华东师大版数学七（下）第九章轴对称、平移与旋转单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-04-17 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长 $50$ 米，宽 $25$ 米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为 $1$ 米，小明沿着小路的中间，从入口 $A$ 到出口 $B$ 所走的路线（图中虚线）长为（）

A、 $96$ 米 B、 $98$ 米 C、 $99$ 米 D、 $100$ 米

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2. 2025蛇年春晚的主题LOGO ，源自甲骨文的“巳”字，字形像蛇，还有生长繁衍的意思，象征“巳巳如意，生生不息”．下列四个图形中，能由甲骨文“”字经过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 44 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是 $B A$ 、 $B C$ 边上的点，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 所在直线对折，得到 $△ F D E$ ．若 $∠ A D F = 136 °$ ，则 $∠ C E F$ 的度数为（）

A、 $46 °$ B、 $48 °$ C、 $50 °$ D、 $52 °$

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4. 如图，将 $△ A B C$ 沿 $D E$ 、 $E F$ 翻折，顶点 $A$ ， $B$ 均落在点 $O$ 处，且 $E A$ 与 $E B$ 重合于线段 $E O$ ，若 $∠ C D O + ∠ C F O = 104 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、38 B、39 C、40 D、41

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5. 如图，在长方形ABCD中，∠ADB=20°，现将这一长方形沿AF 折叠，使AB'∥BD，则折痕AF与AB 的夹角∠BAF=( )

A、50° B、55° C、65° D、70°

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6. 小明在数学课堂折纸活动中，将一张长方形纸片 $A B C D$ 沿着 $E F$ 翻折，点A ， D的对应点分别为 $A^{'}$ ， $D^{'}$ ， $A^{'} D^{'}$ 与 $C D$ 交于点G ，再将 $△ E D^{'} G$ 沿着 $C D$ 边翻折，点 $D^{'}$ 的对应点落在长方形 $A B C D$ 的内部点H处，若 $E H$ 平分 $∠ C E F$ ，则 $∠ A^{'} F B$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $40 °$ C、 $42 °$ D、 $44 °$

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7. 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）—（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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8. 已知M，N分别是长方形纸条 $A B C D$ 边 $A B$ ， $C D$ 上两点（ $A M > D N$ ），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F， $E M$ 交 $C D$ 于点P；如图2所示，继续沿 $P M$ 进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $∠ C P M$ 的度数为（）

A、 $74 °$ B、 $72 °$ C、 $70 °$ D、 $68 °$

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9. 如图，点 $E, F$ 分别是长方形ABCD的边 $A D, B C$ 上两点，连结EF ，此时 $∠ E F B > 60$ $^{°}$ .将四边形AEFB沿EF翻折得到四边形 $A_{1} E F B_{1}, A_{1} B_{1}$ 交AD于点 $G$ .继续将四边形 $A_{1} E F B_{1}$ 沿EG翻折，点 $A_{1}$ 翻折到点 $A_{2}$ .设 $∠ E F B = α, ∠ A_{2} E F = β$ ，则 $α$ 与 $β$ 满足的数量关系是（）

A、 $α = \frac{3}{2} β$ B、 $α + \frac{1}{2} β = 90$ ° C、 $2 α + \frac{1}{2} β = 180$ ° D、 $3 α - β = 180$ °

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10. 如图，已知 $F$ ， $G$ 分别是长方形纸片 $A B C D (B C ∥ A D)$ 边 $B C$ 和 $A D$ 上的点，沿 $F G$ 进行第一次折叠， $A ， B$ 的对应点分别为 $A^{'} ， B^{'} ， A^{'} G$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．再沿 $E G$ 进行第二次折叠，点 $C ， D$ 的对应点分别为 $C^{'} ， D^{'}$ ．若 $∠ 2 = 3 ∠ 1$ ，则 $∠ C E G$ 的度数为（）

A、 $(\frac{360}{7}) °$ B、 $(\frac{180}{7}) °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，已知线段AB与直线BC的夹角∠ABC＝75°，点D是直线BC上的一个动点，平移线段AB ，使点B移到点D的位置，得到线段DE ，连接BE ，再将△BDE沿BE折叠，使点D落在F处，若BF平分∠ABE ，则∠BED＝.

