华东师大版数学八（下）第十八章矩形、菱形与正方形单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-04-17 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，矩形 $A B C D$ 纸片， $A D = A N = 10$ ，点P是边 $A D$ 上一点， $A P = 6$ ，矩形纸片沿 $N P$ 折叠，点A落在G处， $N G$ 的延长线交 $C D$ 于点H，则 $N H$ 的长为（）

A、8 B、 $\frac{24}{5}$ C、10 D、 $\frac{34}{3}$

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2. 如图， $E$ ， $F$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上两个动点， $B E = C F$ ．连接 $A E$ ， $B D$ 交于点 $G$ ，连接 $C G$ ， $D F$ 交于点 $M$ ．若正方形的边长为2，则线段 $B M$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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3. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $C D$ 延长线上的一点，且 $C D = D E$ ，连接 $B E$ 分别交 $A C$ ， $A D$ 于点 $F$ ， $G$ ，连接 $O G$ ，有下列结论：① $O G = \frac{1}{2} A B$ ；②与 $△ E G D$ 全等的三角形共有5个；③ $S_{菱形 A B C D} = 8 S_{△ O D G}$ ；④由点 $A$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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4. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E为CD上一点， $△ A D E$ 关于AE折叠得到 $△ A F E$ ，点F落于线段BC上；M为AB上一点， $△ B M F$ 关于MF折叠得到 $△ N M F$ ，点N落于线段AF上，连接NE.设 $C F = a$ ， $C E = b$ ， $E F = c$ ， ABCD的面积为 $S_{1}$ ， EFMN的面积为 $S_{2}$ ，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（）

A、 $\frac{a S_{1}}{c S_{2}}$ B、 $\frac{b s_{1}}{c S_{2}}$ C、 $\frac{a s_{1}}{(b + c) S_{2}}$ D、 $\frac{b s_{1}}{(a + c) S_{2}}$

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5. 如图，菱形 ABCD 中， $∠ A B C = 12 0^{°}$ ，点 E 在 CD 边上，点 F 在菱形 ABCD 外部，且满足 EF ∥AD，CE = EF.连结 AF，CF，取 AF 的中点 G，连结 BG，AC.则下列结论：
① $△ C E F$ 是等边三角形；
② $A G = C G$ ；
③ BG 垂直平分 AC；
④ $2 B G = A D + C E$ .
其中正确的结论有（）.

A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

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6. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 3, A E = 1$ ，点 $F$ 是边AD上的动点，点 $P$ 是线段BD上的动点，若 $E P + F P = 3$ ，则线段EF的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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7. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $B C$ 上，连结 $D E$ 、 $D F$ ，则添加下列条件后，不能判定 $A E = B F$ 的是（）

A、 $B E = C F$ B、 $D E = D F$ C、 $∠ E D F = 60 °$ D、 $∠ D E B = ∠ D F C$

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E 、 F$ 分别为 $B C 、 C D$ 的中点， $A F 、 D E$ 交于点 $P$ ，连接 $B P 、 C P$ ．则下列结论中： $① A F ⊥ D E$ ； $② A D = B P$ ； $③ ∠ B P E = ∠ C D E$ ； $④ P E + P F = \sqrt{2} P C$ ，所有正确的结论是（只需填写序号）____

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $① ② ③$ D、 $① ② ③ ④$

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9. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①AP＝EF且AP⊥EF；②∠PFE＝∠BAP；③△ADP一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为 $4 \sqrt{2}$ ；⑤EF的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ；⑥ PB²＋PD²＝2PA² ．其中正确结论的个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 如图，以 $△ A B C$ 三边向外分别作等边 $△ A C D$ 、 $△ A B E$ 、 $△ B C F$ ，下列结论
① $△ B E F ≌ △ B A C$
②若 $∠ B A C = 130 °$ ，则四边形 $A D F E$ 为平行四边形
③若 $A B = A C$ ，则四边形 $A E F D$ 是菱形
④若四边形 $A E F D$ 是正方形，则 $∠ A B C = 15 °$ ．
⑤若 $A B = 12$ ， $A C = 5$ ， $B C = 13$ ，则四边形 $A E F D$ 的面积是60
其中正确的有（）个

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F，则EM＋AF的最小值为.

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12. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点B，C关于EF对称，点M在EF上，点N在AE上，且点A，M关于BN对称，BM的延长线交AD于点H，CM交BD于点G，则 $\frac{A H}{C G}$ .

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13. 正方形 $A B C D$ 的边长为8，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A D$ 、 $B C$ 上，将四边形 $A B F E$ 沿 $E F$ 折叠，使点 $A$ 落在 $A^{'}$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处， $A^{'} B^{'}$ 交 $B C$ 于 $G$ ．以下结论：①当 $A^{'}$ 为 $C D$ 中点时， $△ A^{'} D E$ 三边之比为 $3 : 4 : 5$ ；②连接 $A A^{'}$ ，则 $A A^{'} = E F$ ；③当 $△ A^{'} D E$ 三边之比为 $3 : 4 : 5$ 时， $A^{'}$ 为 $C D$ 中点；④当 $A^{'}$ 在 $C D$ 上移动时， $△ A^{'} C G$ 周长不变．其中正确的有（写出所有正确结论的序号）．

