专题3.4 二次函数及其应用—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-19 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若 $y = (a - 1) x^{2} - 2 x + 3$ 是关于x的二次函数，则a的取值范围是( )

A、a≠1 B、a>0 C、a>1 D、a≠0

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2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x - b$ 和二次函数 $y = - a x^{2} - b$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知在同一平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 和反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = \frac{c}{a} x - b$ 的图象所经过的象限是（）

A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、三、四象限 D、第一、二、四象限

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4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y_{1} = a_{1} {(x - h)}^{2} + k$ 与x轴交于点D、点E，过该函数顶点A与x轴平行的直线交抛物线 $y_{2} = a_{2} {(x - h)}^{2}$ 于点B、点C，若 $B C = 2 D E$ ，那么 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 需满足关系（）

A、 $a_{1} = \sqrt{2} a_{2}$ B、 $a_{1} = - \sqrt{2} a_{2}$ C、 $a_{1} = - 2 a_{2}$ D、 $a_{1} = - 4 a_{2}$

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5. 设二次函数y=a（x-6）（x-m）+h（a>0），图象经过（a，1），（2，1）两点，则h的最大值是（）

A、-37 B、17 C、-17 D、37

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6. 我们知道，抛物线y=（x-2）²+4可由抛物线y=（x-1）²+2经过平移得到，那么平移的方法可以是（　　）

A、先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B、先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C、先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D、先向下平移2个单位，再向右平移1个单位

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7. 抛物线 $y = x^{2} + b x$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x - t = 0$ （ $t$ 为实数）在 $- 1 < x < 4$ 的范围内有解，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $t \geq - 1$ B、 $- 1 \leq t < 3$ C、 $- 1 \leq t < 8$ D、 $3 < t < 8$

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8. 如图1，在等腰直角三角形ABC中， P是斜边AB上一点，过点 P分别作 PD⊥AC， PE⊥BC，垂足分别为点 D， E，设PD=x， PD·PE=y.若y关于x的函数图象如图2所示，点(m， t)和(n， t)在函数图象上， m+n=8，则下列选项正确的是( )

A、AB=8 B、当m=1时， t=8 C、点(4，16)在该函数图象上 D、该函数图象的最高点的纵坐标为8

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9. 冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为 $y = a x^{2} + b x + c,$ 平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（）

A、着陆坡的水平宽度OB=18.75米 B、点A的坐标为（0，12） C、 $b = - 20 a - \frac{3}{4}$ D、当CD的最大值为10米时， $a = - \frac{3}{20}$

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二、填空题

10. 若抛物线 $y = x^{2} - 6 m x + 6 m^{2} + 5 m + 3$ 的顶点在直线 $y = x + 2$ 上，则m的值为．

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11. 同一平面直角坐标系中，抛物线 $y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(x - \frac{3}{2})}^{2}$ 与 $y = - {(x + m)}^{2} - {(x + n)}^{2}$ 关于原点成中心对称，则代数式 ${(m + 2)}^{2} + {(n + 2)}^{2}$ 的值为.

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12. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3 ， - 1) ， B (0 ， 2)$ 两点，则关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > k x + m$ 的解集是．

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13. 我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点．例如：函数 $y = x^{2}$ -1的零点为1和-1．若函数 $y = (x + 2) (x + 3) + m$ 的零点是 $α$ 和 $β$ ，则函数 $y = (x$ $- α) (x - β) - m$ 的零点是．

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14. 定义：若存在实数 $m > 0$ ，对于任意的函数值 $y$ ，都满足 $- m \leq y \leq m$ ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 $m$ 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 $1$ ．将函数 $y = - x^{2} + 1 (t - 3 \leq x \leq t ， t > 0)$ 的图象向上平移 $t$ 个单位，得到的函数的边界值 $n$ 满足 $2 \leq n \leq \frac{19}{4}$ 时，则 $t$ 的取值范围是．

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15. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4 cm，最低点 C 在x 轴上，高 CH=1 cm，BD=2cm ，则右轮廓 DFE 所在抛物线的表达式为.

