2026届广东深圳市桃源居中澳实验学校高三下学期二模热身考试数学试题

试卷更新日期：2026-04-15 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知复数 $z = \frac{1 + i}{2 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $\frac{1}{3} + i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$

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2. 集合 $A = {x | 2^{x} > \frac{1}{2}}, B = {x | |x - 1| > 2}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | x < - 1}$ B、 ${x | x > 3}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 3}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 ， |\vec{b}| = 3 ， |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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4. 过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若 $| P F | = 3$ ， $△ O F P$ 的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（）

A、 $\pm \frac{3}{5}$ B、 $\pm \frac{4}{5}$ C、 $\pm \frac{3}{4}$ D、 $\pm \frac{4}{3}$

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5. 春节期间，某人计划去 $A, B, C, D, E, F$ 六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求 $A$ 在 $B$ 之前， $C$ 与 $D$ 相邻，则不同的游览顺序有（）

A、24 B、60 C、120 D、240

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6. 已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，且此圆锥的内切球体积为 $\frac{4 π}{3}$ ，则圆锥的侧面积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $3 π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $6 π$

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7. 将函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{2}, 0)$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，若 $\forall x_{1} \in [m, + \infty), \exists x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = f^{'} (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $ln (1 + \sqrt{2})$ D、 $ln (2 + \sqrt{2})$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知第一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差为1，第二组样本数据 $3 x_{1} + 2$ ， $3 x_{2} + 2$ ， …， $3 x_{n} + 2$ 的平均数为14，则（）

A、第一组数据的平均数为4 B、第二组数据的方差为3 C、将两组数据合并后数据的平均数是9 D、将两组数据合并后数据的方差是30

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10. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、当 $n > 2$ 时， $a_{n} > n$ C、 $a_{2026} \leq 2^{2025}$ D、 $\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + \dots + \frac{1}{a_{n} + 1} < 1$

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11. 某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线 $C$ ，其方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 |x| - 2 |y| = 0$ ．对于曲线 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、若直线 $y = k x$ 与曲线 $C$ 有唯一公共点，则 $k$ 取值范围为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ B、曲线 $C$ 上存在唯一的点 $P$ ，使得点 $P$ 到点 $(0, 5)$ 与到点 $(0, - 5)$ 的距离之差为4 C、曲线 $C$ 所围成的封闭区域面积等于 $2 π - 4$ D、若曲线 $C$ 上恰好存在4个不同点到直线 $y = x + m$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则实数 $m$ 的取值范围为 $(- 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. $(x - 2 y) {(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为.

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13. $tan 25^{\circ} + tan 50^{\circ} + (2 + \sqrt{3}) tan 25^{\circ} tan 50^{\circ} =$ ．

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆与双曲线的公共左，右焦点， $P$ 为它们的一个公共点，且 $|P O| = |F_{2} O|$ ， O为坐标原点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为椭圆和双曲线的离心率，则 $\frac{2}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c \cos A = a \cos B + b \cos A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $3 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 外接圆的半径为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 如图， $A C$ ， $B D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 下底面圆的两条直径，点 $E$ 是该圆柱上底面圆周上一点， $A E$ 的中点为 $M$ ．

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $B D M$ ；

(2)、 $C F$ 是该圆柱的母线，若四边形 $C D E F$ 是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线 $B M$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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17. 已知函数 $f (x) = (2 x - 1) e^{x}$ ．

(1)、证明：在曲线 $y = f (x)$ 的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 $y = 3 x$ 的斜率相等；

(2)、当 $x ⩾ 1$ 时，不等式 $f (x) ⩾ k x - 2$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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18. 已知抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线 $l$ 的距离为2，点 $D (p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $Γ$ 于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，直线 $A_{1} D$ ， $B_{1} D$ 与直线 $A B$ 分别交于点 $M$ ， $N$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、记 $M$ ， $N$ 的纵坐标分别为 $y_{M}$ ， $y_{N}$ ，当 $\frac{1}{y_{M}} + \frac{1}{y_{N}} = 1$ 时，求直线 $A B$ 的斜率；

(3)、设 $E$ 为 $x$ 轴上一点，记 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别为直线 $M E$ ， $N D$ 的斜率.若 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值，求点 $E$ 的坐标.

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19. 每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为 $0, 1, 2, \dots, 27$ ，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会．

(1)、求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；

(2)、求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；

(3)、记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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