河北黄骅中学等校2026届高三下学期高考模拟卷（一模）数学试题

试卷更新日期：2026-04-04 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z = (1 + 2 i) i$ ，则其共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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2. 已知集合 $A = \{x ||x - 1| < 2\}$ ， $B = Z$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${1, 2}$

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3. $(x - y) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为（）

A、0 B、10 C、 $- 20$ D、20

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4. 某货船执行从 $A$ 港口到 $B$ 港口的航行任务， $B$ 港口在 $A$ 港口的正北方向，已知河水的速度为向东 $2 m / s$ ．若货船在静水中的航速为 $4 m / s$ ，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（）

A、 $2 m / s$ B、 $2 \sqrt{3} m / s$ C、 $4 m / s$ D、 $2 \sqrt{5} m / s$

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，函数 $g (x) = (x - 3) f (x)$ 的图象关于点 $(3, 0)$ 中心对称，若 $g (- 1) = - 4$ ，则 $f (5) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. $P$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - a^{2})}^{2} = 1$ 上的动点， $Q$ 是直线 $y = x - 2$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8} - 1$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8}$

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7. 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图，球 $O$ 的半径 $R = \sqrt{3}$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为球 $O$ 的球面上的四点.若球面三角形 $A B C$ 的三条边长均为 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ ，则此球面三角形一个内角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = (\ln x - m x) (x + \frac{1}{x} - m - 1)$ ，若 $f (x) \leq 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e^{2}}, 1]$ C、 $[1, e]$ D、 $[\frac{1}{e}, 1]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $a (\ln b + 2) = (b + 1) (\ln a + 1)$ ，则（）

A、 $a > b$ B、 $a < b$ C、 $a^{2} > b$ D、 $a^{2} < b$

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10. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{11}{24}$ ， $P (\bar{A} B + A \bar{B}) = \frac{7}{24},$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{8}$ B、 $P (\bar{A} + B) = \frac{5}{6}$ C、 $P (\bar{A} | B) = P (\bar{B} | A)$ D、 $P (A | B) = \frac{8}{11}$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\frac{1 + sin A}{cos A} = \frac{1 + sin B}{cos B}$ ， D为边BC的中点，则（）

A、 $C \in (0, \frac{π}{2})$ B、 $C A = C B$ C、 $A D > \frac{3}{2}$ D、 $∠ C A D$ 最大时， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω \in R)$ 恒有 $f (x) \leq f (2 π)$ ，且 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增，则 $ω =$ ．

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13. 已知集合 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，将 $x_{i}$ 与 $x_{j}$ （其中 $i \in \{1, 2, 3\}$ ， $j \in \{4, 5, 6\}$ ）的乘积 $ x_{i} x_{j}$ 放入如图的 $3 \times 3$ 方格中，则方格中全部数之和的最大值为.
$x_{1} x_{4}$
$x_{1} x_{5}$
$x_{1} x_{6}$
$x_{2} x_{4}$
$x_{2} x_{5}$
$x_{2} x_{6}$
$x_{3} x_{4}$
$x_{3} x_{5}$
$x_{3} x_{6}$

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14. 已知 $A, B$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上两点， $∠ A O B = \frac{π}{4}, F$ 为焦点， $O$ 为坐标原点， $A$ 在第一象限，且点 $A$ 的纵坐标大于点 $B$ 的纵坐标，若 $\frac{|A F| - 1}{|B F| - 1} = \frac{9}{4}$ ，则点 $A$ 的坐标为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，侧面 $P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E为PB中点．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $E A C$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值．

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16. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项之积为 $T_{n}$ ，且 $\frac{1}{a_{n}} = 1 - \frac{3}{T_{n}}$ .

(1)、求证：数列 $\{T_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{6 n + 5}{T_{n} \cdot T_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前2n项和 $S_{2 n}$ .

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17. 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分．现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
$90 \leq x \leq 100$
4
10
$80 \leq x < 90$
3
a
$70 \leq x < 80$
2
b
$60 \leq x < 70$
1
23
$0 \leq x < 60$
0
2

(1)、当a=25时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望 $E (X)$ ；

(2)、从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 $Y_{1}$ ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为 $Y_{2}$ ．若根据表中信息能推断 $Y_{1} \leq Y_{2}$ 恒成立，直接写出a的最小值．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右顶点为 $A$ ，点 $P (a, 0)$ 、 $Q (0, t)$ 分别是 $x$ 轴负半轴、 $y$ 轴正半轴上的动点.

(1)、若 $P$ 是 $Γ$ 的左焦点，且 $|O A| = |P Q|$ ，求 $t$ 的值；

(2)、设 $t = 2 \sqrt{2}$ ， $Γ$ 上存在 $x$ 轴上方一点 $B$ .若 $\tan ∠ A Q B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $B$ 的坐标；

(3)、设 $t = 2$ ，过 $P$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点( $M$ 、 $N$ 两点不重合)，与 $y$ 轴交于 $C$ 且 $C$ 的纵坐标 $y_{c} > 1$ ，记 $M$ 与 $N$ 到直线 $A Q$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ .若存在直线 $l$ ，满足 $d_{1} + d_{2} = 3 \sqrt{2}$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = n x - x^{n}, x \in R$ ，其中 $n \in N^{*}, n \geq 2$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 $y = g (x)$ ，求证：对于任意的正实数 $x$ ，都有 $f (x) \leq g (x)$ ；
（Ⅲ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) =a(a 为实数)$ 有两个正实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $| x_{2} - x_{1} | < \frac{a}{1 - n} + 2$

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$x_{1} x_{4}$	$x_{1} x_{5}$	$x_{1} x_{6}$
$x_{2} x_{4}$	$x_{2} x_{5}$	$x_{2} x_{6}$
$x_{3} x_{4}$	$x_{3} x_{5}$	$x_{3} x_{6}$

科普测试成绩x	科普过程性积分	人数
$90 \leq x \leq 100$	4	10
$80 \leq x < 90$	3	a
$70 \leq x < 80$	2	b
$60 \leq x < 70$	1	23
$0 \leq x < 60$	0	2