河北保定市涿州市第二中学2026届高三下学期一模数学试题

试卷更新日期：2026-03-17 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, B = \{1, 2\}, C = \{0, 2\}$ ，则 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 2\}$ D、 $\{0\}$

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2. 已知复数 $z = 3 + a i (a \in R)$ 在复平面内对应的点在第一象限，且 $|z| = 5$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、-4

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3. 下列函数中，定义域和值域相同的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = ln |x|$ D、 $y = tan x$

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4. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，若点 $(- 6, 0)$ 与点F关于直线l对称，则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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5. 下列区间中，函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) + 1$ 单调递增的是（）

A、 $(0, \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2}, π)$ C、 $(π, \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{2}, 2 π)$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 1} - x$ 在区间 $[- k, k]$ 上的值域为 $[m, n]$ ，则 $m + n =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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7. 若双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $Γ$ 的左、右两支分别交于A，B两点，且 $|A B| = |B F_{2}| = 2 |A F_{1}|$ ，则 $Γ$ 的离心率为（）．

A、2 B、3 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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8. 中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（）．

A、408种 B、336种 C、240种 D、120种

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $\cos 2 α + \tan α = 1$ ，则 $\tan α$ 的值可能为（）．

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $- 1$

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10. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + k$ （k为参数），其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（）

A、太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B、太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C、从 $t = 5$ 到 $t = 15$ ，蜥蜴的体温下降了6℃ D、存在太阳落山后的a时刻，使得从 $t = a$ 到 $t = a + 5$ ，蜥蜴的体温下降15℃

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11. 已知半径为 $R_{1} (R_{1} =1)$ 的圆 $M_{1}$ 与射线 $l : y = k x (k > 0, x \geq 0)$ 、 $x$ 轴正半轴均相切，半径为 $R_{n} (R_{n} ＞ R_{n - 1}, n \geq 2)$ 的圆 $M_{n}$ 与射线 $l$ 、 $x$ 轴正半轴均相切，且与圆 $M_{n - 1}$ 外切，则下列结论正确的是（）

A、若 $k = \sqrt{3} ，$ 则 $R_{3} =9$ B、若 $k = \frac{4 \sqrt{2}}{7} ，$ 则点M₁₀的坐标为 $(512 \sqrt{2}, 256)$ C、若 $k = \frac{4 \sqrt{2}}{7} ，$ 则数列 $\{R_{n}\}$ 的前 $n$ 项和小于 $2^{n}$ D、 $\frac{R_{n}}{R_{n - 1}}$ 的取值范围为 $(1,3+2 \sqrt{2})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 6), \vec{b} = (1, x)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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13. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $b = \sqrt{5}, a = \sqrt{2} c, B = \frac{3 π}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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14. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $D$ 是棱 $A C$ 上的点， $P D = B D = C D = 2 A D$ ， $P B ⊥ B C$ ， $P B = 8$ ， $P C = 10$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积是 $12 \sqrt{39}$ ，则 $A C =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱．种植脐橙有较好的经济效益，某地近5年的脐橙产量 $y$ （单位：万吨）如下表：
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份编号 $x$
1
2
3
4
5
脐橙产量 $y$
20
22
24
28
30
已知年份编号 $x$ 和脐橙产量 $y$ 线性相关．

(1)、用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、试预测该地2027年的脐橙产量．
附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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16. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n + 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot a_{n}^{2} + 2^{a_{n}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ 及其最小值．

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17. 如图，在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，下底面圆 $O_{2}$ 的直径 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，点C在圆 $O_{2}$ 上，且 $A C = B C$ ，上底面圆 $O_{1}$ 的半径 $O_{1} P = 1$ ，且平面 $A C P ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明： $P O_{1} ∥ B C$ ．

(2)、若圆台 $O_{1} O_{2}$ 的高为2，求平面 $A P O_{1}$ 与平面 $P B C$ 所成二面角的正弦值．

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a \sin x - 1$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在原点处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增，求a的取值范围；

(3)、当 $0 \leq a \leq 1$ 时，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ．

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19. 平面内一动点 $P$ 到直线 $\sqrt{3} x + 2 y = 0$ 的距离为 $d_{1}$ ，到直线 $\sqrt{3} x - 2 y = 0$ 的距离为 $d_{2}$ ，且 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = \frac{24}{7}$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $Ω$ .

(1)、求 $Ω$ 的方程；

(2)、已知过点 $(1, 0)$ 且斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 与 $Ω$ 交于 $D, E$ 两点，点 $A (- 2, 0)$ ，直线 $A D, A E$ 分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，且 $|M N| = 2 \sqrt{2}$ ，求 $l$ 的方程；

(3)、以点 $B (1, 0)$ 为端点作 $n (n \geq 2)$ 条射线分别与 $Ω$ 交于 $C_{1}, C_{2}, ..., C_{n}$ （射线 $B C_{1}, B C_{2}, ..., B C_{n}$ 按逆时针方向旋转），且 $∠ C_{1} B C_{2} = ∠ C_{2} B C_{3} = ... = ∠ C_{n} B C_{1} = \frac{2 π}{n}$ 求 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{|B C_{i}|}$ .

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年份	2021	2022	2023	2024	2025
年份编号 $x$	1	2	3	4	5
脐橙产量 $y$	20	22	24	28	30