人教版八（下）数学第二十二章函数单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-04-16 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 校运动会前夕，甲、乙两位同学在直道 AB 上练习往返跑．甲、乙分别从A，B两端同时出发，匀速跑到另一端点处掉头(掉头时间不计)，他们离A 端的距离s (单位：m)与运动时间 t(单位：s)之间的函数图象(0≤t≤100)如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（）

A、甲的速度为5m/s B、当运动时间为100s时，甲、乙两人相距50m C、甲、乙第5次相遇时，两人所跑路程之和为450m D、甲、乙第8次相遇时，所花的时间为83s

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2. 已知A ， B两地相距1200米，甲和乙两人均从 $A$ 地出发，向 $B$ 地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离 $y$ （米）和甲出发的时间 $x$ （分）之间的关系，现有如下结论：①乙每分钟比甲多走10米；②乙用18分钟追上了甲；③乙比甲早1分钟到达终点 $B$ ；④图中点 $Q$ 的坐标为 $(24, 50)$ ．则下列结论正确的有（）

A、①③ B、①④ C、①③④ D、①②③

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3. 下面三个问题情境中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程 y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.
其中，变量y与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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4. 在一定温度下，某固态物质在

100 g

溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度

S (g)

与温度

T (℃)

之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是(　　)

信息窗

1．溶质质量 $+$ 溶剂质量 $=$ 溶液质量．

2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．

A、当温度为

0 ℃

时，甲物质和乙物质的溶解度都小于

20 g

B、当温度从

0 ℃

升高至

15 ℃

的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大 C、当

T = 30 ℃

时，向

100 g

水中添加

20 g

乙，则乙溶液一定能达到饱和状态 D、甲、乙两种物质的溶解度始终都不一样

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5. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x - 3}} + {(x - 5)}^{- 2}$ 中自变量x的取值范围是（）

A、x≥3且x≠5 B、x＞3且x≠5 C、x＜3且x≠5 D、x≤3且x≠5

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6. （判断函数图象）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽内匀速注水，下列各选项的图象中能大致反映水槽中水的深度 $（ y ）$ 与注水时间 $（ x ）$ 关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知点 $M (6, a - 3)$ ， $N (- 2, a)$ ， $P (2, a)$ 在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 一副三角板（ $△ B C M$ 和 $△ A E G$ ）如图放置，点E在 $B C$ 上滑动， $A E$ 交 $B M$ 于 $D$ ， $E G$ 交 $M C$ 于 $F$ ，且在滑动过程中始终保持 $E F = D E$ ．若 $M B = 4$ ，设 $B E = x$ ， $△ E F C$ 的面积为y ，则y关于x的函数表达式是（　　）

A、 $y = 2 \sqrt{3} x$ B、 $y = 2 \sqrt{3} x + 1$ C、 $y = x (4 \sqrt{3} - x)$ D、 $y = \frac{1}{2} x (4 \sqrt{3} - x)$

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9. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（）

A、客车比出租车晚4h到达目的地 B、客车速度为60km/h，出租车速度为100 km/h C、两车出发后3.75 h相遇 D、两车相遇时，客车距乙地还有225 km

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10. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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二、本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11. 甲、乙两车分别从 $A$ ， $B$ 两地同时相向匀速行驶.当乙车到达 $A$ 地后，继续保持原速向远离 $B$ 的方向行驶，而甲车到达 $B$ 地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达 $C$ 地.设两车行驶的时间为 $x$ （小时），两车之间的距离为 $y$ （千米）， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图中的折线 $D E - E F - F G$ 所示，其中点 $D$ 的坐标为 $(0 ， 300)$ ，点 $E$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，则 $△ E F G$ 的面积为.

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12. 甲、乙两车分别从A，B两地相向匀速行驶，甲车先出发两小时，甲车到达B地后立即调头，并保持原速度与乙车同向行驶，乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地，设两车之间的距离为y（千米），甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的函数图象如图所示，则当甲车重返A地时，乙车距离C地千米.

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13. 一辆小车由静止开始从光滑的斜面上向下滑动，通过观察记录小车滑动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下表：
时间t（s）
1
2
3
4

距离s（m）
2
8
18
32
…
则写出用t表示s的关系式s= ．

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14. 给出定义：如果某函数的图象关于原点对称，且图象过原点，那么我们称该函数为“完美函数”.已知函数y＝ $\frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是“完美函数”，且其图象过点（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{5}$ ），则函数值y的取值范围是.（链接材料：a＋b≥2 $\sqrt{a b}$ ，其中a，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立）

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15. 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45min，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇.已知货车的速度为60km/h，两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100km/h；
②甲、乙两地之间的距离为120km；
③图中点B 的坐标为( $3 \frac{3}{4}$ ， 75)；
④快递车从乙地返回时的速度为90km/h.
以上4个结论中正确的是(填序号).

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三、解答题：：本大题共8小题，共75分.

