河北张家口市部分学校2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2026-03-20 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $z = - 1 + i$ ，则 $\frac{1}{z + 1} =$ （）

A、 $- i$ B、i C、-1 D、1

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2. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知 $A = \{x |x^{2} \leq 10\}$ ， $B = \{x |x = 2 k - 1, k \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 3, - 1, 1, 3\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{- 1, 1, 3\}$ D、 $\{- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3\}$

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4. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} + a_{7} + a_{8} = 24$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、88 B、114 C、132 D、144

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5. 已知l是一条直线， $α$ ， $β$ 为两个不同平面，若 $l ⊥ β$ ，则“ $l / / α$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为2的偶函数，当 $2 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = 5 - 2 x$ ，则 $f (- \frac{2027}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 cos x (\sqrt{3} sin x - cos x) + 3$ ，对任意实数 $x_{1} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，存在实数 $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) \leq 2^{m x_{2}^{2} + x_{2}}$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{4}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{8}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{8}, + \infty)$

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8. 设函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{2} + 8, g (x) = sin x, h (x) = a x$ ，若对于任意的 $x \in (0, + \infty), g (x) \leq h (x) \leq f (x)$ 都成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, \frac{17}{2}]$ B、 $[1, 6]$ C、 $[\frac{1}{2}, 6]$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{17}{2}]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 ${(x^{2} - x + 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{18} x^{18}$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 9$ B、 $a_{2} = 45$ C、 $\sum_{i = 1}^{18} a_{i} = 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{9} a_{2 i - 1} = \frac{1 - 3^{9}}{2}$

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10. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点 $A (1, 3)$ ， P为C上的动点，则（）

A、满足 $|P A| = |P F|$ 的点P恰有两个 B、 $|P A| + |P F|$ 的最小值为3 C、 $|P A| - |P F|$ 的最小值为 $- 2$ D、 $|P A| - |P F|$ 的最大值为3

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11. 若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{n} + 1$ ，在数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n + 2$ （ $n \in N^{*}$ ）项中任取两项都是正数的概率记为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{1}{6}$ B、 $P_{2 n - 1} < P_{2 n}$ C、 $P_{2 n} < P_{2 n + 2}$ D、 $P_{2 n - 1} + P_{2 n} < P_{2 n + 1} + P_{2 n + 2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 过点 $A (- 1, \sqrt{3})$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切的直线方程为.

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13. 如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为cm.

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14. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0), O$ 为坐标原点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支相交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $∠ A O B$ 恒为锐角，则 $C$ 的离心率的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

40

女生
30

合计

(1)、请将上面的列联表补充完整；

(2)、并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b cos C - (2 a - c) cos B = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、 $D$ 为边 $A C$ 上一点，且 $A D = 2 D C$ ，若 $B D = 2$ ，求 $2 a + c$ 的最大值.

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17. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A P C$ ， $△ A B C$ 都是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $B P = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ， Q为 $A B$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $P Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，若直线 $l$ 过原点且与曲线 $y = f (x)$ 相切，求 $l$ 的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上恰有2个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
①求 $a$ 的取值范围；
②求证： $x_{1} + x_{2} > 4$ .

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19. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左顶点为 $A (- 3, 0)$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，直线 $l$ 与E交于M，N两点.

(1)、求E的方程；

(2)、若直线l过坐标原点，且在直线 $x - y - 2 \sqrt{6} = 0$ 上存在点P，使得 $△ P M N$ 为等边三角形，求直线l的方程；

(3)、若直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - \frac{2}{9}$ ，求 $|M N|$ 的取值范围.

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$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		40
女生	30
合计