【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 23~24题-在线组卷题库

1. 已知抛物线 $y = x^{2} - a x + 5$ （ $a$ 为常数）经过点 $(1, 0)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、过点 $A (0, t)$ 与 $x$ 轴平行的直线交抛物线于 $B, C$ 两点，且点 $B$ 为线段 $A C$ 的中点，求 $t$ 的值．

(3)、设 $m < 3 < n$ ，抛物线的一段 $y = x^{2} - a x + 5 (m ⩽ x ⩽ n)$ 夹在两条均与 $x$ 轴平行的直线 $l_{1}, l_{2}$ 之
间．若直线 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为 16 ，求 $n - m$ 的最大值．

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2. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ (a，b，c是常数，且a≠0)，a+b+c=2.

(1)、若抛物线过点(-3，2)，求a，b之间的关系.

(2)、在(1)的条件下，判断抛物线与直线y=2的交点个数，并说明理由.

(3)、点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线上，若a>c-2>0，当 $x_{1} > x_{2} > 1$ 时，求证： $y_{1} > y_{2} .$

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3. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x - 5,$ 点 A(1，0)在此抛物线上．

(1)、求b的值；

(2)、若点 $B (5, y_{1}) ， C (m, y_{2})$ 在该抛物线上，且 $y_{1} < y_{2},$ 求m的取值范围；

(3)、将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为 $d_{1}, d_{2},$ 若 $d_{1} - d_{2} = 12,$ 求n的值．

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4. 已知抛物线 $y = - {(x - m)}^{2} + 4, m > 0,$ O为坐标原点， $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 为该抛物线上的两点，且 $x_{1} < x_{2} 。$

(1)、已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。

(2)、记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。

(3)、若对于 $\frac{m}{2} < x_{1} < x_{2} < m,$ 都有 $y_{2} < 4 y_{1},$ 求m的取值范围。

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5. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ （b，c为常数）的图象经过点（2，5），（-1，2）.

(1)、求二次函数的表达式.

(2)、过点A（0，m）作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左边），且满足AC=2AB，求m的值.

(3)、已知M（n-1，2），N（n+4，2），若线段MN与抛物线只有一个交点，求n的取值范围.

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6. 已知抛物线 $y = {(x - m)}^{2} - m^{2} + 5$ （m为常数）、经过点（5，0）。

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、过点A（0，n）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（B在C左侧），且BC=2AB，求n的值；

(3)、设p<3<q，抛物线 $y = {(x - m)}^{2} - m^{2} + 5 (p \leq x \leq q)$ 的一段夹在两条均与x轴平行的直线 $l_{1}, l_{2}$ 之间.若q-p的最大值为6，求直线 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离.

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7. 已知抛物线y=ax²-4ax+12（a为常数，a≠0）.

(1)、求该抛物线的对称轴.

(2)、若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），OB=3OA.
①求a的值；
②设m＜2＜n，抛物线的一段y=ax²-4ax+12（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l₁ ， l₂之间.若直线l₁ ， l₂之间的距离为9，求n-m的最大值.

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + (2 a + 1) x + 2 (a \neq 0$ 且a为常数).

(1)、当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.

(2)、是否存在实数a，使得对于任意实数t，当x取2+t和2-t时，对应的函数值始终相等?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

(3)、当1<x<2时， y>x始终成立，直接写出a的取值范围.

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9. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 $A (- 1, 2)$ 在抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 上．该抛物线与y轴交点的纵坐标为 $- 1$ ， P是该抛物线上一动点，其横坐标为m ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求 $△ O A P$ 的面积；

(3)、当 $- 2 \leq x \leq m$ 时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围；

(4)、设此抛物线在点A与点P之间部分（含点A和点P）的图象为G ，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线l ，当该抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，直接写出m的值．

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x轴交于 $A (- 1, 0) ， B (3, 0)$ 两点，与y轴交于点C，作直线 $B C ， M (m, y_{1}) ， N (m + 2, y_{2})$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 图象上两点．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、试判断是否存在实数 $m$ 使得 $y_{1} + 2 y_{2} = 10$ ．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

(3)、已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作 $P H ⊥ x$ 轴于点H，与线段 $B C$ 交于点 $D ，$ 求 $P D + \frac{\sqrt{2}}{2} D C$ 的最大值．

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11. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 5, A C = 8$ ．

(1)、如图 1，求 $\sin ∠ B A C$ 的值．

(2)、如图 2， $E$ 是 $A D$ 延长线上的一点，连接 $B E$ ，作 $△ F B E$ 与 $△ A B E$ 关于直线 $B E$ 对称， $E F$ 交射线 $A C$ 于点 $P$ ，连接 $B P$ ．
①当 $E F ⊥ A C$ 时，求 $A E$ 的长．
②求 $P A - P B$ 的最小值．

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12. 如图，已知正方形ABCD的对角线相交于 $O$ 点，CE平分 $∠ B C A$ 交BD于点 $E$ ， $D H ⊥ C E$ ，交AC于点 $G$ ，交BC于点 $H$ .

