【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 19~20题

如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 $ABCD$ 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 $E$ 在对角线$BD$ 上．

【数学理解】

小瑞：如图$2\mathrm{．}$以点C为圆心，$AB$长为半径作弧，交$BC$于点E，连结$DE$ ， 则$△ECD≌△ABC$ ．

小安：以点D为圆心，$AC$长为半径作弧，交$BC$于点E，连结$DE$ ， 则$△ECD≌△ABC$$\mathrm{．}$

小瑞：小安，你的作法有问题．

小安：哦…我明白了!

如图1，D是$\angle BAC$平分线上一点，E是$AB$上一点．用直尺和圆规作$\angle ADE=\angle ADF$ ， 其中点F在$AC$上．

小嘉：如图2，以A为圆心，$AE$长为半径作弧，交$AC$于点F，连接$DE\mathrm{，}DF$ ， 则$\angle ADE=\angle ADF$ ．

小兴：以D为圆心，$DE$长为半径作弧，交$AC$于点F，连接$DE\mathrm{，}DF$ ， 则$\angle ADE=\angle ADF$ ．

小嘉：小兴，你的作法有问题．

小兴：哦……我明白了！

【建立模型】

（1）如图（1），$△ABC$为等边三角形，点D在$BC$的延长线上，在$BD$的同侧以$CD$为边构造等边三角形$CDE$ ， 连接$BE$ ， $AD$交于点F．

求证：$BE=AD$ ， 并直接写出$\angle AFB$的度数．

【应用模型】

（2）①如图（2），在$△ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$ ， 且$AD=AC$ ， 点E在$AD$的延长线上，且$AB=AE$ ， 连接$BE$ ， $CE$ ， 求证：$BE=CE$ ．

②如图（3），$△ABC$和$△ADE$都是等腰三角形，$\angle BAC=\angle DAE=90°$ ， 点C恰好在$ED$延长线上，连接$BD$ ， 若$AB=4$ ， $AE=2$ ， 求$△BDC$的面积．

主题：正方形卡纸的裁切与拼接．

素材：大小不等的两张正方形卡纸

步骤$1$：将大正方形卡纸$ABCD$和小正方形卡纸$BEFG$按图（$1$）所示的方式摆放（点$G$在$BC$上），用圆规在$AB$上截取$AH=BE$ ， 连接$DH$ ， $HF$；

步骤$2$：首先沿虚线$DH$ ， $FH$裁切卡纸，然后拼接成一个大正方形．

猜想与证明：

（1）$△DAH$与$△HEF$是否全等？并证明你的猜想．

迁移与应用：

（2）若大正方形卡纸的边长是小正方形的两倍，将大正方形卡纸对折两次并展开后，按图（2）所示的方式摆放（虚线为折痕），请你用无刻度的直尺在图（2）中画出两条裁切线，使裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形．

（1）如图1，点$E$ ， $F$分别在正方形$ABCD$的边$BC$ ， $CD$上，$\angle EAF=45°$ ， 连接$EF$ ， 试猜想$EF$ ， $BE$ ， $DF$之间的数量关系．

梳理解答思路并完成填空．

【数学理解】

（2）如图2，在$△ABC$中，$\angle BAC=90°$ ， $AB=AC$ ， 点$D$ ， $E$均在边$BC$上，且$\angle DAE=45°$ ， 试猜想$BD$ ， $DE$ ， $EC$之间的数量关系，并说明理由．

【拓展探索】

（3）如图3，正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{2}$ ， $\angle EAF=45°$ ， 连接$BD$ ， 分别交$AE$ ， $AF$于点$M$ ， $N$ ． 若$M$恰好为线段$BD$上靠近点$B$的三等分点，求线段$MN$的长．

9.5，9.5，9.0，9.5，9.5，9.5，9.0.

请根据上面的信息，解答下列问题：

八年级50名学生活动成绩统计表

已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分．

请根据以上信息，完成下列问题：

甲组成绩统计表

某校七年级$100$名学生活动成绩统计表

【数据收集】

九年级A班：90，55，70，95，55，80，70，80，65，70；

九年级B班：65，90，75，75，90，60，50，75，85，65.

【数据整理】

【数据分析】

【数据应用】

A，B产品单价变化统计表

【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数）．

【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表．

【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示，

请根据所给信息，解答下列问题：