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14. 如图，在矩形 ABCD 中， $A B = 1$ ，将 ABC 沿对角线 AD 翻折，得到 $△ A B C$ ， CE 交 AD 于点 F，再将 $△ A E F$ 沿 AF 翻折，得到 $△ A G F$ ， GF 交 AC 于点 H，若 AC 平分 $∠ D A G$ ，则 FH 的长为.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{2} A B$ ， $∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ， $D H ⊥ A E$ ，垂足为 $H$ ，连结 $B H$ 并延长交 $D C$ 于点 $F$ ，连结 $D E$ 交 $B F$ 于点 $O$ 下列结论：① $A D = A E$ ② $∠ D E A = ∠ D E C$ ③ $H$ 是 $B F$ 的中点④ $B C - C F = 2 C E$ ；其中正确的是．

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三、解答题（共10题，共102分）

16. 2014年“壮族三月三”被列入国家级非物质文化遗产名录并成为广西法定公众假日，2025年是广西将“壮族三月三”作为法定假日的第12年，在南宁民歌湖举办主题活动，人们身着绚丽的壮锦服饰载歌载舞．其中壮锦披肩十分夺目，上面由一个个彩色丝线绣成的菱形图案组成．小邕的壮锦披肩，图案为菱形．如图，若菱形 $A B C D$ 中已知两条对角线相交于点 $O$ ，其中 $∠ B A D = 60 °$ ，菱形 $A B C D$ 的周长为 $24 cm$ ．

(1)、求对角线 $B D$ 的长；

(2)、小邕制作菱形 $A B C D$ 需要多少平方厘米的布料（裁剪缝边除外）．

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17. 如图，在边长为6的正方形 $A O B C$ 中， $M$ ， $N$ 两点分别为线段 $B C$ ， $A B$ 上的动点，且 $A N = 2 C M$ ，求 $O M + \frac{1}{2} O N$ 的最小值，并写出解答过程.

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18. 如图1，在四边形 ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线 AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB，交AB的延长线于点 E，连结OE.

(1)、求证：四边形ABCD 是菱形；

(2)、若CE=2 $\sqrt{3}$ ， ∠ADC=120°，求四边形ABCD的面积.

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19. 如图①，已知在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，AD⊥BC于点 D，将△ABC沿AD剪开，并分别沿AB，AC 翻折，点 E，F 是点 D 的对应点，得到△ABE和△ACF(与△ABC在同一平面内).延长EB，FC 相交于点G，

(1)、求证：四边形AEGF 是正方形；

(2)、如果(1)中AB≠AC，其他条件不变，如图②，那么四边形 AEGF 是不是正方形?请说明理由；

(3)、在(2)中，若 BD=2，DC=3，求 AD的长.

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20. 尺规作图问题：
如图1，在等腰三角形ABC中， $A B = A C$ ， D，E分别是BC，AB的中点，在AC边上作一点F，使得四边形AEDF为菱形.
甲同学：如图2，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
乙同学：以点D为圆心，DE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
甲同学：你的作法有问题.
乙同学：哦…我明白了！

(1)、证明：甲同学所作的四边形AEDF为菱形；

(2)、请指出乙同学作法中存在的问题.

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21. 如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE ，过点E作EF⊥DE ，交射线BC于点F ．

(1)、求证：EF＝ED；

(2)、若AB＝2， $C E = \sqrt{2}$ ， BF的长度为；

(3)、当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．

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22. 在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O．在线段 $A O$ 上任取一点P（端点除外），连接 $P D 、 P B$ ．点Q在 $B A$ 的延长线上且 $P Q = P D$ ．

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 是正方形．
①求 $∠ D P Q$ 的度数；
②探究 $A Q$ 与 $O P$ 的数量关系并说明理由．

(2)、如图2，若四边形 $A B C D$ 是菱形且 $∠ A B C = 60 °$ ．探究 $A Q$ 与 $C P$ 的数量关系并说明理由．

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23. 如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 5$ ，动点E，F分别在边 $B C ， C D$ 上，连结 $A E ， E F$ ，以 $A E ， E F$ 为边向上作 $▱ A E F G$ ，连结 $G E$ ，

(1)、如图2，点F与D重合时，
①求 $▱ A E F G$ 的面积．
②当 $E G$ 最短时，求 $B E$ 的长．

(2)、如图3，当 $A E ⊥ E F$ 时，连结 $G D$ ，若 $G E = 2 G D$ ，求 $B E$ 的长．

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24. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $B C = 3$ ，动点 $P$ 从 $B$ 出发，以每秒1个单位的速度沿射线 $B C$ 方向移动，作 $△ P A B$ 关于直线 $P A$ 的对称 $△ P A B^{'}$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时．
①如图2．当点 $B^{'}$ 落在 $A C$ 上时，显然 $△ P C B^{'}$ 是直角三角形，求此时 $t$ 的值；
②当点 $B^{'}$ 不落在 $A C$ 上时，请直接写出 $△ P C B^{'}$ 是直角三角形时 $t$ 的值；

(2)、若直线 $P B^{'}$ 与直线 $C D$ 相交于点 $M$ ，且当 $t < 3$ 时， $∠ P A M = 45 °$ ．问：当 $t > 3$ 时， $∠ P A M$ 的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．

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25. 综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC ．打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH ，折痕GH与折痕AC交于点Q ．打开铺平，连接PQ、QD、PD ．

(1)、【探究提炼】
如图1，点P是BC上任意一点，线段QD和线段PQ存在什么关系？并说明理由；

(2)、如图2，连接PH ，当PH恰好垂直于AC时，求线段CQ的长度；

(3)、【类比迁移】
如图3，某广场上有一块边长为40m的菱形草坪ABCD ，其中∠BCD＝60°．现打算在草坪中修建步道AC和MN﹣ND﹣DM ，使得点M在BC上，点N在AC上，且MN＝ND ．
①求∠NMD的度数；
②请问步道MN﹣ND﹣DM所围成的△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．

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