河北邯郸市2026届高三第一次模拟检测数学试卷

试卷更新日期：2026-03-26 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x |x^{2} + 3 x - 7 < 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 1, 1, 2\}$

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2. 已知复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $\frac{z}{\bar{z}} = i$ ，则 $z$ 可能为（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - i$

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3. “曲线 $y = a ln x - \frac{2 x}{a}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ”是“ $a = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在下列四个正方体中， $A, B, C$ 为正方体的顶点， $M, N$ 为所在棱的中点，则满足直线 $M N / /$ 平面 $A B C$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知一组数据 $a, b, c, 25, 20$ 的方差为 $s^{2}$ ，甲同学将这组数据错看成 $a, b, c, 15, 30$ ，并求得错误数据的方差为 $s_{甲}^{2} = 60$ ，则正确数据的方差 $s^{2} =$ （）

A、80 B、60 C、40 D、20

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6. 若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2^{x - 1} - x^{2}$ ，则 $f (2026) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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7. 已知 $a = \sqrt[10]{9}, b = \sqrt[11]{10}, c = \sqrt[12]{11}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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8. 已知递增数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = λ a_{n} - μ a_{n}^{2}$ ，则 $λ, μ$ 满足的关系式不可能为（）

A、 $λ + μ < 0$ B、 $λ μ + 1 < 0$ C、 $λ^{2} + μ^{2} = 2$ D、 $λ - 2 μ = 0$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的值域为 $R$

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10. 已知 $P$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右焦点，若点 $M$ 满足 $\vec{P M} = \vec{M F_{1}}$ ， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，则 $C$ 的离心率可能为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 如图1，在长方形 $A B C D$ 中， $P$ 是 $C D$ 边上一点，且 $A B = 4, A D = 2, D P = 1$ ．将 $△ A D P$ 沿着 $A P$ 翻折至 $△ A Q P$ ，连接 $Q B, Q C$ ，得到如图2所示的四棱锥 $Q - A B C P$ ，则下列结论正确的是（）

A、四棱锥 $Q - A B C P$ 体积的最大值为 $\frac{14 \sqrt{5}}{15}$ B、当平面 $Q A P ⊥$ 平面 $A B C P$ 时，三棱锥 $Q - B C P$ 的外接球的表面积为 $\frac{69 π}{5}$ C、在翻折的过程中， $B P$ 与 $A Q$ 始终不垂直 D、若 $\vec{B E} = \frac{1}{4} \vec{B Q}$ ，则 $C E = \frac{\sqrt{13}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}$ 均为单位向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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13. 已知 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A$ 是 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点， $B$ 是 $C$ 上的点，且 $|A B| = |A F|$ ，则 $|B F| =$ ．

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14. 某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有种．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a, b, c$ 成等差数列，且 $\frac{sin A}{sin B} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $cos B$ ；

(2)、记 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $S$ ，若 $S \geq 64 π$ ，求 $b$ 的取值范围．

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16. 某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，能通过复审专家评审的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各专家评审能否通过相互独立．

(1)、求该项目予以立项的概率；

(2)、记评审通过该项目的专家人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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17. 如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $A D ⊥$ 平面 $D E F$ ， $D E ⊥ D F$ ， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $D E = D F = 8$ ， $G$ 是棱 $C F$ 上一点（不含端点）．

(1)、若 $G$ 为 $C F$ 的中点，求直线 $E G$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值．

(2)、是否存在点 $G$ ，使得 $B D ⊥ E G$ ？若存在，求出 $\frac{C G}{G F}$ 的值；若不存在，说明理由．

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18. 已知 $B (- 4, 0), C (4, 0)$ 是 $△ A B C$ 的两个顶点， $G$ 是 $△ A B C$ 的重心， $D, E$ 分别是边 $A B, A C$ 的中点，且 $||B E| - |C D|| = 6$ ．记点 $G$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求 $Γ$ 的方程．

(2)、若 $△ G B C$ 的面积为24，求点 $A$ 的坐标．

(3)、已知点 $F (- 1, 0), M (- 2, 0), N (2, 0)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 交于 $P, Q$ 两点，直线 $M P$ 与 $N Q$ 交于点 $H$ ，试判断 $H$ 是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = x + 2 e^{x} - a (e^{2 x} + e^{x})$ ．

(1)、若 $a \geq 1$ ，证明： $f (x) \leq 0$ ．

(2)、设 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
①求 $a$ 的取值范围；
②证明： $x_{2} < \frac{2 - a}{a}$ ．

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