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16. 大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径 $A B = 10 m$ ，最顶端 $C$ 点到保温墙 $A D$ 的水平距离为4m，到地面 $A B$ 的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为m．

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17. 如图1，在 Rt△ABC中， D是斜边AC中点.点E在边AB上，从点A 出发，运动到点B时停止，设AE为x， DE²为y.如图2， y关于x的函数图象与y轴交于点P(0， m)，且经过最低点N(n-4， 9)和M(n， m)两点.下列选项正确的是( )

A、∠A=30° B、m=25 C、n=6 D、BC=3

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三、解答题（一）

18. 在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ (b，c为常数)的对称轴为直线x=2，且过点(0， 1)．

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；

(3)、当自变量x满足t≤x≤5时， y的最大值为m，最小值为n，且m+n=4，求t的值．

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19. 已知抛物线 $y = {(x - m)}^{2} - m^{2} + 5$ （m为常数）、经过点（5，0）。

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、过点A（0，n）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（B在C左侧），且BC=2AB，求n的值；

(3)、设p<3<q，抛物线 $y = {(x - m)}^{2} - m^{2} + 5 (p \leq x \leq q)$ 的一段夹在两条均与x轴平行的直线 $l_{1}, l_{2}$ 之间.若q-p的最大值为6，求直线 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离.

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20. 汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为 $0.6$ 秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ （单位： $m$ ），停车距离为 $S = S_{1} + S_{2}$ ．（参考数据： $1 km / h = \frac{5}{18} m / s$ ）
汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示：
原速度x（ $km / h$ ）
0
20
40
60
80
…
制动距离 $S_{2}$ （ $m$ ）
0
2
8
18
32
…

(1)、将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出 $S_{2}$ 与x的函数关系式；

(2)、当行驶速度为 $60 km / h$ 时，求刹车距离S；

(3)、疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加 $30 m$ 时，求汽车原速度为多少．

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21. 如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax²+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1.

(1)、求m的值及二次函数解析式；

(2)、若直线y＝x+m与二次函数y＝ax²+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；

(3)、根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值.

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22. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1$ (其中a为常数)，

(1)、将二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1$ 化为顶点式，并写出它的最小值．

(2)、设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B(点A 在点B左侧)，与y轴交于点C，当△ABC 的面积为3时，求a的值．

(3)、当a=2时，是否存在实数t，使得t≤x≤t+2时二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1$ 最大值与最小值的差为8?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，抛物线y=ax²+bx+c（abc≠0）与x轴交于点A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0）（0＜x₁＜x₂），与y轴交于点C ，顶点为点D ，直线CD与x轴交于点M ，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段OB中点，则称该抛物线为“X—型”抛物线；若M为线段CD中点，则称该抛物线为“Y—型”抛物线.根据该约定，完成下列各题.

(1)、下列抛物线中是“X—型”抛物线的有：（填序号）；
①y=x²-3x+4；②y=x²-2x-3；③y=x²-4x+3；

(2)、若抛物线y=ax²+bx+c（abc≠0）为“Y—型”抛物线，且直线CD的解析式为y=-2x+c ，求 $\frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1}}$ 的值；

(3)、抛物线G：y=x²+bx+c为“X—型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“Y—型”抛物线，试求出抛物线G的解析式.

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24. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C_{1} : y = x^{2} + b x + c$ 经过原点O、 $A (2, 0)$ ，将该抛物线绕点 $M (m, 0)$ 旋转 $180 °$ 得到抛物线 $C_{2}$ ，两抛物线交于B、C两点，抛物线 $C_{2}$ 与y轴交于点D．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的表达式；

(2)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求 $△ O B C$ 的面积；

(3)、若直线 $y = k x + 2 m (m > 0)$ 与抛物线 $C_{1}$ 交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线 $D E$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $D F$ 的斜率为 $k_{2}$ ，当 $k_{1} + k_{2}$ 为定值时，求m的值．

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于A(-1，0)、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴为 $x = \frac{3}{2},$ 连接AC.点D是x轴上一点，且OD=OC.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图，作直线CD交抛物线于点E.点P是直线CE上方抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交CE于点M.当线段PM长度取得最大值时，在直线PM上有两动点F、G(点F在点G的上方)，当FG=1时，求BF+FG+GE的最小值；

(3)、将该抛物线沿射线CA方向平移 $\sqrt{10}$ 个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，连接KD，点N、Q分别为直线KD下方新抛物线上的两点，当∠KDN=45°时，连接AQ，若线段AQ被直线DN平分，求点Q的坐标.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与x轴交于点 $A (- 2, 0) ， B (4, 0)$ ，与y轴交于点C，点D为 $B C$ 的中点．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、点G是该抛物线对称轴上的动点，若 $G A + G C$ 有最小值，求此时点G的坐标；

(3)、若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求 $△ B D P$ 面积的最大值；

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27. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - 6$ 与直线y=x+m交于B（6，0）和C（0，-6）两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一点.