16. 摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位： $m i n$ ）和一个座舱A距离地面的高度h（单位： $m$ ），部分数据如下：
$t / m i n$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$h / m$ 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：

(1)、通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；

(2)、根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为 $m$ ，转盘的半径约为 $m$ ；
②此摩天轮转一圈所用时间为 $m i n$ ；
③若当座舱A距离地面的高度为 $10 m$ 时，座舱B距离地面的高度是 $50 m$ ，则至少经过 $m i n$ （精确到0.1），这两个座舱的高度相同．

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17. 公司派甲车把货物从A地运往B地，出发几分钟后，公司发现甲车忘带货物清单，于是派乙车去追赶甲车，乙车刚出发2分钟，甲车也发现清单忘在公司，立刻原路返回，几分钟后遇到乙车，乙车把清单交给甲车后，两车同时掉头返回，在行驶6分钟后甲车到达B地，乙车回到A地．已知甲、乙两车距A地的路程y与甲车出发的时间x之间的关系如图所示，整个过程中甲、乙两车速度不变，请结合图象回答下列问题：

(1)、甲的速度为米/分，乙的速度为米/分；

(2)、求a的值；

(3)、求乙车在送清单途中距离甲车5250米时x的值．

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18. 端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：

(1)、这次龙舟赛的全程是米，队先到达终点；

(2)、甲队的速度为m/min，乙与甲相遇时乙的速度m/min；

(3)、乙队出发min，追上甲队；

(4)、在乙队与甲相遇之前，当t为min时，他们何时相距50米．

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19. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C^'O^'D^'E^' ，点C，O，D，E的对应点分别为C^' ， O^' ， D^' ， E^' ．设OO^'＝t，矩形C^'O^'D^'E^'与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C^'O^'D^'E^'与△ABO重叠部分为五边形时，C^'E^' ， E^'D^'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 $\sqrt{3}$ ≤S≤5 $\sqrt{3}$ 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．

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20. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值．
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度 y/cm
18
20
22
24
26
28
①上述反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？②当所挂重物为3kg时，弹簧有多长？不挂重物呢？③若所挂重物为6kg时（在弹簧的允许范围内），你能说出此时弹簧的长度吗？

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21. 目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下的三个气量阶梯：

阶梯	年用气量	销售价格	备注
第一阶梯	0～ 400 m³（含400）的部分	2.67元/m³	若家庭人口超过4人，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100 m³ ，200 m³
第二阶梯	400～ 1200 m³（含1200）的部分	3.15元/m³
第三阶梯	1200 m³以上的部分	3.63元/m³

(1)、一户家庭人口为3人，年用气量为200 m³ ，则该年此户需缴纳燃气费用元．

(2)、一户家庭人口不超过4人，年用气量为c m³（x>1 200），该年此户需缴纳的燃气费用为y元，求y 与x的函数表达式．

(3)、甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气（结果精确到1 m³）？

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22. 问题背景：某农户要建进一个如图 $①$ 所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为 k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．
（1）设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得：水池底面另一边长为          米，可得y与x的函数关系式为：                ．
（2）若底面造价为1千元，则得y与x的函数关系式为                          ．
问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数 $y = x + k$ 的图像可以由正比例函数 $y = x$ 的图像向上（下）平移 $|k|$ 个单位得到：受此启发，给定一个函数： $y = x + \frac{1}{x} + k (x > 0)$ 为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，对 $y = x + \frac{1}{x} + 1 (x > 0)$ 进行如下图象探索：
列表如下
$x$
$\dots$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
1
2
3
4
$\dots$
$y$
$\dots$
$\frac{21}{4}$
$\frac{13}{3}$
$m$
3
$\frac{7}{2}$
$n$
$\frac{21}{4}$
$\dots$
（3）请直接写出m， n的值：
（4）请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
（5）请结合函数的图象，写出当x=             ， y有最小值为            ；
学以致用
根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题：
（6）y与x的函数关系式为                        ．
（7）当水池底边长分别为            米时，水池总造价的最低费用为            千元；
（8）若该农户预算不超过5.5 千元，请直接写出x的值应控制在什么范围?

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23. 阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，所以 $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ，从而 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （当a＝b时取等号）．
阅读2：函数 $y = x + \frac{m}{x}$ （常数m＞0，x＞0），由阅读1结论可知： $x + \frac{m}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{m}{x}}$ $= 2 \sqrt{m}$ ，所以当 $x = \frac{m}{x}$ 即 $x = \sqrt{m}$ 时，函数 $y = x + \frac{m}{x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{m}$ ．
阅读理解上述内容，解答下列问题：

(1)、问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为 $\frac{4}{x}$ ，周长为 $2 (x + \frac{4}{x})$ ，求当x＝时，周长的最小值为．

(2)、问题2：已知函数y₁＝x＋1（x＞－1）与函数y₂＝x²＋2x＋17（x＞－1），当x＝时， $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 的最小值为．

(3)、问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）

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$t / m i n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$h / m$	30.00	15.36	10.00	15.36	30.00	50.00	70.00	84.64	90.00	84.64	70.00

$x$	$\dots$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{21}{4}$	$\frac{13}{3}$	$m$	3	$\frac{7}{2}$	$n$	$\frac{21}{4}$	$\dots$

时间t（s）	1	2	3	4
距离s（m）	2	8	18	32	…

所挂物体质量x/kg	0	1	2	3	4	5
弹簧长度 y/cm	18	20	22	24	26	28

人教版八（下）数学第二十二章 函数单元测试培优卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、本大题共5小题，每小题3分，共15分.

三、解答题：：本大题共8小题，共75分.

人教版八（下）数学第二十二章函数单元测试培优卷