【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 21~22题-在线组卷题库

1. 【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$
近似计算算术平方根的方法.
例如求 $\sqrt{67}$ 的近似值．
因为 $64 < 67 < 81$ ，
所以 $8 < \sqrt{67} < 9$ ，则 $\sqrt{67}$ 可以设成以下两种形式：
① $\sqrt{67} = 8 + s$ ，其中 $0 < s < 1$ ；
② $\sqrt{67} = 9 - t$ ，其中 $0 < t < 1$ ．
小明以①的形式求 $\sqrt{67}$ 的近似值的过程如图．

(1)、【尝试探究】请用②的形式求 $\sqrt{67}$ 的近似值（结果保留 2 位小数）．

(2)、【比较分析】你认为用哪一种形式得出的 $\sqrt{67}$ 的近似值的精确度更高，请说明理由．

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2. 根据下表回答下列问题：
x
17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
18
x²
289
292.41
295.84
299.29
302.76
306.25
309.76
313.29
316.84
320.41
324

(1)、若 $\sqrt{n}$ 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有个；

(2)、 $\sqrt{29241} =$ ；

(3)、316.84的平方根是；

(4)、若 $\sqrt{325}$ 这个数的整数部分为m，则 $\sqrt{3 m - 5} - {(m - 16)}^{3} =$ ；

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3. 阅读理解：我们知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此. $\sqrt{2}$ 的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，并给出了理由：因为： $1^{2} < 2 < 2^{2},$ 所以 $1 < \sqrt{2} < 2, 则 \sqrt{2}$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{2} - 1$ ，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答：

(1)、 $\sqrt{19}$ 的整数部分是，小数部分是.

(2)、若 $7 - \sqrt{19}$ 的整数部分是x，小数部分是y，求x-y的值.

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4. 跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗?请按照下面的方法试一试：① $∵ \sqrt[3]{1000} = 10, \sqrt[3]{1000000} = 100,$ 又∵1000<59319<1000000，
$∴ 10 < \sqrt[3]{59319} < 100,$ ∴能确定 59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵ $9^{3} = 729,$ ，能确定 59319 的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而 $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{59} < \sqrt[3]{64}, 则 3 < \sqrt[3]{59} < 4,$ 可得 $30 < \sqrt[3]{59319} < 40,$ 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．

(1)、现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是位数；
②它的立方根的个位数字是；
③19683 的立方根是．

(2)、求110592的立方根．(过程可按题目中的步骤写)

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5. 阅读与思考

下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.

X年X月X日星期日

求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法

今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法.

这种方法如下：

若 n=ab(在各组乘积为 n 的正整数中，a，b 两数最接近)，则 $\sqrt{n}$ 的最初近似值为 $\frac{a + b}{2} .$ 若m₁是 $\sqrt{n}$ 的最初近似值，则 $\sqrt{n}$ 的二级近似值 $m_{2} = \frac{m_{1} + \frac{n}{m_{1}}}{2}, \sqrt{n}$ 的三级近似值 $m_{3} = \frac{m_{2} + \frac{n}{m_{2}}}{2} .$

例如： ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6， 4， 6最接近，

$∴ \sqrt{24}$ 的最初近似值为 $\frac{4 + 6}{2} = 5,$

$∴ \sqrt{24}$ 的二级近似值为 $\frac{5 + \frac{24}{5}}{2} = \frac{49}{10},$

$∴ \sqrt{24}$ 的三级近似值为 $\frac{\frac{49}{10} + \frac{24}{\frac{49}{10}}}{2} = \frac{4801}{980}$ ．

任务：

(1)、

\sqrt{15}

的最初近似值是；

(2)、

\sqrt{63}

的二级近似值是；

(3)、若

\sqrt{n}

的最初近似值是

\frac{9}{2},

二级近似值是

\frac{17}{4},

求n的值.

