冀教版数学八（下）第二十一章四边形单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-04-22 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 如图， $∠ A O B = 120 °$ ， $O P$ 平分 $∠ A O B$ ，且 $O P = 1$ ，若点M，N分别在 $O A$ ， $O B$ 上，且△ $△ P M N$ 为等边三角形，则满足上述条件的 $△ P M N$ 有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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2. 如图，已知 $∠ A O B = 120 °$ ，点D是 $∠ A O B$ 的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线 $O A$ 和射线 $O B$ 上，且 $∠ E D F = 60 °$ ．下列结论：① $△ D E F$ 是等边三角形；②四边形 $D E O F$ 的面积是一个定值；③当 $D E ∥ O B$ 时， $D F$ 也平行于 $O A$ ．其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，以 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧交 $A D$ 于点 $F$ ，再分别以 $B$ 、 $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B F$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $G$ ，连接 $A G$ 并延长交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $A B = 12$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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4. 如图，点 $C, D$ 在线段 $A B$ 上，射线 $D P ⊥ A B$ ，连结 $P B$ ，以 $B C, B P$ 为邻边作 $▱$ $C B P E$ ，连结 $A E, C P$ ，记 $A E$ 的长为 $m, C E$ 的长为 $n$ ．若 $A C = 4$ ， $A D = 5$ ， $B D = 3$ ，则在点 $P$ 的运动过程中，下列代数式的值不变的是（）

A、 $m n$ B、 $m - n$ C、 $m^{2} + n^{2}$ D、 $m^{2} - n^{2}$

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5. 在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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6. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $C D$ 上一点， $△ A D E$ 关于 $A E$ 折叠得到 $△ A F E$ ，点 $F$ 落于线段 $B C$ 上； $M$ 为 $A B$ 上一点， $△ B M F$ 关于 $M F$ 折叠得到 $△ N M F$ ，点 $N$ 落于线段 $A F$ 上，连接 $N E$ ．设 $C F = a, C E = b, E F = c, A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $E F M N$ 的面积为 $S_{2}$ ，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（）

A、 $\frac{a S_{1}}{c S_{2}}$ B、 $\frac{b S_{1}}{c S_{2}}$ C、 $\frac{a S_{1}}{(b + c) S_{2}}$ D、 $\frac{b S_{1}}{(a + c) S_{2}}$

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7. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 $A B C D$ ， $A B = 5$ ， $A D = 8$ .然后向左扭动框架，得到新的四边形 $B C E F$ （点E在 $B C$ 的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形 $A B C D$ 和四边形 $B C E F$ 对角线的交点，则 $P Q$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 如图，在菱形ABCD中， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = 6 0^{°}$ ， BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论中正确结论的个数是（）
①DE=EF；②四边形DFBE是菱形；③BM=3FM；④ $S_{△ F O M} : S_{矩形 A B C D}$ =1：14.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，正方形ABCD中，点E、H、G、F分别为AB、BC、CD、AD边上的点，点K、M、N为对角线BD上的点，四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，它们的面积分别表示为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，给出下面三个结论：① $S_{1} = S_{2}$ ；② $D F = 2 A F$ ；③ $S_{正方形 A B C D} = \frac{9}{4} S_{1} + 2 S_{2}$ .上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、② B、①③ C、②③ D、①②③

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 上，连接 $A E$ ， $A F$ ， $E F$ ， $∠ E A F = 45 °$ ．若 $∠ B A E = α$ ，则 $∠ F E C$ 一定等于（）

A、 $2 α$ B、 $90 ° - 2 α$ C、 $45 ° - α$ D、 $90 ° - α$

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，延长 $D C$ 到 $G (C G < C D)$ ，连结 $B G$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B G$ ，分别交 $A C$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $H$ ，连结 $E G$ ，则下面哪个图形的面积与 $△ D E G$ 的面积相等（）

A、四边形 $E O B H$ B、 $△ D O C$ C、四边形 $C H F G$ D、 $△ B C G$

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二、填空题（每题3分，共12分）

13. 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，.分别以Rt△ABC的三边为边在AB 的同侧作三个正方形，顶点 H恰为DE的中点，若阴影部分(四边形KNCM)的面积为9，则正方形ABHK的面积为.

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14. 如图，分别以 Rt△ABC的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边三角形ACD、等边三角形 ABE，EF⊥AB 于点 F，连接 DF，当 $\frac{A C}{A B} =$ 时，四边形ADFE 是平行四边形.

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 、 $B E$ ， $M$ 是 $A E$ 的中点，连接 $C M$ 交 $B E$ 于点 $N$ ．若 $B E = 6$ ，则 $B N$ 的长为．

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ 于点E， $A B = A C = B D = \sqrt{10}$ ， M为 $B C$ 的中点，N为线段 $A M$ 上的点，且 $M B = M N$ ，连接 $D N$ ，若四边形 $D N B C$ 为平行四边形，则 $B C$ 的长为．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 已知，正方形ABCD，点E是边BC上任一点（与B，C不重合），连接AE，且F是AE的中点.