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12. 如图，将 $△ A B C$ 纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若 $∠ 1 + ∠ 2 = 228 °$ ，则 $∠ 3 + ∠ 4 =$ ．

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13. 如图，将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使点 $B, C$ 落在点 $B^{'}, C^{'}$ 的位置，再将四边形 $F E B^{'} C^{'}$ 沿 $G E$ 折叠得到四边形 $G E B^{‘ ’} C^{‘ ’}$ ，若 $∠ F E B^{‘'} = 25^{\circ}$ ，则 $∠ G F E =$ 。

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14. 将一张长方形纸片 $A B C D$ 按如图所示方式折叠， $A E$ 、 $A F$ 为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为 $B^{'}$ 、 $D^{'}$ ，若 $∠ B^{'} A D^{'} = 8 °$ ，则 $∠ E A F$ 的度数为．

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15. 如图，将长方形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠（折线 $E F$ 交 $A D$ 于 $E$ ，交 $B C$ 于 $F$ ），点 $C 、 D$ 的对应点分别是 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ ， $E D_{1}$ 交 $B C$ 于 $G$ ，再将四边形 $C_{1} D_{1} G F$ 沿 $F G$ 折叠，点 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ 的对应点分别是 $C_{2}$ 、 $D_{2}$ ， $G D_{2}$ 交 $E F$ 于 $H$ ，给出下列结论：

① $∠ E G D_{2} = ∠ E F G$
② $2 ∠ E F C = ∠ E G C + 180 °$
③若 $∠ F E G = 26 °$ ，则 $∠ E F C_{2} = 102 °$
④ $∠ F H D_{2} = 3 ∠ E F B$
上述正确的结论是．

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16. 如图，已知长方形纸片 $A B C D$ 中，点E、F、G分别在边 $A D 、 A B 、 C D$ 上，将三角形 $A E F$ 沿 $E F$ 翻折，点A落在点 $A_{1}$ 处，将三角形 $D E G$ 沿 $E G$ 翻折，点D落在点 $D_{1}$ 处．有以下四个结论：①若 $∠ A_{1} E D = 2 n °$ ，则 $∠ A E F = (90 - n) °$ ；②若 $∠ F E G = 90 °$ ，则 $A_{1}$ 、 $D_{1}$ 、E三点不一定在同一直线上；③若 $∠ F E G = m ° (m > 90)$ ，则 $∠ A_{1} E D_{1} = (2 m - 180) °$ ；④若 $∠ F E G = m ° (m < 90)$ ，则 $∠ A_{1} E D_{1} = (180 - 2 m) °$ ．其中正确的结论有

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三、解答题（共10题，共102分）

17. 在如图所示 $4 \times 4$ 方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）．

(1)、在图 $1$ 中，将 $△ A B C$ 平移，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使得 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 无重合部分．

(2)、在图 $2$ 中，线段 $A B$ 与 $C D$ 相交，产生 $∠ α$ ，请画一个 $△ A B E$ ，使得 $△ A B E$ 中的一个角等于 $∠ α$ ．

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18. 如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺 $A B C$ 沿着直尺 $P Q$ 平移到三角尺的位置，就可以画出 $A B$ 的平行线．已知 $A C^{'} = 8 c m$ ， $A^{'} C = 2 c m$ ，求直线 $A B$ 平移的距离．

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19. 为测量某一水池两端

A, B

之间的距离，小涵、小宇两位同学分别设计出如下两种方案；

课题	测量水池两端 $A$ 、 $B$ 之间的距离
测量示意图
步骤说明	在平地上取一点 $O$ ，分别连接 $A O, B O$ 并延长到 $D, C$ 两点，使得 $D O = B O$ ， $C O = A O$ ，测量 $C D$ 的距离即可．	在平地上取一点 $O$ ，连接 $A O, B O$ ，在 $A B$ 的延长线上取一点 $C$ ，使得 $∠ C O B = ∠ A O B$ ，测量 $B C$ 的距离即可．

数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题：

(1)、以上两位同学方案可行的是______的方案；

(2)、请你选择可行的方案，并说明它可行的理由；

(3)、请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由．

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20. 如图， $A B / / C D$ ， $C$ 在 $D$ 的右侧， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ， $B E, D E$ 所在直线交于点 $E$ ， $∠ A D C = 80 °$ ．
（1）若 $∠ A B C = 50 °$ ，求 $∠ B E D$ 的度数；
（2）将线段 $B C$ 沿 $D C$ 方向平移，使得点 $B$ 在点 $A$ 的右侧，其他条件不变，若 $∠ A B C = 120 °$ ，求 $∠ B E D$ 的度数．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 的度数之比为 $2 : 1 : 6$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ．在 $△ D E F$ 中， $∠ E = 90 °$ ， $∠ F = 60 °$ ．如图①， $△ D E F$ 的边 $D F$ 在直线 $A B$ 上，将 $△ D E F$ 绕点 $D$ 逆时针方向旋转，记旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ．