(1)、求m的值；

(2)、如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N，求PN最大值；

(3)、如图2，连接AP，交BC于点D，若 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A B C}} = \frac{3}{5}$ ，求点P的坐标；

(4)、如图3，将OA绕点O旋转至OA^' ，连接BA^' ， CA^' ，试求出 $C A^{'} + \frac{2}{3} B A^{'}$ 的最小值.

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四、解答题（二）

28. 综合与实践
如图 1，这是太原市某广场音乐喷泉的夜景，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，甚是壮观，令人们心旷神怡！其中主心喷泉的水流轨迹可近似看作抛物线.如图 2，这是以水平地面为 x轴，以安装主喷头的竖直水管为 y轴，建立的平面直角坐标系，中心主喷泉的喷头安装在距水平地面1.25米的点 A处.当水的压力最大时，某一水流抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 B，点B距安装主喷头的水管的水平距离是 0.5米，距水平地面 2米.

(1)、求此水流轨迹的抛物线的函数表达式.

(2)、在离此水流落地点 C1米外的点 D处，以点 O为圆心，OD的长为半径做一个圆形安全围栏，求该圆形安全围栏的周长.（结果保留π)

(3)、在（2）的条件下，为了美观，在高为 0.5米的安全围栏 DE 上的点 E处安装射灯，射灯射出的光线EF 与地面成 $4 5^{\circ}$ 角，直接写出光线 EF与此抛物线水流之间的最小距离.

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29. 定义：对于函数，当自变量 $x = x_{0}$ ，函数值 $y = x_{0}$ 时，则 $x_{0}$ 叫做这个函数的不动点．

(1)、直接写出反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的不动点是______．

(2)、如图，若二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 有两个不动点，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P的坐标为 $(2, 4)$ ．
①求该二次函数的表达式；
②连接 $O P$ ， M是线段 $O P$ 上的动点（点M不与点O，P重合），N是该二次函数图象上的点，在x轴正半轴上是否存在点 $Q (m, 0)$ 满足 $∠ M O Q = ∠ M P N = ∠ N M Q$ ，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．
阅读材料：在平面直角坐标系中，若点E和点F的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ 和 $(x_{2} ， y_{2})$ ，则点E和点F的距离为 $|E F| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ．

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30. 【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ， D为AC上一点， $C D = \sqrt{2}$ ，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿 $C \to B \to A$ 匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.

(1)、初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当 $t = 1$ 时， $S =$ .②S关于t的函数解析式为.

(2)、当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.

(3)、延伸探究：若存在3个时刻 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ $($ $t_{1} < t_{2} < t_{3}$ ）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① $t_{1} + t_{2} =$ ；
②当 $t_{3} = 4 t_{1}$ 时，求正方形DPEF的面积.

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31. 根据以下素材，探索完成任务.

如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案?
素材一	2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式。该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为4Q元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选。
素材二	该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套)与销售单价x（元/套)之间的关系如图所示：
【问题解决】
任务一	确定函数模型	求该品牌马年吉祥物套装的月销售量 y （套)关于销售单价x（元/套)的函数表达式.
任务二	计算定价金额	若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到 6000 元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元?
任务三	拟定最优售价方案	当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大?最大利润是多少元?

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32. 【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约 $80 %$ 的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．

（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在 $△ A O B$ 中， $O A = O B$ ，喷射角 $∠ A O B = 60 °$ ，地面有效保护直径 $A B$ 为 $2 \sqrt{3}$ 米，喷嘴O距离地面的高度 $O C$ 为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形 $O A B C$ ，创新小组以点O为坐标原点，墙面 $O A$ 所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即 $O A = 3$ 米， $A M = 2$ 米，水喷射到墙面D处，且 $O D = 1$ 米．

①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径 $O E$ 为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度 $O C$ 为7米，电动车电池的离地高度为 $0.2$ 米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线 $A B$ 上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．

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33. 综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位）
0
0.6
1
1.7
2
2.5
2.7
3
3.3
4
4.2
发芽率y（%）
35.00
49.28
56.00
62.37
63.00
61.25
59.57
56.00
51.17
35.00
29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：

(1)、观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；

(2)、请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．

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34.

