华东师大版数学八（下）第十八章矩形、菱形与正方形单元测试提升卷

试卷更新日期：2026-04-17 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是DO，AO的中点。若AB=4 $\sqrt{3}$ ， BC=4，则△OEF的周长为（ )。

A、6 B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 + 2 \sqrt{3}$

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2. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位： $cm$ ）测量三角形纸片的尺寸，点 $B$ ， $C$ 分别对应刻度尺上的刻度2和8， $D$ 为 $B C$ 的中点，若 $∠ B A C = 90 °$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $3cm$ B、 $4cm$ C、 $4.5 cm$ D、 $5cm$

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3. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $O E ⊥ A B$ ，垂足为E，若 $∠ B C D = 70 °$ ，则 $∠ B O E$ 的大小为（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $35 °$ D、 $55 °$

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4. 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．

北北的作法：

如图1，在 $▱ A B C D$ 中，以点 $A$ 为圆心， $A D$ 为半径作弧交边 $A B$ 于点E ，再以点D为圆心， $A D$ 为半径作弧交边 $D C$ 于点F ，连结 $E F$ ，则得到的四边形 $A E F D$ 是菱形．

仑仑的作法：

如图2，在 $▱ A B C D$ 中，以点D为圆心， $A D$ 为半径作弧交边 $D C$ 于点G ，再以点G为圆心， $A D$ 为半径作弧交边 $A B$ 于点H ，连结 $G H$ ，则得到的四边形 $A H G D$ 是菱形．

下列说法正确的是（）

A、北北和仑仑的作法都正确 B、北北和仑仑的作法都错误 C、北北的作法正确，仑仑的作法错误 D、北北的作法错误，仑仑的作法正确

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5. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中，点M是斜边 $B C$ 的中点，以 $A M$ 为边作正方形 $A M E F$ ．若 $S_{正方形 A M E F} = 4$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、8

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6. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是（）

A、6 B、12 C、15 D、24

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7. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（）

A、13 B、18 C、15 D、16

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8. 如图，已知菱形ABCD的边长为 $\sqrt{7}$ ， $∠ A B C = 8 0^{°}$ ，延长BC至点E，射线CF在 $∠ D C E$ 的内部且满足 $∠ D C F = 5 0^{°}$ ，过点D作 $D G ⊥ C F$ 交CF于点G，过点G作 $G H ⊥ C E$ 交CE于点H. 若 $G H = 1$ ，则线段BD的长为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是两个相同的含 $30 °$ 角的直角三角板，将两个三角板的最长边 $A B$ 和 $D E$ 放在直线l上，使得点 D 与点A 重合，固定三角板 $A B C$ ，从点 A 开始，将三角板 $D E F$ 沿射线 $A B$ 移动，当点 E与点 B 重合时，停止移动．在移动的过程中，四边形 $E F B C$ 的形状依次为平行四边形→①→平行四边形→②→平行四边形，则①，②分别代表（）

A、菱形，矩形 B、矩形，菱形 C、菱形，菱形 D、矩形，矩形

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， E为对角线 $A C$ 上与点A，C不重合的一个动点，过点E作 $E F ⊥ A B$ 于点F， $E G ⊥ B C$ 于点G，连接 $D E$ ， $F G$ ，下列结论： $① D E = F G$ ； $② D E ⊥ F G$ ； $③ ∠ B F G = ∠ A D E$ ； $④ F G$ 的最小值为3，其中正确的结论是（　　）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2 $\sqrt{2}$ ．则CE＝．

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点E，F分别为边 $B C$ ， $A D$ 上的点，连接 $E F$ ， $B D$ 交于点G，若 $D E$ 平分 $∠ C E F$ ， $B G = B E$ ，则 $D F$ 的长为．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，E为 $A B$ 的中点，且 $O E = 2$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长为．

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14. 如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 外侧，作等边三角形 $A D E$ ， $A C$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ，则 $∠ A F E =$ ．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，O是对角线 $A C$ ， $B D$ 的交点，过点O作 $O E ⊥ O F$ 分别交 $A B$ ， $B C$ 于E，F两点， $A E = 6$ ， $C F = 2$ ，则 $△ E O F$ 的面积为．

