4月下旬之圆—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2026-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，分别以点A、B为圆心，AC、BC的长为半径作弧，与AB交于点D、E.若AB=4，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{7}{3} π - 2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{5}{3} π - 4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{5}{3} π - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{10}{3} π - 2 \sqrt{3}$

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2. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则 $\overset{⌢}{C D E}$ 的长是（　　）

A、3π B、 $\frac{7}{2} π$ C、4π D、5π

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3. 如图， AB是⊙O的直径， CD是⊙O的弦， AB⊥CD，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的切线AM相交于点P，连接AC.若⊙O的半径为6.5， AC =12，则AP的长是( )

A、 $\frac{144}{5}$ B、26 C、 $\frac{156}{5}$ D、24

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4. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作⊙M ，与y轴交于点A和点B ，点P是 $\overset{⌢}{A C}$ 上的一动点，Q是弦AB上的一个动点，延长PQ交⊙M于点E ，运动过程中，始终保持∠AQP=∠APB ，当AP+QB的结果最大时，PE长为（　　）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{6 \sqrt{21}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{21}}{5}$

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二、填空题

5. 如图，已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，AC⊥AO，OC交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点D，且D为OC的中点，过点D作DE⊥OB，交OB于点E，则图中阴影部分的面积是.

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6. 如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD=2DB．C为⊙O上一点，满足AD=AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD．若CF=1，则EF的长为．

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7. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是 $(\frac{1}{2} a, a - \frac{5}{4})$ $,$ 半径为2，函数 $y = \frac{3}{4} x$ 的图象被⊙P 截得的弦AB的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则a= ．

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8. 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD.若∠A=∠D，且AC=3，则AB的长度是.

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，将 $\overset{⌢}{A B}$ 沿着弦 $A B$ 折叠，点 $P$ 是折叠后的 $\overset{⌢}{A B}$ 上一动点，连结 $A P$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，点 $C$ 是 $P Q$ 的中点，连结 $O C$ ．若半径 $r = \sqrt{10}, A B = 6$ ，则 $O C$ 的最小值为．

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10. 如图，以△ABC的顶点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点 D，经过A，B，D三点的⊙O交 AC 于点 E，连接OD，BE交于点 F.若 $O D ∥ A C, \frac{B F}{E F} = \frac{6}{5},$ 则 $\frac{O D}{B D}$ 的值是.

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11. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=5，AC=3.

按照如下尺规作图的步骤进行操作：

①以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交边BC于点D；

②连接AD；

③分别以点C，D为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ CD的长为半径作弧，两弧交于点E，连接AE，交BC于点F；

④连接AO，并延长AO交⊙O于点G，连接BG.

若设AF，AG的长度分别为x，y，则y与x的函数关系式为.

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12. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， OE=BE.点P是劣弧AD上任意一点(不与点A，D重合)，CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点 F，设∠PCD=α.①则∠A= ， (用含α的代数式表示)； ②当∠F=3∠PCD时，则 $\frac{C E}{E F} =$ .

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13. 如图， △ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且. $A B = 6 \sqrt{2},$ 点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，连结CE 并延长交⊙O于点 P，连结 OE，BP。
①BP=；
②若OE=x， CE=y， y与x之间的函数关系为。

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三、解答题

14. 下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
$∵ O B = O C$ ， $B D = C D$ ，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
$∵ O D ⊥ B C$ ，即 $O P ⊥ B C$ .
$∴ \overset{⌢}{B P}$ =（填推理的依据）.
∴∠BAP=.
$∴ A P$ 是 $∠ M A N$ 的角平分线

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15. 如图，点A，B，C在⊙O上， $∠ B A C = 3 0^{\circ},$ 以AB，BC为边作 $▱ A B C D .$

(1)、如图1，当AB经过圆心O时，求 $∠ D$ 的度数.

(2)、如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求 $▱ A B C D$ 与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.

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16. 如图，半径为6的⊙O中，CD 为直径，弦 $A B ⟂ C D$ 且过半径OD 的中点G，E 为 $\overset{⏜}{B C}$ 上一个动点(不包括端点 B)，CF⊥AE 于点 F.

(1)、求线段 AB 的长和 cos∠AEC 的值.

(2)、当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，求点 F 经过的路径与线段 CG 所围成图形的面积.

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17. 如图1，正五边形 $A B C D E$ 内接于⊙ $O$ ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径 $A F$ ；②以F为圆心， $F O$ 为半径作圆弧，与⊙ $O$ 交于点M，N；③连接 $A M, M N, N A$ ．

(1)、求 $∠ A B C$ 的度数．

(2)、 $△ A M N$ 是正三角形吗？请说明理由．

(3)、从点A开始，以 $D N$ 长为半径，在⊙ $O$ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．

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18. 综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦AB与CD交于点 P，则有AP·BP=CP·DP．

(1)、【猜想验证】请证明上述结论．

(2)、【实践应用】如图2，若A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-1.5)，则D的坐标为．

(3)、【综合拓展】如图3，已知二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A、B两点(A在y轴左侧，B在y轴右侧)，与y轴负半轴交于点C．经过A、B、C三点的圆与y轴正半轴交于点 D，求点D的坐标．

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19. 【文化欣赏】π(圆周率)的估算方法贯穿了数学发展史.其中阿基米德使用正九十六边形，利用 $C_{正九十六边形} \approx π d$ (其中C为周长，d为直径)，估算出π的值.
【应用体验】

(1)、如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算π的值.

