 小明在做数学练习时，遇到下面的题目：
如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AB=AC，∠DBA=∠A，BD=BC.若CD=2，△BDC的周长为14，求AB的长.
参考答案：AB=8
小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑.下面是他的分析、探究过程，请你补充完整：
第一步，读题，并顺次标记题目条件如下：在△ABC中，D为AC边上一点，①AB=AC；②∠DBA=∠A；③BD=BC；④CD=2；⑤△BDC的周长为14.
第二步，依据条件③、④、⑤可以求得BD=BC= ▲ ；
第三步，作出△BCD，如图2所示；
第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹）
第五步，对所作图进行观察、测量，发现与标记的条件 ▲ 不符（填序号），去掉这个条件，题目中的其他部分保持不变，即可求得AB长.
请你写出去掉条件后求AB长的具体求解过程.

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18. 某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法：
①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O；
②过O作 $O E_{1} ⊥ A B$ 于点E₁ ，连结CE₁交BD于点 P₁；
③过P₁作 $P_{1} E_{2} ⊥ A B$ 于点E₂ ，连结CE₂交BD于点 P₂；
④过P₂作 $P_{2} E_{3} ⊥ A B$ 于点 E₃ ，连结CE₃交BD于点 P₃；……
则点E₁、E₂、E₃即为线段AB的等分点；

(1)、求证： $B E_{2} = \frac{1}{3} A B;$

(2)、已知AB=3BC，
①求∠ACE₃的正弦值；
②按上述方法继续画图得到点 $E_{n} (n > 2),$ 若 $△ C B E_{n} ∽ △ D C B,$ 则n的值为 ▲ .

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19. 某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体AB⊥BC，幕布EC⊥BC，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点 D处.

(1)、求证： △DEO∽△ABO.

(2)、已知EC=1.6m， DC=1cm， AO=2DO，求物体AB 的高度(即线段AB 的长).

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20. 【问题情境】如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $A B C D$ 的边 $A B = 2$ ， $B C = 5$ ．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．

(1)、【问题提出】如图2．
当 $O C = 3$ 时，点A的坐标为；

(2)、在运动过程中，取 $B C$ 的中点Q，连接 $O Q$ 、 $A Q$ ，求 $O Q$ 和 $A Q$ 的长并直接写出 $O A$ 的最大值；

(3)、【问题探究】
如图3，点P为线段 $A D$ 上一点， $A P = 1$ ．
①在运动过程中， $∠ P O C$ 的大小是否会发生改变，如果不变，请求出这个角的正切值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．

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21.

(1)、如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若 $D E = 1, B D = \frac{3}{2},$ 求BC的长；
②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(2)、如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S₁ ， △CDE的面积为S₂ ， △BDE的面积为 $S_{3}, S_{1} \cdot S_{3} = \frac{4}{9} S_{2}^{2},$ 求cos∠CBD的值.

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