(1)、求 $c o s ∠ B C A$ 的值．

(2)、求证： $△ D O G ∽ △ D C H$ ．

(3)、求证： $\frac{B H}{O E} = 2$ ．

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13. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $C D ⊥ A B$ 于点 $M$ ，连结 $C B$ ，以 $C B$ 为边作菱形 $C B F E$ （点 $F$ 在线段 $A B$ 上，与 $A$ 不重合）， $E F$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连结 $C G$ 并延长，与射线 $B A$ 交于点 $H$ ．

(1)、连结 $G B$ ，求证： $∠ C B G = ∠ H$ ．

(2)、若 $C B = 2 \sqrt{15} ， O M = 1$ ，求 $⊙ O$ 半径 $r$ 的长．

(3)、若 $C H ⊥ E F$ ，求 $\frac{G E}{E F}$ 的值．

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14. 综合与实践
问题情境】
如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $A D$ 上，点 $F$ 在线段 $C D$ 上，且始终满足 $A E = C F$ ．连接 $B E$ ， $B F$ ，将线段 $B E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转一定角度，得到线段 $E G$ （点 $G$ 是点 $B$ 旋转后的对应点），并使点 $G$ 落在线段 $B C$ 上， $E G$ 与 $B F$ 交于点 $H$ ．

(1)、【初步分析】
线段 $E G$ 与 $B F$ 的数量关系为，位置关系为；

(2)、【深入分析】
如图②，再将线段 $E G$ 绕点 $E$ 逆时针旋转90°，得到线段 $E M$ （点 $M$ 是点 $G$ 旋转后的对应点），连接 $F M$ ，请判断四边形 $B E M F$ 的形状，并说明理由：

(3)、如图③，若点 $G$ 落在 $B C$ 的延长线上，且当点 $H$ 恰好为 $E G$ 的中点时，设 $C D$ 与 $E G$ 交于点 $N$ ， $A D = 3$ ，求 $C G$ 的长．

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15. 如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H，与AE，CD 分别相交于点G，M，连接HC.

(1)、求证：AG=GH.

(2)、若AB=3，BE=1，求点 D 到直线BH 的距离.

(3)、当点E 在BC 边上(端点除外)运动时，∠BHC 的大小是否变化?为什么?

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16. 如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD内部，点A的对应点为点G ，折痕为BE ，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF.

(1)、求∠EBF的度数.

(2)、将图1折叠所得的图形重新展开并铺平.如图2，连结EF ，作FP垂直BE于点P ，连结AP.
①求证： $D F = \sqrt{2} A P$ ；
②记 $\frac{A E}{B E} = x$ ， $\frac{D F}{P F} = y$ ，求y关于x的函数表达式.

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 10$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A D$ ， $A B$ 边上，将 $△ A E F$ 沿直线 $E F$ 翻折，得对应 $△ A^{'} E F$ ．

(1)、如图 $1$ ，若点 $E$ 与 $D$ 重合，且 $A D ⊥ A^{'} D$ ， $A^{'} F$ 与 $B C$ 交于点 $G$ ， $A^{'} D$ 与 $B C$ 交于点 $H$ ，求证： $D F = D G$ ；

(2)、如图 $2$ ，若点 $A^{'}$ 刚好落在 $B C$ 的中点处，求 $\frac{E F}{A F}$ 的值；

(3)、如图 $3$ ，若点 $E$ 为 $A D$ 的中点，求 $A^{'} C + \frac{\sqrt{3}}{3} A^{'} B$ 的最小值．

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18. 综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.

(1)、如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为， k的值为；

(2)、如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求 $\frac{B F}{O E}$ 的值；

(3)、类比探究
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上.猜想 $\frac{B F}{O E}$ 的值是否与α有关，并说明理由；

(4)、若（3）中∠ABC=β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）.

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19. 在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为射线 $B C$ （不与 $B$ 点重合）上一动点，连接 $A E$ ，点 $F$ 为 $A E$ 中点，连接 $B F$ ，将 $△ A B F$ 沿 $B F$ 翻折得到 $△ G B F$ ，连接 $G E$ ．

(1)、如图1，连接 $A G$ ， $G E$ 与 $A G$ 的位置关系是_______________； $G E$ 与 $B F$ 的位置关系是_____________；

(2)、如图2，若 $∠ D = 60 °$ ，当点 $E$ 运动到 $B C$ 中点时，求 $\frac{E G}{B F}$ 的值；

(3)、已知 $A B = 6$ ， $∠ D = 60 °$ ，若 $∠ A E G = 60 °$ ，则 $C E$ 的长为_____________．

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20. 已知菱形ABCD的面积为 $40 \sqrt{6}, c o s ∠ A B C = \frac{1}{5} .$

(1)、如图1，求菱形ABCD的边长.

(2)、如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，BC.点A关于BE的对称点为点A'，BA'交射线AD于点F，
①当点A'落在线段EC上时，求AF的长.
$② \frac{F B}{F C}$ 的最大值为 ▲ .

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【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 23~24题

一、原题23

二、变式1基础

三、变式2巩固

四、变式3提高

五、原题24

六、变式1

七、变式2

八、变式3