(1)、求 $∠ A$ 、 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 的度数；

(2)、在旋转过程中，如图②，当 $D E$ $∥$ $A C$ 时，求 $α$ 的度数；

(3)、如图③，当点 $C$ 在 $△ D E F$ 内部时，边 $D E$ 、 $D F$ 分别交 $B C$ 、 $A C$ 的延长线于 $N$ 、 $M$ 两点．
① $α$ 的取值范围是______；
② $∠ C M D$ 与 $∠ C N D$ 之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系．

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22. 如图1，图2，图3，将一块含 $30 °$ 角的直角三角尺 $△ A B C (∠ A B C = 30 °)$ 放置在锐角三角形 $D E F$ 上，使得该三角板的两条直角边 $A C$ ， $B C$ 恰好分别经过点D，E．

(1)、如图1，若 $A B ∥ D E$ ， $∠ D F E = 60 °$ ， $∠ F E C = 20 °$ ，求 $∠ C D F$ 的度数；

(2)、如图2，改变 $△ D E F$ 的位置，使点C在 $△ D E F$ 外，且在边 $D F$ 的左侧，边 $D F$ 与边 $B C$ 交于点P，求 $∠ C E F - ∠ C D F$ 与 $∠ D F E$ 之间的数量关系；

(3)、如图3，若 $∠ D F E = 60 °$ ， $∠ F E D = 50 °$ ，且边 $A C$ 与边 $D F$ 在同一条直线上，固定三角尺 $A B C$ ，将 $△ D E F$ 绕点D按顺时针方向以每秒 $20 °$ 的速度进行旋转．
①在 $△ D E F$ 绕点D旋转一周的过程中，当边 $E F$ 恰好与边 $A B$ 平行时，求旋转时间；
②若 $△ D E F$ 绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边 $E F$ 和 $△ A B C$ 的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间．

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23. 图1表示一条两岸彼此平行的河，直线l₁、l₂表示河的两岸，且l₁//l₂ ，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），“桥”用线段表示。

(1)、如图1，在河岸C、E两点建两座桥CD、EF ，则CD和EF的大小为CDEF；

(2)、如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短?
亮亮的方法是：作AD⊥l₂交l₁、l₂于C，D两点.，在CD处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短；
木木的方法是：作AD⊥l₂交l₁、l₂于C，D两点，把线段CD平移至BE ，在BE处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短。
你认为谁的方法正确？并说明理由。

(3)、如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由。

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24. 已知，在长方形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ∥ C D$ ，点E在线段 $A D$ 上，点F在线段 $B C$ 上，将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，点D的对应点是M ，点C的对应点是N ．

(1)、如图1，若 $∠ A E M = 36 °$ ，求 $∠ E F B$ 的度数；

(2)、如图2，将四边形 $E M N F$ 沿 $B F$ 继续折叠，点N的对应点为G ，探索 $∠ A E M$ 与 $∠ G H F$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、如图3，P是直线 $M H$ 和线段 $A E$ 的交点，将四边形 $A B H P$ 沿 $P H$ 折叠，点A的对应点是O ，点B的对应点是Q ．请直接写出 $∠ E F G$ 和 $∠ G H Q$ 的数量关系．

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25. 【探究】
图1 图2 图3
（1）如图1，已知直线 $M N ∥ P Q$ ，点A在 $M N$ 上，点C在 $P Q$ 上，点E在两平行线之间，则 $∠ A E C = ∠$ __________ $+ ∠$ __________；
【应用】如图2，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，点A，B在 $l_{1}$ 上，点C，D在 $l_{2}$ 上，连接 $A D$ ， $B C$ ；其中 $A E$ ， $C E$ 分别是 $∠ B A D$ ， $∠ B C D$ 的平分线， $∠ α = 70 °, ∠ β = 34 °$ ．
（2）求 $∠ A E C$ 的度数；
（3）将线段 $A D$ 沿 $C D$ 方向平移，如图3所示，其他条件不变，求 $∠ A E C$ 的度数．

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26. 综合与探究
一张直角三角形纸片 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，其中 $∠ A C B = ∠ A B C = 45 °$ ， D，E分别是 $B C ， A C$ 边上一点．将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 折叠，点C的对应点为点 $C^{'}$ ．

(1)、如图1，若 $C^{'} D ∥ A B$ ，则 $∠ 1 =$ ______°， $∠ 2 =$ ______°．

(2)、如图2，若点 $C^{'}$ 落在直角三角形纸片 $A B C$ 上，请探究 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、如图3，若点 $C^{'}$ 落在直角三角形纸片 $A B C$ 外，（2）中 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的数量关系．

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