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6. 阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如： $π$ ， $\sqrt{2}$ 等，而常用的“…”或者“ $\approx$ ”的表示方法都不够百分百准确．
材料一： $∵ \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3$ ， $∴ 1 < \sqrt{7} - 1 < 2$ ．
$∴ \sqrt{7} - 1$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{7} - 2$ ．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是 $\sqrt{2}$ ，易知 $\sqrt{2} > 1$ ，因此可设 $\sqrt{2} = 1 + x$ 可画出如图示意图．
1
x
x
$1 \cdot x$
$x^{2}$
1
1
$1 \cdot x$
解：由图中面积计算， $S_{正方形} = x^{2} + 2 \times 1 \cdot x + 1$ ，
$∵ S_{正方形} = 2$ ， $∴ x^{2} + 2 \times 1 \cdot x + 1 = 2$ ．
$∵ x$ 是 $\sqrt{2}$ 的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略 $x^{2}$ ，
$∴$ 得方程 $2 x + 1 = 2$ ，解得 $x = 0.5$ ，即 $\sqrt{2} \approx 1.5$ ．
解决问题：

(1)、利用材料一中的方法，若x是 $\sqrt{13} + 2$ 的小数部分，y是 $\sqrt{13} - 1$ 的整数部分，求 $x + y$ 的值．

(2)、利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究 $\sqrt{5}$ 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

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7. 已知 $1 < \sqrt{2} < 2$ ，则 $\sqrt{2}$ 的整数部分为1；而 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分的差就是 $\sqrt{2}$ 的小数部分，则 $\sqrt{2}$ 的小数部分为 $\sqrt{2} - 1$ ．根据以上的内容，解答下面的问题：

(1)、填空： $\sqrt{23}$ 的整数部分是， $\sqrt{19}$ 的小数部分是．

(2)、若 $\sqrt{34} - 2 = m + n$ ，其中是m为整数，且0＜n＜1，求m﹣n的值．

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8. 小浙、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值.已知 ab=1.
小浙： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ 的值始终等于1.
小江：尽管 $a^{2} + b^{2}$ 的值不能被确定，但能求出最小值.其说理过程如下：
$a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b = {(a - b)}^{2} + 2,$ 由 ${(a - b)}^{2} \geq 0$ 知，当a=b时， $a^{2} + b^{2}$ 存在最小值2，

(1)、试判断小浙的说法是否正确，并说明理由．

(2)、在 ab=1的条件下，下列代数式： $① \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}; ② \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}};$
$③ \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + 4 b^{2}}; ④ \frac{1}{1 + a^{n}} + \frac{1}{1 + b^{n}} (n \geq 3,$ n为整数).
(i)值始终保持不变的代数式有： ▲ (填序号)；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 ▲ .
(ii)上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大(或最小)值；若没有，请说明理由.

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9. 在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由 $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4},$ 可得 $\sqrt{2}$ 的整数部分为1，接下来如何进一步估算 $\sqrt{2} .$ 的值呢?小明同学在查询资料后，发现了一种方法：以 $\sqrt{114}$ 为例，易知 $\sqrt{114}$ 的整数部分为10，且更接近11；则 $114 = 1 0^{2} + 14,114 - 1 0^{2} = 14, (\sqrt{114} + 10) (\sqrt{114} - 10) = 14 : \sqrt{114} = 10 + \frac{14}{\sqrt{114} + 10} \approx 10 + \frac{14}{11 : 10} = 10.67 .$ （实际上， $\sqrt{114} = 10.07707$ ）

(1)、 $\sqrt{79}$ 的整数部分为； $\sqrt{79} =$ （结果保留两位小数）.

(2)、小明在采用这种方法估算 $\sqrt{2}$ 时，得到 $\sqrt{2} = 1 + \frac{1 \dots}{\sqrt{2} + 1} = 1 + \frac{1}{1 + 1} = 1.5,$ 与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于 $\sqrt{2}$ 的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替 $\sqrt{2}$ 会产生较大的误差.请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算 $\sqrt{2}$ 的值（结果保留三位小数）.

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10. 中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$ （即有 $\frac{b}{a}$ ＜x＜ $\frac{d}{c}$ ，其中a，b，c，d为正整数），则 $\frac{b + d}{a + c}$ 是x的更为精确的近似值.例如：已知 $\frac{157}{50} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$ ，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为 $\frac{157 + 22}{50 + 7} = \frac{179}{57}$ ；由于 $\frac{179}{57}$ ≈3.1404＜π，再由 $\frac{179}{57}$ $＜ π ＜ \frac{22}{7}$ ，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数 $\frac{201}{64}$ .