《观景拱桥的设计》
项目背景	某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 $A B C$ ，其横截面如图所示：
任务1	建立模型	⑴在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点 $C (0, 5)$ ， $B (10, 0)$ （长度单位： $m$ ）．求出抛物线的解析式．
任务2	利用模型	⑵在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形 $E F G H$ （ $H$ 、 $G$ 分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面 $E G$ ．已知“脚手架” $E F G H$ 的三边所用钢材长度为 $18.4 m$ （ $E F$ 在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点 $E$ 与拱桥端点 $A$ 的距离．
任务3	分析计算	⑶在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点 $O$ 处 $12$ 米的地面 $M$ 、 $N$ 处安装射灯，射灯射出的光线与地面成 $45 °$ 角，如图 $3$ 所示，光线交汇点 $P$ 在拱桥 $O C$ 的正上方，其中光线 $N P$ 所在的直线解析式为 $y = - x + 12$ ，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）

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35. 综合与实践

背景	为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯。自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一。某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练。如图，小明站在点O处练习发球，他将球从点O正上方的点B处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知排球场的边界点A距点O的水平距离OA=19米，球网EF高度为2.24米， OE=9米。
任务1	已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（OB=1.7米)，求排球运动路径的抛物线解析式。
任务2	判断此时排球能否越过球网?排球是否出界?请说明理由。
任务3	若小明调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为l₁ ，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与l₁形状相同的抛物线l₂ ，且此时排球运行的最大高度为1米。球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐MNPQ，其纵切面为直角梯形，其中 $M Q = \frac{3}{5}$ 米， MN=2米， $N P = \frac{8}{9}$ 米。若排球经过向右反弹后沿l₂的路径落入回收筐MNPQ内（球下落过程中碰到点 P，Q均视为落入框内)，设点M的横坐标为s，请求出s的取值范围。
图示

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36. 综合与实践
【问题背景】
在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果。学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同。
【初步探究】
学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图20-1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点。经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段AB的距离为h（单位： cm)，扩音口宽度AB为2h（单位： cm)。
为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标（m，n)，利用抛物线表达式 $y = a {(x - m)}^{2} + n$ （其中a， m， n为常数， a>0)对a值进行了探究与求解。

(1)、第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm，以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图20-2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为；

(2)、【建立模型】
第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系。请你求出a和h的数量关系，帮小组验证这个猜想；

(3)、【应用模型】
第一小组建立平面直角坐标系后，发现点A 的坐标为（0，8)，h>4，且当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值。

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37. 【项目式学习】
项目主题：设计落地窗的遮阳篷.
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.
方案 1：直角形遮阳篷
如图，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷BCD，点C在AB 的延长线上，CD⊥AC.

(1)、若BC=0.5m，CD=1m，则支撑杆BD=m.

(2)、小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β.小明查阅资料，计算出 $t a n α = \frac{1}{3} ， t a n β = \frac{4}{3} ，$ 为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与 BD 平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与AD平行)，请求出图②中BC，CD的长度.

(3)、方案2：抛物线形遮阳篷
如图，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将CD 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷(F 为抛物线的顶点，DF段可伸缩)，且∠CFD=90°，BC，CD的长保持不变.若以C为原点，CD方向为x轴，BC方向为y轴.
①求该二次函数的表达式；
②若某时刻太阳光与水平地面的夹角θ的正切值 $t a n θ = \frac{2}{3} ，$ 为使阳光最大限度地射入室内，求遮阳篷点 D上升高度的最小值(即点 D'到CD 的距离).

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38. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 经过点 $(- 1, 3)$ ，且与一次函数 $y = x$ 的图象交于点A和点 $B (3, 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、某学习小组发现，将抛物线在直线 $A B$ 上方的部分沿 $A B$ 翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形 $A M N K$ 的边 $M N$ 与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C ▲ （填坐标），边 $N K$ 与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线 $y = x$ 对称；请你帮小聪计算出矩形 $A M N K$ 的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形 $E F G H$ 的边 $E H$ 过点A，边 $E F$ 与心形图的左边缘相切，边 $G H$ 与心形图的右边缘相切，边 $F G$ 与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形 $E F G H$ 的面积为 ▲ ；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．

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原速度x（ $km / h$ ）	0	20	40	60	80	…
制动距离 $S_{2}$ （ $m$ ）	0	2	8	18	32	…

生长素浓度x（标准单位）	0	0.6	1	1.7	2	2.5	2.7	3	3.3	4	4.2
发芽率y（%）	35.00	49.28	56.00	62.37	63.00	61.25	59.57	56.00	51.17	35.00	29.12