(1)、如图1，当AB= 3 $\sqrt{3}$ ， ∠BAE= 30°时，
①连接DF，求DF²的值；
②过F作直线分别交AB，CD于G，H，且使GH=AE，求AG的长：

(2)、如图2，过F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数.

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18. 如图，直线 $A B$ ： $y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{2}$ 与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称． $C D ⊥ x$ 轴与直线 $A B$ 交于点D．

(1)、求点A和点B的坐标；

(2)、点P在直线 $C D$ 上，且 $△ A B P$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ，
①求出点P的坐标；
②点Q为平面内一点，当点P在直线 $A B$ 下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标．

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19. 如图1，两个正方形 $A B C D$ 和 $C E F G$ 共一个直角顶点 $C$ ，连接 $B G$ 、 $D E$ 交于点 $H$ ，连接 $B E$ 、 $D G$ 、 $B D$ 、 $G E$ ．

(1)、当 $A B = 4$ ， $E F = 3$ 时，
①作图：请在图1中分别取 $B D$ 、 $D G$ 、 $B E$ 的中点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ （不要求尺规作图），并直接写出 $M N$ 和 $M P$ 的关系：______；
②若 $B E = 6$ ，求此时 $D G$ 的长；

(2)、当 $B G = 5$ ，求 $D G + B E$ 的最小值．

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20. 如图：在平面直角坐标系中， $A (- 1, 0)$ ， $B (\sqrt{3}, 0)$ ， $C (0, 1)$ ，将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得 $△ D E B$ ．

(1)、求直线 $D E$ 解析式．

(2)、点P是第一象限直线 $D E$ 上一点，当 $S_{△ P B C} = \frac{7 - \sqrt{3}}{2}$ 时，求点P的坐标．

(3)、在（2）的前提下，点N是直线 $D E$ 上的点，点M是x轴上的点，当点B、P、M、N四点构成平行四边形时，请求出点M的横坐标．

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21. 已知，在平面直角坐标系中，正方形 $A O B C$ 的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为 $(a, b)$ ，且a，b满足： $|a - 4| + \sqrt{4 - b} = 0$ ，点D为边 $O A$ 上的一个动点，将 $△ B O D$ 沿 $B D$ 面折，得到 $△ B E D$ ．

(1)、求出a，b的值；

(2)、如图1，若点D为 $A O$ 中点，延长 $D E$ 交 $A C$ 于点F，求 $C F$ 的长；

(3)、如图2，若 $∠ O B D = 30 °$ ，点M为线段 $B D$ 上的动点，求 $2 O M + M B$ 的最小值．

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22. 【问题情境】
定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”．
【数学思考】
如图1，在 $▱ A B C D$ 中，若 $A B = B C = 2 \sqrt{10}$ ， $A C = 4$ ，试判断 $▱ A B C D$ 是否为“倍线平行四边形”，并说明理由．
【深入探究】
如图2， $▱ A B C D$ 为“倍线平行四边形” $(B D > A C)$ ， E是 $B C$ 上的动点，连结 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ．
①若 $E$ 是 $B C$ 的中点， $A C ⊥ A B$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A E$ 的长．
②过点 $A$ 作 $A G ⊥ A E$ 交 $B D$ 于点 $G$ ，若 $O G = O A$ ，求证： $E$ 是 $B C$ 的中点．

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23.

(1)、【基础巩固】如图1，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的线段分别交AD、BC于点E、F，求证：OE=OF.

(2)、【尝试运用】如图2，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点， $E F ∥ A B$ 分别交AD、BC于点E、F，连结OE、OF，试猜想OE、OF的数量关系，并证明你的猜想.

(3)、【拓展提高】如图3，在矩形ABCD中，点M，N是对角线BD的三等分点，过点M作 $E F ∥ A B$ 分别交AD、BC于点E、F，连结EN、FN，已知 $E N = 5$ ， $F N = \sqrt{10}$ ，求线段MF的长.

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24. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，且 $C D ⊥ B E ， C D = 3 ， B E = 5$ ，试求 $B C + D E$ 的值．

(1)、小明发现，过点E作 $E F ∥ D C$ ，交 $B C$ 的延长线于点F ，经过推理得到 $▱ D C F E$ ，再计算就能够使问题得到（1）解决（如图②），并写出推理和计算过程．

(2)、参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知 $▱ A B C D$ 和矩形 $A B E F$ ， $A C$ 与 $D F$ 交于点G ，求 $∠ A G F$ 的度数．

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冀教版数学八（下）第二十一章 四边形 单元测试培优卷

一、选择题（每题3分，共36分）

二、填空题（每题3分，共12分）

三、解答题（共8题，共72分）

冀教版数学八（下）第二十一章四边形单元测试培优卷