(2)、如图2，半径为1的圆内切于正八边形，请求这个正八边形的周长并用此值估算π的值.

(3)、实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算π的值．[ $t a n 22 . 5^{\circ} = \sqrt{2} - 1,$ （ $\sqrt{2}$ 取1.41）]

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20. 如图，在▱ABCD中，∠B是锐角， $A B = 6 \sqrt{2}$ ， BC=10.在射线BA上取一点P ，过P作PE⊥BC于点E ，过P ， E ， C三点作⊙O.

(1)、当 $c o s B = \frac{3}{5}$ 时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P ，连结CP ，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D ，求⊙O的半径长.

(2)、如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F ，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B^' ，且B^'恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长.

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21. 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径， $\overset{⌢}{A D}$ 上存在点E，满足 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G.

(1)、若∠DBC=α，请用含α的代数式表示∠AGB.

(2)、如图2，连结CE，CE=BG.求证：EF=DG.

(3)、如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD=2.
①若tan∠ADB= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求△FGD的周长.
②求CG的最小值.

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22. 如图， AB为⊙O直径， C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC， BC，点M为 $\overset{⌢}{A C}$ 中点，连结BM，与AC相交于点 N．

(1)、如图1，连结OM，求证： OM∥BC；

(2)、如图2，连结 ON， AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值；

(3)、如图3，作 MH⊥AB于 H， ∠BMK=∠BAC，与⊙O交于点K(点K在AB下方)， MK与AB交于点E．若 $B C = \sqrt{3}, M H = \sqrt{6},$ 求： ①⊙O的直径； ②EK的长．

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23. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD， BD， CD， BD交⊙O于点E，连接CE.已知AB=AC=AD.

(1)、如图1，求证： ∠ACE=∠ADE.

(2)、如图2，BD经过圆心O， $A B ∥ C D, \frac{A B}{C D} = \frac{3}{2} .$
① 求cos∠BAC的值；
② 若AB =4，求⊙O的半径.

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24. 如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交 CD于点E， F，连结OE，过点O作OG⊥OE交 $\hat{E F}$ 于点 G，过点G作GH⊥CD于点 H，连结GF， GC.

(1)、求证： GH=FH；

(2)、若FH=1， BC=2，求AB的长；

(3)、若CG是⊙O的切线，求证： $F H^{2} = B C \cdot C F .$

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25. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于 $E$ ，过 $C, D, E$ 三点的圆交 $B C$ 于 $F$ ，且 $B E$ 恰好是圆的切线， $G$ 是 $\overset{⌢}{D E}$ 上一点，连接 $E G, F G$ ．

(1)、求 $∠ E G F$ 的度数；

(2)、当 $F G$ 是圆的直径，
①求证：四边形 $B E G F$ 是平行四边形；
②若 $D$ 是 $\overset{⌢}{C G}$ 的中点， $B C = 6$ ，求 $A B$ 的长．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， D 是边AB上一点(不与点A， B 重合)， ⊙O经过点A， C， D.

(1)、如图1，连结OC， OD， CD，若 $∠ D O C = 15 0^{\circ}, C D = C A,$
① 求 $∠ A D O$ 的度数；
② 若又满足tanB=1，OD=2，求AB的长.

(2)、如图2，过点 D 作 $D E ‖ B C,$ 交⊙O于点E，连结OE，若 $∠ A C B = 2 ∠ A E O,$ 求证：DE=AC.

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27. 如图，已知在△ABC中， ∠A=90°， AC=8， AB=6， E为CB边上一点，以EB为直径作圆，

(1)、当圆与AC 相切时，求 EB的长；

(2)、当圆与线段AC有交点时，记其一个交点为D，连接BD、DE，把 △DEC沿DE翻折得△DEN，证明： ∠ADB=∠NDB；

(3)、在(2)的条件下，当N恰好落在圆上时，求BE 的长.

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28. 已知△DBC内接于圆O，作外角∠EDC的角平分线交圆O于点A，连结AB，AC.

(1)、如图1，求证：△ABC为等腰三角形.

(2)、如图2，若CD过圆心O，AB、CD交于点F，DB=5，DF=3，求BC.

(3)、如图3，作直径AH交BC于点G，若BD∥AC，且 $\frac{B C}{B D} = \frac{10}{21}, A B = 4 \sqrt{6},$ 求tan∠ADC。

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