【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题2 一次与二次方程

试卷更新日期：2026-04-21 类型：三轮冲刺

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一、中考中的“一次方程”

1. 解方程组： ${\begin{matrix} 4 x - 5 y = 3 \\ 3 x - y = 5 \end{matrix}$

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2. 我国古代《算法统宗》里有这样的记载：“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多六客，一房八客一房空.”后两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房.若设该店有房客x人，客房y间，则下列二元一次方程组正确的是( )

A、 ${\begin{matrix} 7 y + 6 = x \\ 8 (y - 1) = x \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 7 y + 6 = x \\ 8 y - 1 = x \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 7 y - 6 = x \\ 8 y - 1 = x \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 7 y - 6 = x \\ 8 (y - 1) = x \end{matrix}$

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3. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）

A、 ${\begin{cases} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 6 x + 5 y = 16 \\ 6 x + y = 5 y + x \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 6 x + 5 y = 16 \\ 5 x + y = 4 y + x \end{cases}$

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4. 某校九（1）班部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间.如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍.设宿舍有x间，学生有y人，则可列出方程组为（）

A、 ${\begin{matrix} 4 x = y - 2 \\ 6 (x - 1) = y \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 4 x = y - 2 \\ 6 (x + 1) = y \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 4 x = y + 2 \\ 6 (x - 1) = y \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 4 x = y + 2 \\ 6 (x + 1) = y \end{matrix}$

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5. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武 $B O T$ 》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买 $A$ 、 $B$ 两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台 $A$ 型机器人、3台 $B$ 型机器人，共需260万元；若买3台 $A$ 型机器人、2台 $B$ 型机器人，共需360万元．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种型号智能机器人的单价．

(2)、该企业现计划用960万元采购 $A$ 型和 $B$ 型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．

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二、中考中的“一元二次方程”

6. 若 $x = 1$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 的一个根，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、4 C、 $- 4$ D、2

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7. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( )

A、 $x^{2} = 0$ B、 $x^{2} + 1 = 0$ C、 $x^{2} - x = 0$ D、 $x^{2} - 6 x + 9 = 0$

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8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A、 $200 {(1 + x)}^{2} = 242$ B、 $200 {(1 - x)}^{2} = 242$ C、 $200 (1 + 2 x) = 242$ D、 $200 (1 - 2 x) = 242$

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9. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）

A、 $144 {(1 - x)}^{2} = 121$ B、 $144 {(1 + x)}^{3} = 121$ C、 $144 {(1 - 2 x)}^{2} = 121$ D、 $144 (1 + 2 x) = 121$

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10. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步?”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步?”设长为x步，则下列方程正确的是（）

A、x（x-12）=864 B、x（x+12）=864 C、x（12-x）=864 D、2（x+x+12）=864

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11. 若 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} + 5 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $m^{2} n + m n^{2} - 14 =$ ．

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12. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x - c = 0$ 有实数根，则最小整数c =.

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13. 若m 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的较大根，求 $m + \frac{1}{m}$ 的值.

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14. 若a，b 是方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值等于 .

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15. 使得方程 $x^{2} + 3 x + c = 0$ 有实数根的最大的整数 $c =$ ．

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16. 解方程： $3 (x + 4) = (x + 4) (x + 1)$ ．

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17. 在用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 时，小颖的解法如图：
第一步：移项，得 $x^{2} - 2 x = 1$ ．
第二步：配方，得 $x^{2} - 2 x + 2^{2} = 1 + 2^{2}$ ，
即 ${(x - 2)}^{2} = 5$ ．
第三步：两边开平方，得 $x - 2 = \pm \sqrt{5}$ ．
第四步：所以， $x_{1} = 2 + \sqrt{5}, x_{2} = 2 - \sqrt{5}$
请回答：

(1)、小颖的解答过程从第步开始出现错误；

(2)、请给出这道题的正确解答过程．

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18. 解方程：
小江同学：
解一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 3$ 时，小江同学的解法如图所示：

(1)、你认为 $x_{1} = 1$ 是原方程的解吗?请检验(写出检验过程)：

(2)、请选择合适的方法解原方程．

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19. 小李与小王两位同学解方程

2 (x - 2) = (x - 2)^{2}

的过程如下框：

小李：

解：两边同除以 $(x - 2)$ ，得

$2 = x - 2$ ，

则 $x = 4$ 。

小王：

解：移项，得 $2 (x - 2) - (x - 2)^{2} = 0$ ，

提取公因式，得 $(x - 2) (2 - x - 2) = 0$ ．

则 $x - 2 = 0$ 或 $2 - x - 2 = 0$ ，

解得 $x_{1} = 2, x_{2} = 0$ 。

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程。

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20. 已知a、b为整数，方程3x²－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a ， b）．

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21. 利用以下素材解决问题．

	莲藕定价问题
素材 $1$	$2025$ 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达 $2.33$ 米、 $9$ 节 $9$ 孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为 $5$ 元 $/$ 份，当售价为 $25$ 元 $/$ 份时，平均每天可以卖出 $120$ 份．
素材 $2$	经市场调研发现：售价每上涨 $1$ 元 $/$ 份，每天要少卖出 $5$ 份；售价每下降 $1$ 元 $/$ 份，每天可多卖出 $10$ 份．
任务 $1$	若涨价 $2$ 元 $/$ 份，则平均每天的销售量为 ▲ 份；若设降价 $x$ 元 $/$ 份，则平均每天的销售量为 ▲ 份（用含 $x$ 的代数式表示）．
任务 $2$	若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到 $2415$ 元？
任务 $3$	“元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？

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