(1)、现已知 $\frac{11}{5} ＜ \sqrt{5} ＜ \frac{12}{5}$ ，
使用一次“调日法”计算 $\sqrt{5}$ 的一个更为精确的近似分数为；
使用二次“调日法”计算 $\sqrt{5}$ 的一个更为精确的近似分数为；
使用三次“调日法”计算 $\sqrt{5}$ 的一个更为精确的近似分数为；

(2)、 $\sqrt{5}$ 的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $O$ 在边 $A B$ 上，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径的半圆，交 $B C$ 于点 $D$ ，与 $A C$ 相切于点 $E$ ，连接 $O D, O E$ ．

(1)、求证： $O D ⊥ O E$ ．

(2)、若 $A B = B C, O B = \sqrt{3}$ ，求四边形 $O D C E$ 的面积．

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中 $A D = 8$ ，以 $B C$ 为直径作半圆O ，切线 $A E$ 的延长线交 $C D$ 于点F ， E为切点，对角线 $B D$ 恰好过E点．

(1)、求证：F为 $C D$ 中点；

(2)、求 $A B$ 的长．

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13. 如图，点C是⊙E外一点， CE的延长线交⊙E于点B，点A在圆上，连结AE，且AB=AC，∠C=30°。

(1)、求证： AC为⊙E切线；

(2)、若AE=1，求BC的长。

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14. 如图，点A，B，C在⊙O上， $∠ B A C = 3 0^{\circ},$ 以AB，BC为边作 $▱ A B C D .$

(1)、如图1，当AB经过圆心O时，求 $∠ D$ 的度数.

(2)、如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求 $▱ A B C D$ 与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，连结AD.

(1)、求证：∠BAD=∠CAD.

(2)、若半圆O的半径为5，AE=6，求BD的长.

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16. 如图，半径为6的⊙O中，CD 为直径，弦 $A B ⟂ C D$ 且过半径OD 的中点G，E 为 $\overset{⏜}{B C}$ 上一个动点(不包括端点 B)，CF⊥AE 于点 F.

(1)、求线段 AB 的长和 cos∠AEC 的值.

(2)、当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，求点 F 经过的路径与线段 CG 所围成图形的面积.

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17. 如图， $⊙ O$ 是以AB为直径的圆，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，CD切 $⊙ O$ 于点 $C, B D ⊥ C D$ 于点 $D$ ，连结BC ．

(1)、求证： $∠ A B C = ∠ C B D$ ．

(2)、若 $A B = 10, B D = \frac{32}{5}$ ．
①求BC的长度．
②如图，点 $P$ 在半径AO上，连结CP并延长交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，且 $\frac{C P}{P Q} = \frac{6}{5}$ ，连结QB ，求证： $Q B = Q C$ ．

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18. 如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB 延长线于点 D，AE 垂直DC 的延长线于点 E，交半圆O于点 F，连结CF.

(1)、求证： ∠BAC=∠ECF.

(2)、若AE=3， DE=4，
①求半圆O的半径；
②若P是AC上一点，连结 PO， PB，求 PO+PB的最小值.

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19. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD， BD， CD， BD交⊙O于点E，连接CE.已知AB=AC=AD.

(1)、如图1，求证： ∠ACE=∠ADE.

(2)、如图2，BD经过圆心O， $A B ∥ C D, \frac{A B}{C D} = \frac{3}{2} .$
① 求cos∠BAC的值；
② 若AB =4，求⊙O的半径.

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20. 已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.

(1)、如图1，求证：∠BAC=∠DAC；

(2)、如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；

(3)、如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且 $A E = \frac{40}{3}$ ， CD=4，求线段CF的长.

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【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 21~22题

一、原题21

二、变式1基础

三、变式2巩固

四、变式3提高

五、原题22

六、变式1

七、变式2

八、变式3

x	17	17.1	17.2	17.3	17.4	17.5	17.6	17.7	17.8	17.9	18
x²	289	292.41	295.84	299.29	302.76	306.25	309.76	313.29	316.84	320.41	324

	1	x
x	$1 \cdot x$	$x^{2}$
1	1	$1 \cdot x$