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三、解答题

17. 数学实验：
对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片 $A B C D$ 对折，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在 $E F$ 上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕 $B M$ ，同时得到线段 $B N$ ．
提出问题：（1）观察所得到的 $∠ A B M$ ， $∠ M B N$ 和 $∠ N B C$ ，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：
如图2，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A B$ 与 $D C$ 重合，得到折痕 $P Q$ ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在 $P Q$ 上的点 $A^{'}$ 处，并使折痕经过点B，得到折痕 $B H$ 、线段 $B A^{'}$ ；
提出问题：（2）已知 $A B = D C = P Q = 10$ ， $A D = B C = 16$ ，求 $A H$ 的长．

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18. 如图所示，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} A C$ ，连接 $C E$ .

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是矩形；

(2)、连接 $B E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ ，若 $A C = 10$ ， $B D = 12$ ，求 $D F$ 的长.

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19. 如图，在正方形 ABCD 中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，AF=AE，连结BE，DE，BF.

(1)、求证：BF=DE；

(2)、当点 E 运动到AC 的中点时(其他条件不变)，四边形 AFBE 是正方形吗?请说明理由.

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线， $A F$ 是 $△ A B C$ 的中线．连接 $D F$ ， $E F$ ．判断四边形 $A D F E$ 形状，并说明理由．

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21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF．连结 BD，EF交于点 O.

(1)、求证：四边形DEBF是平行四边形.

(2)、若BD⊥EF，△CBF的周长是12，求平行四边形ABCD 的周长.

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22. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设正方形CEFG的面积为 $S_{1}$ ，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 $S_{2}$ ，且 $S_{1} = \frac{4}{3} S_{2}$ .

(1)、求线段DE的长.

(2)、若H为BC边上一点， $C H = 5$ ，连接DH，DG，判断 $△ D H G$ 的形状.

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23. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形，

(1)、写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是.

(2)、如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上.

(3)、如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE=AF=CG且∠DGC=∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形.

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24. 【问题提出】
（1）如图①，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点E，连接 $E F$ ，若 $E F = 3$ ，则正方形 $A B C D$ 的边长为________；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形 $A B C D$ 中，点E是边 $C D$ 上一点，且点E不与C、D重合，过点A作 $A E$ 的垂线交 $C B$ 延长线于点F，连接 $E F$ ，试判断 $△ A E F$ 的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形 $A B C D$ 是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边 $C D$ 上，已知． $A D = C D = 120$ 米， $D E = 40$ 米， $B C = 160$ 米， $∠ A D C = ∠ C = 90 °$ ， $A E$ 、 $B E$ 为果园内两条小路，现在 $B E$ 的中点F处修建一个临时库房，沿 $D F$ 修一条运输通道．
①判断 $△ A E B$ 的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度 $D F$ ．

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25. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

(1)、【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，折痕为 $E F$ ，把纸片展平；
第二步：在 $A D$ 上选一点P，沿 $B P$ 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 $P M ， B M$ ，根据以上操作，当点M在 $E F$ 上时， $∠ P B M =$ ___________ $°$ ；

(2)、【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 $A B C D$ 按照（1）中的方式操作，并延长 $P M$ 交 $C D$ 于点Q，连接 $B Q$ ，当点M在 $E F$ 上时，求 $∠ M B Q$ 的度数；

(3)、【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为 $4$ ，改变点P在 $A D$ 上的位置（点P不与点A，D重合），沿 $B P$ 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 $P M ， B M$ ，并延长 $P M$ 交 $C D$ 于点Q，连接 $B Q$ ．当 $Q F = 1 cm$ 时，请求出 $A P$ 的长．

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26. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图 $1$ ，我们把一个四边形 $A B C D$ 的四边中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 依次连接起来得到的四边形 $E F G H$ 是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接 $A C$ ．

结合小敏的思路作答

(1)、若只改变图 $1$ 中四边形 $A B C D$ 的形状 $($ 如图 $2)$ ，则四边形 $E F G H$ 还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：

(2)、如图 $2$ ，在 $(1)$ 的条件下，若连接 $A C$ ， $B D .$ 当 $A C$ 与 $B D$ 满足什么条件时，四边形 $E F G H$ 是矩形，直接写出结论．

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